سوال ۱۳۰ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول با پاسخ تشریحی

گام اول: تعیین تعداد اعداد

طبق تعریف احتمال، در فضای نمونه‌ای با حالت‌های هم‌شانس، احتمال هر پیشامد از تقسیم تعداد حالت‌های مطلوب بر تعداد کل حالت‌ها به دست می‌آید (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۴۶–۱۴۷):
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$.

چون انتخاب‌ها متوالی و بدون جایگذاری‌اند و جایگاه سوم اهمیت دارد، حالت‌ها را به‌صورت سه‌تایی‌های مرتب می‌شماریم. تعداد کل حالت‌ها برابر است با:
$n(S)=n(n-1)(n-2)$.

اگر عدد سوم $10$ باشد، برای عدد اول از میان سایر اعداد $n-1$ انتخاب و برای عدد دوم $n-2$ انتخاب داریم. بنابراین:
$P(\text{عدد سوم برابر با }10)=\frac{(n-1)(n-2)}{n(n-1)(n-2)}=\frac{1}{n}$.

با استفاده از دادهٔ سؤال:
$\frac{1}{n}=\frac{1}{15}\quad\Rightarrow\quad n=15$.

گام دوم: تفسیر شرط «فقط عدد سوم مضرب باشد»

این شرط یعنی عددهای اول و دوم نامضربِ $3$ و عدد سوم مضربِ $3$ باشد. در میان اعداد $1$ تا $15$، مضرب‌های $3$ عبارت‌اند از:
$\{3,6,9,12,15\}$.

پس $5$ عدد مضرب و $10$ عدد نامضربِ $3$ داریم.

گام سوم: شمارش حالت‌های مطلوب و محاسبهٔ احتمال

برای عدد اول، $10$ انتخاب نامضرب داریم. چون جایگذاری نداریم، برای عدد دوم $9$ انتخاب نامضرب باقی می‌ماند. هیچ مضربی انتخاب نشده است؛ بنابراین برای عدد سوم هر $5$ مضرب در دسترس‌اند. در نتیجه:
$n(A)=10\times9\times5$.

تعداد کل سه‌تایی‌های مرتب نیز برابر است با:
$n(S)=15\times14\times13$.

پس:
$P(A)=\frac{10\times9\times5}{15\times14\times13}=\frac{450}{2730}=\frac{15}{91}$.

پاسخ: گزینهٔ ۳