سوال ۱۲۳ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۱ با پاسخ تشریحی

۱. تعیین شرط مماس بودن

«نقطه‌ای به طول واحد» یعنی نقطه‌ای با $x=1$. شیب خط مماس در این نقطه برابر مشتق تابع در همان نقطه است؛ این ارتباط بر پایهٔ حد شیب خط‌های قاطع است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۶۸ و صفحات ۷۰–۷۱).

معادلهٔ خط را به صورت شیب ـ عرض از مبدأ می‌نویسیم:
$4y-3x=n\quad\Rightarrow\quad y=\frac{3}{4}x+\frac{n}{4}$
پس شرط شیب عبارت است از:
$f'(1)=\frac{3}{4}$

۲. محاسبهٔ پارامتر تابع

برای تابع $f(x)=\frac{x^2+mx+1}{x+3}$، با قاعدهٔ مشتق خارج‌قسمت داریم:
$f'(x)=\frac{(2x+m)(x+3)-(x^2+mx+1)}{(x+3)^2}=\frac{x^2+6x+3m-1}{(x+3)^2}$
بنابراین:
$f'(1)=\frac{6+3m}{16}=\frac{3}{4}$
در نتیجه:
$6+3m=12\quad\Rightarrow\quad m=2$

۳. تعیین نقطهٔ تماس و ثابت خط

نقطهٔ تماس هم روی نمودار و هم روی خط مماس قرار دارد؛ از همین ویژگی در نوشتن معادلهٔ مماس استفاده می‌کنیم (ریاضی ۳، صفحات ۷۵–۷۶، تمرین اول).

با جای‌گذاری پارامتر در تابع:
$f(1)=\frac{1+2+1}{1+3}=1$
پس نقطهٔ تماس $(1,1)$ است. با قرار دادن مختصات آن در معادلهٔ خط:
$n=4(1)-3(1)=1$
در پایان:
$m+n=2+1=3$

پاسخ: گزینهٔ ۴