سوال ۵ ریاضی کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

سوال ۵ دفترچهٔ اختصاصی کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت اول، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۵ · ریاضی

کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت اول · سوال ۵ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی نهم · فصل ۶: خط و معادله‌های خطی

این سوال در دفترچه شکل دارد؛ این‌جا شکل به‌صورت متنی توصیف شده است.

در شکل زیر، فاصله نقطه $A$ از مبدأ مختصات کدام است؟

شکل: دستگاه مختصات با محور افقی x و محور عمودی y. خطی با شیب منفی محور y را در نقطه‌ای به عرض 2 قطع می‌کند، از محور x می‌گذرد و تا نقطه A ادامه می‌یابد. نقطه A روی یک خط‌چین افقی در پایین محور x قرار دارد. روی خط دو علامت تساوی طول دیده می‌شود: یکی روی پاره‌خط بین محور y و محور x و دیگری روی پاره‌خط بین محور x و نقطه A (دو پاره‌خط مساوی‌اند، یعنی محل برخورد با محور x وسط پاره‌خط بین عرض 2 و نقطه A است). زاویه 135 درجه در نقطه A بین خط و خط‌چین افقی (سمت چپ-پایین) مشخص شده است.

گزینهٔ ۱: $2\sqrt{5}$
گزینهٔ ۲: $3\sqrt{6}$
گزینهٔ ۳: $4\sqrt{3}$
گزینهٔ ۴: $5\sqrt{2}$

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۱ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

نقطهٔ برخورد خط با محور عمودی را $B$ ، نقطهٔ برخورد آن با محور افقی را $C$ و مبدأ مختصات را $O$ می‌نامیم.

گام اول: یافتن شیب و معادلهٔ خط
زاویهٔ تند خط با خط افقی برابر است با:
$180^\circ-135^\circ=45^\circ$
بنابراین مثلث قائم‌الزاویه‌ای که از جابه‌جایی افقی و عمودی روی خط ساخته می‌شود، دو ضلع قائم برابر دارد. چون خط نزولی است، شیب آن $m=-1$ است. این استدلال بر تعریف شیب به‌صورت نسبت تغییرات عمودی به افقی تکیه دارد (ریاضی نهم، صفحه‌های ۱۰۳–۱۰۴).

عرض از مبدأ خط $2$ است؛ پس $B=(0,2)$ . با توجه به صورت $y=ax+b$ ، معادلهٔ خط چنین می‌شود (ریاضی نهم، صفحه‌های ۱۰۲–۱۰۳):
$y=-x+2$

گام دوم: یافتن محل برخورد با محور افقی
روی محور افقی، عرض نقطه صفر است؛ بنابراین:
$0=-x+2\quad\Rightarrow\quad x=2$
پس $C=(2,0)$ است.

گام سوم: استفاده از تساوی پاره‌خط‌ها
طبق علامت‌های شکل، $BC=CA$ و این سه نقطه روی یک خط‌اند؛ پس $C$ وسط پاره‌خط $BA$ است. از $B$ تا $C$ ، طول مختصاتی $2$ واحد افزایش و عرض $2$ واحد کاهش یافته است. همین تغییرات از $C$ تا $A$ نیز تکرار می‌شود؛ بنابراین:
$A=(2+2,\,0-2)=(4,-2)$

گام چهارم: محاسبهٔ فاصله از مبدأ
فاصله‌های افقی و عمودی نقطهٔ $A$ از مبدأ به‌ترتیب $4$ و $2$ هستند. با قضیهٔ فیثاغورس:
$OA=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

پاسخ: گزینهٔ ۱

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۲: ممکن است با اشتباه گرفتن طول پاره‌خط مایل با جابه‌جایی افقی یا عمودی به این گزینه برسید. اما مربع این فاصله $54$ است، درحالی‌که مختصات درست نقطه ایجاب می‌کند مربع فاصله از مبدأ $4^2+(-2)^2=20$ باشد.
گزینهٔ ۳: این گزینه ممکن است بر اثر استفادهٔ نادرست از تساوی دو پاره‌خط یا رابطهٔ فیثاغورس انتخاب شود. تساوی علامت‌خورده یعنی محل برخورد با محور افقی، وسط پاره‌خط است؛ با اعمال این شرط، مربع فاصله $20$ می‌شود، نه $48$ .
گزینهٔ ۴: وجود زاویهٔ تند $45^\circ$ ممکن است باعث شود به‌اشتباه طول و عرض نقطهٔ $A$ را برابر فرض کنید و فاصله‌ای از نوع $a\sqrt{2}$ بسازید. این زاویه، برابری اندازهٔ تغییرات افقی و عمودی روی خط را نشان می‌دهد، نه برابری مختصات نقطه نسبت به مبدأ.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

رابطهٔ شیب خط با زاویه و نسبت تغییرات عمودی به افقی را به یاد بیاورید؛ در ریاضی نهم، صفحه‌های ۱۰۳–۱۰۴، این رابطه با مثلث قائم‌الزاویه بررسی شده است.
زاویهٔ تند خط با خط افقی، مکمل زاویهٔ داده‌شده است. از آن، شیب خط را پیدا کنید و با استفاده از عرض از مبدأ، معادلهٔ خط و محل برخورد آن با محور افقی را به‌دست آورید.
دو علامت تساوی نشان می‌دهند محل برخورد خط با محور افقی، وسط پاره‌خط میان نقطهٔ روی محور عمودی و $A$ است. پس مختصات $A$ را با قرینه‌کردن آن نقطه نسبت به وسط پیدا کنید؛ سپس برای فاصله از مبدأ، فیثاغورس را به کار ببرید.

فصل «خط و معادله‌های خطی» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.