نمونه سوال فصل ۳ ریاضی هشتم با جواب

برای منتظم بودن یک چندضلعی، باید هم ضلع‌ها با یکدیگر برابر باشند و هم زاویه‌ها اندازهٔ یکسانی داشته باشند. هیچ‌یک از این دو شرط به‌تنهایی کافی نیست و داشتن مرکز تقارن نیز جایگزین آنها نمی‌شود. بنابراین فقط توصیفی که هر دو شرط را هم‌زمان بیان می‌کند، کافی است. (صفحه‌های ۳۰ و ۳۱)
پاسخ: گزینهٔ 2

در میان چندضلعی‌های منتظم، شکل‌هایی که تعداد ضلع فرد دارند، مرکز تقارن ندارند. پس از مجموعهٔ داده‌شده، پنج‌ضلعی، هفت‌ضلعی و نه‌ضلعی انتخاب می‌شوند. تعداد محورهای تقارن یک چندضلعی منتظم برابر تعداد ضلع‌های آن است؛ بنابراین مجموع موردنظر برابر است با $5+7+9=21$. (صفحه‌های ۳۱ و ۳۲)
پاسخ: گزینهٔ 4

اگر $O$ مرکز تقارن باشد، دوران شکل به اندازهٔ $180^\circ$ حول آن باید تمام شکل را بر خودش منطبق کند. بنابراین قرینهٔ هر نقطهٔ شکل باید روی همان شکل قرار گیرد. یافتن حتی یک نقطه که این شرط را نداشته باشد، مرکز تقارن بودن $O$ را رد می‌کند. بررسی یک رأس یا داشتن محور تقارن، برای اثبات تقارن مرکزی کافی نیست. (صفحه‌های ۳۱ و ۳۲)
پاسخ: گزینهٔ 1

تعداد ضلع‌های شکل اول را $n$ می‌گیریم؛ در نتیجه شکل دوم $n+2$ ضلع دارد. مجموع زاویه‌های داخلی آنها به‌ترتیب $(n-2)\times180^\circ$ و $n\times180^\circ$ است. مطابق صورت سؤال، $n\times180^\circ=\frac{3}{2}(n-2)\times180^\circ$. با حذف عامل مشترک داریم $2n=3n-6$؛ پس $n=6$ و شکل اول شش‌ضلعی است. (صفحهٔ ۴۳)
پاسخ: گزینهٔ 3

زاویه‌های داخلی هم‌طرف مورب، در دو خط موازی مکمل یکدیگرند. بنابراین $(2x+10)+(3x+20)=180$ و در نتیجه $5x+30=180$ است. پس $5x=150$ و $x=30$. برای بررسی، دو زاویه برابر $70^\circ$ و $110^\circ$ می‌شوند که مجموع آنها $180^\circ$ است. (صفحه‌های ۳۴ و ۳۵)
پاسخ: گزینهٔ 2

مجموع زاویه‌های کاشی‌ها پیرامون نقطه باید $360^\circ$ باشد. اگر زاویهٔ داخلی هر کاشی ناشناخته را $\alpha$ بنامیم، داریم $90^\circ+2\alpha=360^\circ$؛ پس $\alpha=135^\circ$. برای یک $n$ضلعی منتظم، $\frac{(n-2)180^\circ}{n}=135^\circ$ است. بنابراین $180n-360=135n$ و $45n=360$؛ در نتیجه $n=8$. کاشی‌های ناشناخته هشت‌ضلعی منتظم‌اند. (صفحه‌های ۴۳ تا ۴۵)
پاسخ: گزینهٔ 1

زاویهٔ داخلی مجاور زاویهٔ خارجی برابر است با $180^\circ-128^\circ=52^\circ$. پس مجموع دو زاویهٔ دیگر $180^\circ-52^\circ=128^\circ$ می‌شود. این دو زاویه را $3k$ و $5k$ می‌گیریم؛ بنابراین $8k=128^\circ$ و $k=16^\circ$. زاویه‌های مثلث برابر $48^\circ$، $80^\circ$ و $52^\circ$ هستند؛ پس بزرگ‌ترین آنها $80^\circ$ است. (صفحه‌های ۴۳ و ۴۶)
پاسخ: گزینهٔ 4

تعداد ضلع‌های دو چندضلعی را به‌ترتیب $n$ و $m$ می‌نامیم. زاویهٔ داخلی یک $n$ضلعی منتظم برابر $\frac{(n-2)180^\circ}{n}$ است؛ پس زاویهٔ خارجی آن برابر $180^\circ-\frac{(n-2)180^\circ}{n}=\frac{360^\circ}{n}$ می‌شود. از نسبت داده‌شده داریم $\frac{360/n}{360/m}=\frac{3}{2}$؛ بنابراین $\frac{m}{n}=\frac{3}{2}$. پس $n=2k$ و $m=3k$. اختلاف مجموع زاویه‌های داخلی نیز برابر $(m-n)180^\circ=1080^\circ$ است؛ در نتیجه $m-n=6$ و $k=6$. بنابراین $n=12$ و $m=18$. تعداد محورهای تقارن هر چندضلعی منتظم برابر تعداد ضلع‌های آن است؛ پس مجموع موردنظر $12+18=30$ است. (صفحه‌های ۳۱، ۴۳ و ۴۶)
پاسخ: گزینهٔ 3

چون $a\perp b$ و $a\perp c$ است، دو خط $b$ و $c$ که بر یک خط مشترک عمودند، با هم موازی‌اند. همچنین از $b\parallel c$ و $c\parallel d$ نتیجه می‌شود $b\parallel d$. از طرف دیگر، $a$ بر $d$ نیز عمود است و نمی‌تواند با آن موازی باشد. بنابراین فقط زوج رابطه‌های گزینهٔ اول درست است. (صفحهٔ ۳۵–۳۶) پاسخ: گزینهٔ ۱

قطرهای مستطیل برابرند و یکدیگر را نصف می‌کنند؛ پس نصف‌های آن‌ها نیز برابرند و $AO=BO$. بنابراین $2x+1=3x-2$ و در نتیجه $x=3$. اکنون $AO=2(3)+1=7$ و $BO=3(3)-2=7$ است. محیط مثلث برابر است با $AB+AO+BO=10+7+7=24$. (صفحهٔ ۳۹–۴۰) پاسخ: گزینهٔ ۲

چون $AB=AC$ است، زاویه‌های داخلی رأس‌های $B$ و $C$ برابرند. زاویهٔ داخلی رأس $A$ را $\alpha$ و هر زاویهٔ قاعده را $\beta$ می‌نامیم. زاویهٔ خارجی رأس $B$ برابر $\alpha+\beta$ است؛ پس طبق شرط سؤال، $3\alpha=\alpha+\beta$ و بنابراین $\beta=2\alpha$. از مجموع زاویه‌های داخلی مثلث داریم $\alpha+2\beta=180^\circ$. در نتیجه $5\alpha=180^\circ$ و $\alpha=36^\circ$. زاویهٔ خارجی رأس $A$ برابر $180^\circ-36^\circ=144^\circ$ است. برابری زاویه‌های قاعده در صفحهٔ ۳۷، تعریف زاویهٔ خارجی در صفحهٔ ۴۶ و رابطهٔ زاویهٔ خارجی مثلث در صفحهٔ ۴۷–۴۸ آمده است. پاسخ: گزینهٔ ۳

زاویهٔ رأس مثلث را $\alpha$ می‌گیریم. هر زاویهٔ قاعده برابر $2\alpha$ است؛ بنابراین $\alpha+2\alpha+2\alpha=180^\circ$ و $\alpha=36^\circ$. پس زاویهٔ خارجی چندضلعی منتظم نیز $36^\circ$ است. از مجموع زاویه‌های خارجی داریم $n=\frac{360^\circ}{36^\circ}=10$. در این ده‌ضلعی منتظم، دوران $180^\circ=5\times36^\circ$ هر رأس را بر رأس مقابل منطبق می‌کند؛ پس شکل مرکز تقارن دارد. اما $\frac{90^\circ}{36^\circ}=2.5$ عدد صحیح نیست؛ در نتیجه دوران $90^\circ$ رأس‌ها را بر رأس‌ها منطبق نمی‌کند و شکل بر خودش نمی‌افتد. مبنای محاسبهٔ زاویه‌های مثلث در صفحهٔ ۳۷، مجموع زاویه‌های خارجی در صفحهٔ ۴۸–۴۹ و معیار تقارن مرکزی و دوران در صفحهٔ ۳۱–۳۲ است. پاسخ: گزینهٔ ۴