نمونه سوال فصل ۶ ریاضی هشتم با جواب

طبق رابطهٔ فیثاغورس، مجموع مساحت مربع‌های روی دو ضلع زاویهٔ قائمه برابر مساحت مربع روی وتر است (صفحهٔ ۸۵). اگر مساحت مربع کوچک‌تر را $s$ بگیریم، مساحت مربع دیگر $s+14$ است؛ بنابراین $s+(s+14)=50$ و در نتیجه $2s=36$ و $s=18$. طول ضلع کوچک‌تر برابر $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ سانتی‌متر است. پاسخ: گزینهٔ ۲

از قائم بودن زاویهٔ $ABC$ داریم $AC^2=AB^2+BC^2=2^2+3^2=13$. در مثلث $ACD$ نیز زاویهٔ $ACD$ قائمه است؛ پس $AD^2=AC^2+CD^2=13+(\sqrt{3})^2=16$. چون طول مثبت است، $AD=4$ سانتی‌متر خواهد بود. در هر دو مرحله از رابطهٔ فیثاغورس استفاده شده است (صفحه‌های ۸۵ و ۸۶). پاسخ: گزینهٔ ۴

سه ضلع مشخص، اندازه و شکل مثلث را تعیین می‌کنند و برابری سه ضلع متناظر، هم‌نهشتی دو مثلث را نتیجه می‌دهد (صفحهٔ ۹۳). برابری سه زاویه برای هم‌نهشتی کافی نیست (صفحهٔ ۹۲) و برابری ضلع‌های دو چهارضلعی نیز چنین نتیجه‌ای ندارد (صفحهٔ ۹۳). همچنین انطباق با ترکیبی از تبدیل‌ها در تعریف هم‌نهشتی پذیرفته شده است (صفحهٔ ۸۸). پاسخ: گزینهٔ ۱

از $\triangle PQR\cong\triangle YZX$، تناظر رأس‌ها به‌صورت $P\leftrightarrow Y$، $Q\leftrightarrow Z$ و $R\leftrightarrow X$ است؛ پس $PQ=YZ$ (صفحهٔ ۸۸). بنابراین $2x+1=x+6$ و $x=5$. اکنون $PQ=11$ و $QR=3(5)-2=13$ سانتی‌متر است. با توجه به $PR=9$، محیط برابر $11+13+9=33$ سانتی‌متر می‌شود. پاسخ: گزینهٔ ۳

چون زاویه‌های $A$ و $D$ قائمه‌اند، داریم $\angle C=90^\circ-32^\circ=58^\circ$ و $\angle F=90^\circ-58^\circ=32^\circ$. بنابراین تناظر درست $A\leftrightarrow D$، $B\leftrightarrow F$ و $C\leftrightarrow E$ است. همچنین $BC$ و $EF$ وترهای برابرند. پس دو مثلث به حالت «وتر و یک زاویهٔ تند» هم‌نهشت‌اند (صفحهٔ ۹۷). پاسخ: گزینهٔ ۲

در مثلث نخست، دو ضلع $AB$ و $AC$ در رأس $A$ به هم می‌رسند؛ پس زاویهٔ بین آن‌ها $\angle BAC$ است. در مثلث دوم نیز زاویهٔ بین $DE$ و $DF$، زاویهٔ $\angle EDF$ است. برابری این دو زاویه، همراه با دو برابری داده‌شده، دقیقاً شرایط حالت «ض ز ض» را فراهم می‌کند (صفحه‌های ۹۴ و ۹۵). پاسخ: گزینهٔ ۱

بزرگ‌ترین ضلع مثلث نخست $\sqrt{37}$ است و داریم $(2\sqrt{6})^2+(\sqrt{13})^2=24+13=37=(\sqrt{37})^2$. بنابراین به عکس رابطهٔ فیثاغورس، مثلث نخست قائم‌الزاویه و وتر آن $\sqrt{37}$ است (صفحهٔ ۸۵). اکنون دو مثلث قائم‌الزاویه، وتر برابر و یک ضلع غیرِوتر برابر به طول $\sqrt{13}$ دارند؛ پس به حالت «وتر و یک ضلع» هم‌نهشت‌اند (صفحه‌های ۹۶ و ۹۷). پاسخ: گزینهٔ ۴

در مثلث قائم‌الزاویهٔ $ADB$ داریم $BD=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{64}=8$ سانتی‌متر. چون ترتیب نقطه‌ها $D,B,C$ است، طول ضلع قاعده برابر است با $BC=DC-DB=20-8=12$ سانتی‌متر. همچنین در مثلث قائم‌الزاویهٔ $ADC$، طول ضلع دیگر برابر است با $AC=\sqrt{15^2+20^2}=25$ سانتی‌متر. پس محیط مثلث $ABC$ برابر $17+12+25=54$ سانتی‌متر است (صفحهٔ ۸۶–۸۷). پاسخ: گزینهٔ ۲

در دو مثلث $ABC$ و $ADC$، تساوی‌های $AB=AD$ و $BC=DC$ داده شده‌اند و $AC$ نیز ضلع مشترک است. بنابراین این دو مثلث به حالت سه ضلع هم‌نهشت‌اند و $\angle BAC=\angle CAD$ است. پس $\angle CAD=74^\circ\div2=37^\circ$. همچنین از تناظر زاویه‌ها، $\angle ACD=\angle BCA=41^\circ$. اکنون در مثلث $ADC$ داریم $\angle CDA=180^\circ-37^\circ-41^\circ=102^\circ$ (صفحهٔ ۹۳–۹۴). پاسخ: گزینهٔ ۱

دو مثلث $OAP$ و $OBP$ به‌ترتیب در $A$ و $B$ قائم‌اند. وتر $OP$ در هر دو مشترک است و $OA=OB=9$ سانتی‌متر، زیرا هر دو شعاع یک دایره‌اند. بنابراین مثلث‌ها به حالت وتر و یک ضلع هم‌نهشت‌اند و $AP=BP$ است (صفحهٔ ۹۶ و ۹۹). از رابطهٔ فیثاغورس داریم $AP=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{144}=12$ سانتی‌متر (صفحهٔ ۸۶). پس محیط چهارضلعی برابر است با $OA+AP+PB+BO=9+12+12+9=42$ سانتی‌متر. پاسخ: گزینهٔ ۴