نمونه سوال فصل ۲ ریاضی هشتم با جواب

اگر $a$ مرکب باشد، می‌توان نوشت $a=bc$ که در آن $b>1$ و $c>1$ است. هر مضرب طبیعی مثبتِ آن به شکل $ka=b(kc)$ نوشته می‌شود؛ بنابراین مرکب است. در مقابل، اگر $a$ اول باشد، مضرب نخست آن، یعنی خودش، اول است. عدد $1$ نیز مضرب‌هایی مانند $2$ دارد که مرکب نیستند. پس دقیقاً عددهای مرکب این ویژگی را دارند و زوج بودن شرط لازم نیست. (صفحهٔ ۲۱–۲۲) پاسخ: گزینهٔ 2

در جفت نخست، $14=2\times7$ و $35=5\times7$ عامل مشترکِ $7$ دارند. در جفت دوم، $21=3\times7$ و $33=3\times11$ عامل مشترکِ $3$ دارند. در جفت سوم، $25=5^2$ و $40=2^3\times5$ عامل مشترکِ $5$ دارند. اما $16=2^4$ و $27=3^3$ هیچ عامل اول مشترکی ندارند؛ پس ب.م.م آن‌ها $1$ است. (صفحهٔ ۲۰–۲۲) پاسخ: گزینهٔ 4

پیش از مرحلهٔ $7$، مضرب‌های مرکبِ $2$، $3$ و $5$ خط خورده‌اند. در مضرب $7k\leq150$ باید $k\leq21$ باشد. برای آنکه عدد برای نخستین بار خط بخورد، ضریب $k$ نباید بر $2$، $3$ یا $5$ بخش‌پذیر باشد؛ همچنین $k=1$ کنار گذاشته می‌شود، زیرا خودِ $7$ اول است. ضریب‌های مناسب عبارت‌اند از $7,11,13,17,19$. بنابراین عددهای تازه‌خط‌خورده $49,77,91,119,133$ هستند و تعدادشان $5$ است. (صفحهٔ ۲۴–۲۵) پاسخ: گزینهٔ 1

داریم $121=11^2$، $143=11\times13$ و $187=11\times17$؛ بنابراین این سه عدد بر $11$ بخش‌پذیرند و شرط داده‌شده را ندارند. اما $169=13^2$ است و بر هیچ‌یک از عددهای اولِ $2,3,5,7,11$ بخش‌پذیر نیست. در بررسی اول بودنِ این عدد، نباید پیش از آزمایش $13$ متوقف شد، زیرا $13^2=169$ است. (صفحهٔ ۲۶–۲۷) پاسخ: گزینهٔ 3

دو عدد اول دوقلو $2$ واحد اختلاف دارند. نصف مجموع آن‌ها $60\div2=30$ است؛ بنابراین دو عدد برابر $29$ و $31$ هستند که هر دو اول‌اند. حاصل‌ضرب آن‌ها برابر است با $29\times31=899$. مقدار $891$ از $27\times33$، مقدار $900$ از $30\times30$ و مقدار $851$ از $23\times37$ به دست می‌آید و هیچ‌یک شرایط مسئله را ندارند. (صفحهٔ ۲۳) پاسخ: گزینهٔ 2

عبارت «الف» درست است، زیرا $1$ در هیچ‌یک از دو دستهٔ اول و مرکب قرار نمی‌گیرد. عبارت «ب» نیز درست است: شمارنده‌های اولِ $9=3^2$ و $10=2\times5$ مشترک نیستند، پس ب.م.م آن‌ها $1$ است. عبارت «پ» درست است، زیرا دو عدد اولِ متمایز جز $1$ شمارندهٔ مشترکی ندارند. عبارت «ت» نادرست است، چون عدد $1$ تنها یک شمارندهٔ طبیعی دارد. در نتیجه سه عبارت درست است. (صفحهٔ ۲۱–۲۳) پاسخ: گزینهٔ 4

عامل‌های اولِ $a=2^3\times5$ فقط $2$ و $5$ هستند. عدد $b=3^2\times7$ هیچ‌یک از این عامل‌ها را ندارد. برای آنکه $a$ و $kb$ نیز نسبت به هم اول باشند، $k$ نباید بر $2$ یا $5$ بخش‌پذیر باشد. از میان گزینه‌ها، تنها $21=3\times7$ این شرط را دارد. ضریب $14$ عامل $2$ و ضریب‌های $15$ و $25$ عامل $5$ را وارد حاصل‌ضرب می‌کنند. (صفحهٔ ۲۰–۲۲) پاسخ: گزینهٔ 1

چون مجموع دو عدد اول $20$ است، اگر یکی از آن‌ها $2$ باشد، دیگری $18$ می‌شود که اول نیست. پس هر دو فردند. با بررسی عددهای اولِ کوچک‌تر از $10$، جفت‌های ممکن $(3,17)$ و $(7,13)$ به دست می‌آیند؛ جفتی که شامل $5$ باشد به عدد مرکبِ $15$ می‌رسد. حاصل‌ضرب جفت دوم $91=7\times13$ است و با $35=5\times7$ عامل مشترکِ $7$ دارد. اما حاصل‌ضرب جفت نخست $51=3\times17$ است و با $35$ عامل اول مشترکی ندارد؛ پس ب.م.م آن‌ها $1$ است. (صفحهٔ ۲۰–۲۲ و ۲۶) پاسخ: گزینهٔ 3

هر شمارندهٔ تعداد نقطه‌ها می‌تواند تعداد سطرهای یک آرایش باشد؛ بنابراین تعداد آرایش‌های مورد نظر برابر تعداد شمارنده‌های آن عدد است (صفحهٔ ۲۰). شمارنده‌های $25$ عبارت‌اند از $1$، $5$ و $25$؛ پس آرایش‌های آن $1\times25$، $5\times5$ و $25\times1$ هستند. در مقابل، عددهای $15$، $13$ و $16$ به‌ترتیب چهار، دو و پنج آرایش دارند. پاسخ: گزینهٔ 1

دو عدد هنگامی نسبت به هم اول‌اند که ب.م.م آن‌ها برابر $1$ باشد (صفحهٔ ۲۲). چون $18=2\times3^2$، عدد مورد نظر نباید بر $2$ یا $3$ بخش‌پذیر باشد. عددهای فرد از $10$ تا $20$ عبارت‌اند از $11$، $13$، $15$، $17$ و $19$. از میان آن‌ها، $15$ به علت داشتن شمارندهٔ مشترک $3$ با $18$ حذف می‌شود. بنابراین چهار عدد باقی می‌ماند. پاسخ: گزینهٔ 2

در روش غربال، مرحلهٔ مربوط به یک عدد اول زمانی اجرا می‌شود که مربع آن در فهرست باشد (صفحهٔ ۲۵). پس اجرای مرحلهٔ $7$ نشان می‌دهد $n\geq7^2=49$. عدد اول بعدی $11$ است و اجرا نشدن مرحلهٔ آن یعنی $n<11^2=121$. بنابراین $49\leq n\leq120$ و اختلاف بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین مقدار ممکن برابر است با $120-49=71$. پاسخ: گزینهٔ 3

باقی‌ماندهٔ تقسیم $p$ بر $3$ یکی از عددهای $0$، $1$ یا $2$ است. اگر باقی‌مانده صفر باشد، خودِ $p$ بر $3$ بخش‌پذیر است؛ اگر یک باشد، $p+14$ بر $3$ بخش‌پذیر است؛ و اگر دو باشد، $p+10$ بر $3$ بخش‌پذیر است. پس حتماً یکی از این سه عدد شمارندهٔ $3$ دارد. بنا بر تعریف عدد اول، تنها عدد اولِ بخش‌پذیر بر $3$، خودِ $3$ است (صفحهٔ ۲۰). چون $p+10$ و $p+14$ از $3$ بزرگ‌ترند، باید $p=3$ باشد. در این صورت دو عدد دیگر $13$ و $17$ هستند که با بررسی شمارنده‌های اول لازم، اول بودنشان تأیید می‌شود (صفحه‌های ۲۶ و ۲۷). مجموع برابر است با $3+13+17=33$. پاسخ: گزینهٔ 4