سوال ۲۹ ریاضی کنکور ریاضی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

نکتهٔ مهم: صورت سؤال بدون شکل یا تعیین محل رأس زاویه‌های محاطی، ابهام دارد؛ زیرا دو سر یک وتر، دو کمان می‌سازند و زاویهٔ محاطی می‌تواند مقابل هرکدام از آن‌ها باشد. پاسخِ کلید با این برداشت به دست می‌آید که برای هر ضلع، کمان مقابل زاویه، مکملِ کمان بین دو رأس متوالی پنج‌ضلعی باشد.

گام اول: رأس‌های پنج‌ضلعی را به‌ترتیب روی دایره $A,B,C,D,E$ بنامیم و اندازهٔ کمان‌های متوالی $AB,BC,CD,DE,EA$ را به‌ترتیب $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ بگیریم. این کمان‌ها یک دور کامل را می‌پوشانند؛ بنابراین $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=360^\circ$ (ریاضی هشتم، صفحهٔ ۱۴۲).

گام دوم: اندازهٔ هر زاویهٔ محاطی برابر نصف اندازهٔ کمان مقابل آن است (ریاضی هشتم، صفحه‌های ۱۴۶–۱۴۷). در برداشت موردنظر کلید، کمان مقابل زاویهٔ مربوط به ضلع نخست برابر $360^\circ-a_1$ است؛ پس اندازهٔ آن زاویه $\alpha_1=\frac{360^\circ-a_1}{2}$ خواهد بود. همین رابطه برای چهار ضلع دیگر نیز برقرار است.

گام سوم: با جمع‌کردن پنج زاویه داریم: $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4+\alpha_5=\frac{5\times360^\circ-(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)}{2}=\frac{1800^\circ-360^\circ}{2}=720^\circ$.

توجه: اگر زاویه‌ها را مقابل خودِ کمان‌های متوالی انتخاب کنیم، مجموع برابر $\frac{360^\circ}{2}=180^\circ$ می‌شود. پس برای یکتا بودن پاسخ، صورت سؤال باید محل رأس زاویه‌ها یا کمان‌های مقابل آن‌ها را مشخص کند؛ نتیجهٔ بالا مطابق برداشت کلید اعلام‌شده است.

پاسخ: گزینهٔ ۳