سوال ۶۸ فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

گام اول: شرط ثابت ماندن سرعت را بنویسیم.
چون هم اندازه و هم جهت سرعت الکترون ثابت است، شتاب آن صفر و در نتیجه برآیند نیروهای وارد بر آن صفر است:
$\vec a=0\quad\Rightarrow\quad\vec F_E+\vec F_B=0$.
بنابراین نیروی الکتریکی و نیروی مغناطیسی باید هم‌اندازه و خلاف‌جهت باشند؛ نه لزوماً خود میدان‌ها.

گام دوم: راستای میدان الکتریکی را تعیین کنیم.
طبق مبحث نیروی مغناطیسی، این نیرو همواره بر راستای سرعت عمود است و منفی بودن بار الکترون فقط جهت نیرو را نسبت به بار مثبت معکوس می‌کند، نه این عمود بودن را (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۸۹). پس نیروی الکتریکی که باید نیروی مغناطیسی را خنثی کند نیز بر سرعت عمود است:
$\vec F_E=-\vec F_B\quad\Rightarrow\quad\vec F_E\perp\vec v$.
از رابطهٔ $\vec F_E=q\vec E$ می‌دانیم نیروی الکتریکی و میدان الکتریکی هم‌راستا هستند؛ برای الکترون جهتشان مخالف است. در نتیجه:
$\vec E\perp\vec v$.
اگر میدان الکتریکی مؤلفه‌ای در راستای حرکت داشت، نیروی ناشی از آن مؤلفه با نیروی مغناطیسی خنثی نمی‌شد و سرعت تغییر می‌کرد.

گام سوم: آیا میدان مغناطیسی نیز الزاماً بر حرکت عمود است؟
خیر. اندازهٔ نیروی مغناطیسی از رابطهٔ $F_B=|q|vB\sin\theta$ به دست می‌آید (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۸۹). بنابراین تنها مؤلفهٔ عمود بر سرعت در ایجاد این نیرو نقش دارد:
$B_\perp=B\sin\theta,\qquad F_B=|q|vB_\perp$.
مؤلفهٔ موازی سرعت نیروی مغناطیسی ایجاد نمی‌کند؛ پس وجود آن مانعی برای تعادل نیروها نیست. شرط برابری اندازهٔ نیروها نیز به صورت $|q|E=|q|vB_\perp$ یا $E=vB_\perp$ است، بدون آنکه لازم باشد کل میدان مغناطیسی بر سرعت عمود باشد.

پس میدان الکتریکی حتماً بر مسیر حرکت عمود است، ولی میدان مغناطیسی می‌تواند نسبت به مسیر مایل باشد.
پاسخ: گزینهٔ ۴