دانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه بگیر، و اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسد ۲ میلیون تومان دیگرجدول دانشگاه‌هادانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه همین حالا، و ۲ میلیون تومان دیگر اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسدجدول دانشگاه‌ها
1xAi
کنکور تجربی ۱۳۹۹ · ریاضی

سوال ۱۵۱ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۹ با پاسخ تشریحی

سوال ۱۵۱ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۳۹۹، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۵۱ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۳۹۹ · سوال ۱۵۱ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۷: آمار و احتمال

پنج کتاب زبان فارسی و ۳ کتاب زبان انگلیسی، به تصادف در یک قفسه کنار هم چیده شده‌اند. با کدام احتمال کتاب‌های هم زبان، کنار هم قرار می‌گیرند؟

  1. گزینهٔ ۱: 114\frac{1}{14}
  2. گزینهٔ ۲: 121\frac{1}{21}
  3. گزینهٔ ۳: 128\frac{1}{28}
  4. گزینهٔ ۴: 156\frac{1}{56}
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۳ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

۱. پیشامد مطلوب را مشخص می‌کنیم: همهٔ کتاب‌های فارسی باید کنار هم و همهٔ کتاب‌های انگلیسی نیز کنار هم باشند. پس چیدمان مطلوب از دو دستهٔ یکپارچه تشکیل می‌شود.

۲. تعداد کل حالت‌ها را می‌شماریم. کتاب‌ها را متمایز در نظر می‌گیریم؛ بنابراین تعداد چیدمان‌های 88 کتاب در قفسه برابر است با:
n(S)=8!n(S)=8!
چون چیدن کتاب‌ها تصادفی است، این حالت‌ها هم‌شانس‌اند و می‌توانیم از رابطهٔ P(A)=n(A)n(S)P(A)=\frac{n(A)}{n(S)} استفاده کنیم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۴۶–۱۴۷).

۳. برای شمارش حالت‌های مطلوب، کتاب‌های هر زبان را یک دسته در نظر می‌گیریم؛ این همان روش دسته‌بندی در مثال کنار هم قرار گرفتن دو حرف است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۴۹). دو دسته به 2!2! حالت مرتب می‌شوند: فارسی‌ها پیش از انگلیسی‌ها یا برعکس. همچنین کتاب‌های فارسی درون دستهٔ خود 5!5! و کتاب‌های انگلیسی درون دستهٔ خود 3!3! ترتیب دارند. در نتیجه:
n(A)=2!×5!×3!n(A)=2!\times5!\times3!

۴. احتمال را محاسبه می‌کنیم:
P(A)=2!×5!×3!8!=2×68×7×6=12336=128P(A)=\frac{2!\times5!\times3!}{8!}=\frac{2\times6}{8\times7\times6}=\frac{12}{336}=\frac{1}{28}

پاسخ: گزینهٔ ۳

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

  • گزینهٔ ۱: این گزینه ممکن است از دوبار شمردن ترتیب دو دسته به دست آید؛ مثلاً پس از درنظرگرفتن ضریب 2!2!، دوباره تعداد حالت‌های مطلوب را دو برابر کنیم. ترتیب «فارسی، انگلیسی» و «انگلیسی، فارسی» با همان ضریب 2!2! کامل شمرده شده است.
  • گزینهٔ ۲: این گزینه می‌تواند حاصل خطا در ساده‌کردن فاکتوریل‌ها باشد؛ مثلاً اگر حاصل 8×7×68\times7\times6 به‌اشتباه 252252 محاسبه شود، کسر 12252=121\frac{12}{252}=\frac{1}{21} به دست می‌آید. حاصل درست این ضرب 336336 است.
  • گزینهٔ ۴: اگر فقط ترتیب «ابتدا فارسی‌ها، سپس انگلیسی‌ها» را بشماریم، به 5!×3!8!=156\frac{5!\times3!}{8!}=\frac{1}{56} می‌رسیم. اما ترتیب برعکس نیز مطلوب است؛ پس باید ضریب 2!2! را در صورت وارد کنیم.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

  1. تعریف احتمال در حالت‌های هم‌شانس و روش کنار هم نگه‌داشتن چند شیء را به یاد بیاورید؛ مثال کنار هم بودن دو حرف در ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۴۹، راهگشاست.
  2. هر زبان باید یک دستهٔ یکپارچه تشکیل دهد؛ بنابراین یک دستهٔ فارسی و یک دستهٔ انگلیسی بسازید. هم ترتیب این دو دسته و هم ترتیب کتاب‌ها درون هر دسته اهمیت دارد.
  3. تعداد کل چیدمان‌ها 8!8! است. برای شمارش حالت‌های مطلوب، تعداد ترتیب‌های دو دسته را در 5!5! و 3!3! ضرب کنید و سپس نسبت حالت‌های مطلوب به کل حالت‌ها را بنویسید.

ریاضی ۱ · فصل ۷: آمار و احتمال

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «آمار و احتمال» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگانتمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۳۹۹

تمرین رایگان
تمرین در پنل یادگیری