نمونه سوال فصل ۱ ریاضی هشتم با جواب

عدد صحیح منفی را می‌توان به صورت کسری با مخرج یک نوشت؛ برای نمونه، $-7=\frac{-7}{1}$، پس گویاست. از طرف دیگر، عدد منفی در مجموعهٔ عددهای طبیعی قرار نمی‌گیرد. گزارهٔ نخست به دلیل گویا بودن عددهای صحیح نادرست است؛ صفر نیز نمایش $\frac{0}{1}$ دارد و کسرهایی مانند $\frac{6}{2}=3$ صحیح‌اند. بنابراین تنها گزارهٔ دوم درست است. (صفحه‌های ۵ و ۹) پاسخ: گزینهٔ ۲

مختصات آغازین $-\frac{7}{6}$ است. حرکت نخست مختصات را $\frac{5}{4}$ افزایش و حرکت دوم آن را $\frac{2}{3}$ کاهش می‌دهد. بنابراین مختصات نهایی برابر است با $-\frac{7}{6}+\frac{5}{4}-\frac{2}{3}=\frac{-14+15-8}{12}=-\frac{7}{12}$. (صفحه‌های ۱۰ و ۱۱) پاسخ: گزینهٔ ۴

با تبدیل عدد مخلوط داریم $a=-1\frac{3}{5}=-\frac{8}{5}$. قرینهٔ آن $\frac{8}{5}$ و معکوس این قرینه $b=\frac{5}{8}$ است. در نتیجه $a\times b=-\frac{8}{5}\times\frac{5}{8}=-1$. به‌طور کلی، ضرب هر عدد ناصفر در معکوس قرینه‌اش برابر با منفی یک است. (صفحه‌های ۶، ۷، ۱۴ و ۱۵) پاسخ: گزینهٔ ۱

دو کران را هم‌مخرج می‌کنیم: $-\frac{5}{6}=-\frac{20}{24}$ و $-\frac{3}{4}=-\frac{18}{24}$. چون $-20<-19<-18$، داریم $-\frac{20}{24}<-\frac{19}{24}<-\frac{18}{24}$. سایر گزینه‌ها به‌ترتیب برابر با $-\frac{21}{24}$، $-\frac{18}{24}$ و $-\frac{17}{24}$ هستند و شرط سؤال را ندارند. (صفحه‌های ۶ تا ۸) پاسخ: گزینهٔ ۳

خطای دانش‌آموز این است که حاصل ضرب $3\times(-2)$ را پیش از تقسیم سمت چپ محاسبه کرده است. ضرب و تقسیم هم‌اولویت‌اند و باید از چپ به راست انجام شوند. پس $-18\div3\times(-2)-5=(-6)\times(-2)-5=12-5=7$. (صفحه‌های ۲ و ۳) پاسخ: گزینهٔ ۴

عددهای $-24$ تا $-1$ با عددهای $1$ تا $24$ جفت‌های قرینه می‌سازند و مجموع هر جفت صفر است. خود صفر نیز اثری در جمع ندارد. بنابراین تنها عددهای $25$، $26$، $27$ و $28$ باقی می‌مانند و مجموع برابر است با $(25+28)+(26+27)=53+53=106$. همچنین در روش جفت‌کردن از دو سر فهرست، $26$ جفت با مجموع $4$ و یک عدد میانی برابر با $2$ داریم؛ پس $26\times4+2=106$. (صفحه‌های ۲ تا ۴) پاسخ: گزینهٔ ۲

ابتدا جمع و تفریق داخل عبارت را محاسبه می‌کنیم: $-\frac{3}{4}+\frac{5}{6}=\frac{-9+10}{12}=\frac{1}{12}$ و $\frac{1}{2}-\frac{2}{3}=\frac{3-4}{6}=-\frac{1}{6}$. پس $A=\frac{1}{12}\div(-\frac{1}{6})=\frac{1}{12}\times(-6)=-\frac{1}{2}$. معکوس آن برابر با $-2$ است. با کم‌کردن خود عدد از معکوسش داریم $-2-(-\frac{1}{2})=-2+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$. (صفحه‌های ۱۰، ۱۱، ۱۴، ۱۵ و ۱۸) پاسخ: گزینهٔ ۳

کران راست برابر است با $-(-\frac{11}{3})=\frac{11}{3}$. از طرفی $-5<-\frac{17}{4}<-4$ و $3<\frac{11}{3}<4$. بنابراین عددهای صحیحِ میان دو کران عبارت‌اند از $-4,-3,-2,-1,0,1,2,3$. عددهای $-3$ تا $3$ به کمک جفت‌های قرینه مجموع صفر دارند و تنها $-4$ باقی می‌ماند. پس مجموع خواسته‌شده $-4$ است. (صفحه‌های ۲، ۳، ۵، ۶، ۷ و ۹) پاسخ: گزینهٔ ۱

در تقسیم فاصلهٔ دو عدد به $12$ قسمت مساوی، تعداد نقطه‌های تقسیم داخلی برابر $12-1=11$ است. با نصف کردن هر قسمت، فاصلهٔ اولیه به $24$ قسمت تقسیم می‌شود و $24-1=23$ نقطهٔ داخلی خواهد داشت. بنابراین تعداد نقطه‌های تازه برابر $23-11=12$ است. همچنین، میان هر دو نقطهٔ تقسیم مجاور نیز بی‌شمار عدد گویا وجود دارد؛ پس رسم تعداد محدودی نقطه، عددهای گویای آن فاصله را محدود نمی‌کند. (صفحهٔ ۸) پاسخ: گزینهٔ ۲

تفریق عدد منفی به جمع قرینهٔ آن تبدیل می‌شود؛ بنابراین $-\frac{5}{6}-(-\frac{1}{4})=-\frac{5}{6}+\frac{1}{4}=-\frac{10}{12}+\frac{3}{12}=-\frac{7}{12}$. این مرحله بر قاعدهٔ جمع و تفریق عددهای گویا تکیه دارد. (صفحهٔ ۱۱–۱۲) اکنون برای تقسیم، در معکوس مقسوم‌علیه ضرب می‌کنیم: $-\frac{7}{12}\div\frac{13}{6}=-\frac{7}{12}\times\frac{6}{13}=-\frac{7}{26}$. (صفحهٔ ۱۶–۱۷) پاسخ: گزینهٔ ۳

برای بزرگ‌ترین مقدار، باید عدد منفیِ داخل پرانتز را کم و عدد مثبت را اضافه کنیم؛ پس $M=-\frac{1}{2}-(-\frac{3}{4})+\frac{5}{6}=\frac{-6+9+10}{12}=\frac{13}{12}$. برای کوچک‌ترین مقدار، عدد منفی را اضافه و عدد مثبت را کم می‌کنیم؛ بنابراین $m=-\frac{1}{2}+(-\frac{3}{4})-\frac{5}{6}=\frac{-6-9-10}{12}=-\frac{25}{12}$. انتخاب علامت‌ها بر روش بیشینه کردن عبارت تکیه دارد. (صفحهٔ ۴) محاسبهٔ کسرها نیز با مخرج مشترک انجام می‌شود. (صفحهٔ ۱۱–۱۲) اختلاف خواسته‌شده برابر $M-m=\frac{13}{12}-(-\frac{25}{12})=\frac{38}{12}=\frac{19}{6}$ است. معکوس این عدد برابر $\frac{6}{19}$ خواهد بود. (صفحهٔ ۱۶–۱۷) پاسخ: گزینهٔ ۱

در این حاصل‌ضرب، عامل $3-3=0$ وجود دارد؛ پس حاصل‌ضرب اولیه صفر است. پس از کنار گذاشتن همین عامل، عامل‌های باقی‌مانده عبارت‌اند از $-5,-4,-3,-2,-1,1,2$. تعداد عامل‌های منفی پنج است و چون این تعداد فرد است، حاصل‌ضرب باقی‌مانده منفی خواهد بود. این استدلال از قواعد ضرب عددهای صحیح و بررسی عامل‌های یک حاصل‌ضرب استفاده می‌کند. (صفحهٔ ۲–۴) پاسخ: گزینهٔ ۴