نمونه سوال فصل ۵ ریاضی هشتم با جواب

حرکت اول از نقطهٔ $P$ آغاز می‌شود و حرکت دوم در نقطهٔ $R$ پایان می‌یابد. در روش سر به ته، برایند از ابتدای نخستین بردار به انتهای دومین بردار رسم می‌شود؛ بنابراین بردار مستقیم از $P$ به $R$ حاصل جمع دو بردار است. (صفحهٔ ۷۰–۷۱) پاسخ: گزینهٔ ۲

در رابطهٔ $\vec{b}=-\frac{2}{3}\vec{a}$، علامت منفی نشان می‌دهد که جهت دو بردار مخالف است. همچنین اندازهٔ بردار جدید برابر با $\frac{2}{3}$ اندازهٔ بردار اولیه است. راستای بردار تغییر نمی‌کند. (صفحهٔ ۷۴–۷۵) پاسخ: گزینهٔ ۴

برایند سه حرکت برابر است با $\begin{bmatrix}4\\-3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-7\\5\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\\-6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\-4\end{bmatrix}$. برای رسیدن دوباره به نقطهٔ شروع، جمع این بردار با بردار حرکت چهارم باید صفر شود. پس حرکت چهارم، قرینهٔ برایند سه حرکت و برابر با $\begin{bmatrix}1\\4\end{bmatrix}$ است. (صفحهٔ ۷۰–۷۱، ۷۳ و ۷۵) پاسخ: گزینهٔ ۱

با جمع مؤلفه‌های متناظر داریم $\vec{a}+\vec{b}=(p+3)\vec{i}+(q-2)\vec{j}$. مقایسه با $-\vec{i}+5\vec{j}$ می‌دهد $p+3=-1$ و $q-2=5$. بنابراین $p=-4$ و $q=7$ است و مقدار خواسته‌شده برابر با $p-q=-4-7=-11$ خواهد بود. (صفحهٔ ۷۱ و ۷۸–۷۹) پاسخ: گزینهٔ ۳

چون $\vec{u}+\vec{v}=\vec{w}$ است، باید $t+2s=7$ و $t-s=1$ برقرار باشند. با کم کردن رابطهٔ دوم از اول، $3s=6$ و در نتیجه $s=2$ به دست می‌آید. اکنون $t-2=1$، پس $t=3$ و $\vec{u}=\begin{bmatrix}3\\3\end{bmatrix}$ است. این محاسبه بر تعریف تجزیه و جمع مؤلفه‌های متناظر تکیه دارد. (صفحهٔ ۷۱، ۷۳ و ۷۵) پاسخ: گزینهٔ ۲

ابتدا $\vec{a}+\vec{b}=\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}$ و در نتیجه $-2(\vec{a}+\vec{b})=\begin{bmatrix}-4\\-4\end{bmatrix}$ است. اما اگر ضریب فقط در بردار اول ضرب شود، داریم $-2\vec{a}+\vec{b}=\begin{bmatrix}4\\-6\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8\\-7\end{bmatrix}$ که دقیقاً نتیجهٔ دانش‌آموز است. پس او بردار دوم را در ضریب ضرب نکرده است. (صفحهٔ ۷۱ و ۷۵–۷۶) پاسخ: گزینهٔ ۱

از معادلهٔ $3\vec{x}+\vec{a}=\vec{x}+2\vec{b}$ با کم کردن $\vec{x}$ و $\vec{a}$ از دو طرف، به $2\vec{x}=2\vec{b}-\vec{a}$ می‌رسیم. همچنین $\vec{a}=\begin{bmatrix}-4\\2\end{bmatrix}$ است. بنابراین $2\vec{x}=\begin{bmatrix}6\\-10\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-4\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10\\-12\end{bmatrix}$. با تقسیم هر دو مؤلفه بر $2$، داریم $\vec{x}=\begin{bmatrix}5\\-6\end{bmatrix}$. (صفحهٔ ۷۵، ۷۸–۷۹ و ۸۲) پاسخ: گزینهٔ ۴

بردار $\vec{i}$ یک واحد در جهت مثبت محور افقی است؛ بنابراین $\vec{i}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ است. همچنین $\vec{j}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$ بردار واحد در جهت مثبت محور عمودی است (صفحهٔ ۷۸ و ۷۹). برای قرینه کردن بردار، هر دو مؤلفه در $-1$ ضرب می‌شوند؛ پس $-\vec{j}=\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}$ خواهد بود (صفحهٔ ۷۴ و ۷۵). پاسخ: گزینهٔ ۲

فرض کنیم $\vec{a}=\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}$، $\vec{b}=\begin{bmatrix}p\\q\end{bmatrix}$ و $\vec{c}=\begin{bmatrix}r\\s\end{bmatrix}$. با جمع مؤلفه‌به‌مؤلفه، تساوی داده‌شده به صورت $\begin{bmatrix}u+p\\v+q\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}u+r\\v+s\end{bmatrix}$ درمی‌آید (صفحهٔ ۷۰ تا ۷۲). پس $u+p=u+r$ و $v+q=v+s$؛ در نتیجه $p=r$ و $q=s$ و بنابراین $\vec{b}=\vec{c}$. برای بردار $\vec{a}$ محدودیت دیگری به دست نمی‌آید. پاسخ: گزینهٔ ۴

طول مسیر به جهت حرکت وابسته نیست و از جمع طول تمام بخش‌ها به دست می‌آید؛ پس برابر با $6+4+2+7=19$ واحد است (صفحهٔ ۸۱). حرکت‌های افقی در مؤلفهٔ عمودی اثری ندارند. با در نظر گرفتن جهت مثبت رو به بالا، مؤلفهٔ عمودی بردار جابه‌جایی برابر $4-7=-3$ است؛ این محاسبه بر جمع مؤلفه‌های متناظر تکیه دارد (صفحهٔ ۷۰ تا ۷۲). پاسخ: گزینهٔ ۱

با استفاده از ضرب عدد در هر دو مؤلفه و جمع مؤلفه‌های متناظر داریم: $\vec{c}=k\begin{bmatrix}2\\-3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-4\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2k-4\\-3k+1\end{bmatrix}$ (صفحهٔ ۷۴ و ۷۵). چون $\vec{c}$ در راستای محور عمودی است، مؤلفهٔ افقی آن صفر است؛ پس $2k-4=0$ و $k=2$. در نتیجه مؤلفهٔ عمودی برابر $-3(2)+1=-5$ خواهد بود. ضریب $\vec{j}$ همان مؤلفهٔ عمودی است (صفحهٔ ۷۹ و ۸۰). پاسخ: گزینهٔ ۳

چون دو مسیر از یک نقطه آغاز شده و به یک نقطه رسیده‌اند، حاصل جمع بردارهای حرکت آن‌ها برابر است (صفحهٔ ۷۰ تا ۷۲): $2\vec{a}+\vec{b}=\vec{a}+3\vec{b}+\vec{i}-2\vec{j}$. با حذف جمله‌های مشترک، $\vec{a}=2\vec{b}+\vec{i}-2\vec{j}$ به دست می‌آید. از $\vec{b}=\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}$ نتیجه می‌شود $\vec{a}=2\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\4\end{bmatrix}$؛ در این مرحله از ضرب عدد در بردار و نمایش با بردارهای واحد استفاده شده است (صفحهٔ ۷۴، ۷۵، ۷۹ و ۸۰). بنابراین $3\vec{a}-\vec{b}=3\begin{bmatrix}-1\\4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2\\9\end{bmatrix}$. پاسخ: گزینهٔ ۲