سوال ۱۲۷ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

برای وجود ریشهٔ دوم در مجموعهٔ اعداد حقیقی، عبارت زیر رادیکال باید تعریف‌شده و نامنفی باشد؛ عدد منفی ریشهٔ دوم حقیقی ندارد (ریاضی ۱، صفحهٔ ۷۴). بنابراین باید دو حالت را بررسی کنیم: منفی بودن کسر و تعریف‌نشده بودن آن.

گام اول: یافتن نقاط مهم
صورت و مخرج را برابر صفر قرار می‌دهیم:
$1-a=0\Rightarrow a=1$
$9-3a=0\Rightarrow a=3$
مطابق روش تعیین علامت کسر، این نقاط مرز بازه‌های بررسی علامت‌اند و مقدار صفرکنندهٔ مخرج از دامنه حذف می‌شود (ریاضی ۱، صفحهٔ ۹۱).

گام دوم: تعیین علامت کسر

• اگر $a<1$ باشد، صورت و مخرج هر دو مثبت‌اند؛ پس کسر مثبت است.
• اگر $a=1$ باشد، کسر صفر است و ریشهٔ دوم آن وجود دارد.
• اگر $1<a<3$ باشد، صورت منفی و مخرج مثبت است؛ پس کسر منفی است و ریشهٔ دوم حقیقی ندارد.
• اگر $a=3$ باشد، مخرج صفر است و عبارت تعریف نمی‌شود؛ بنابراین ریشهٔ دوم آن نیز تعریف‌شده نیست.
• اگر $a>3$ باشد، صورت و مخرج هر دو منفی‌اند؛ پس کسر مثبت است و ریشهٔ دوم دارد.

گام سوم: شمارش اعداد طبیعی
تنها عدد طبیعی در بازهٔ $1<a<3$، مقدار $a=2$ است. مقدار $a=3$ نیز به‌دلیل صفر شدن مخرج باید شمرده شود. پس مقادیر موردنظر عبارت‌اند از:
$\{2,3\}$
در نتیجه، تعداد آن‌ها برابر با $2$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۱