سوال ۷۵ فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

ابتدا فشار هوا را با $P_0$، جرم پیستون را با $m$ و مساحت آن را با $A$ نشان می‌دهیم. عدد اعشاری جرم داده‌شده برابر $m=1.75\,\mathrm{kg}$ است.

گام اول: فشار گاز در دو حالت تعادل
طبق رابطهٔ فشار، نیروی گاز بر پیستون برابر $F=PA$ است (فیزیک ۱ ریاضی، صفحهٔ ۱۳۳). در حالت اولیه، نیروی رو به بالای گاز با مجموع نیروی فشار هوا و وزن پیستون برابر است؛ پس:
$P_1A=P_0A+mg$
بنابراین:
$P_1=P_0+\frac{mg}{A}$
جرم وزنهٔ افزوده‌شده برابر $9m$ است؛ در نتیجه جرم کل روی گاز در حالت نهایی برابر $10m$ می‌شود. پس تعادل نهایی می‌دهد:
$P_2=P_0+\frac{10mg}{A}$

گام دوم: نسبت حجم‌های اولیه و نهایی
ارتفاع اولیهٔ گاز $h_1=40\,\mathrm{cm}$ است و پیستون به اندازهٔ $10\,\mathrm{cm}$ پایین می‌آید؛ بنابراین:
$h_2=40-10=30\,\mathrm{cm}$
چون مساحت مقطع استوانه ثابت است و $V=Ah$، داریم:
$\frac{V_2}{V_1}=\frac{h_2}{h_1}=\frac{30}{40}=\frac{3}{4}$

گام سوم: استفاده از ثابت‌بودن دما
از معادلهٔ حالت گاز آرمانی $PV=nRT$، برای مقدار معینی گاز در دمای ثابت نتیجه می‌شود که $PV$ ثابت است؛ معادلهٔ حالت در مثال کتاب نیز به کار رفته است (فیزیک ۱ ریاضی، صفحهٔ ۱۳۲). بنابراین:
$P_1V_1=P_2V_2\quad\Rightarrow\quad4P_1=3P_2$
با جای‌گذاری فشارهای دو حالت:
$4\left(P_0+\frac{mg}{A}\right)=3\left(P_0+\frac{10mg}{A}\right)$
با بازکردن پرانتزها و مرتب‌کردن جمله‌ها:
$4P_0+\frac{4mg}{A}=3P_0+\frac{30mg}{A}$
$P_0=\frac{26mg}{A}$

گام چهارم: محاسبهٔ فشار هوا
ابتدا مساحت را به یکای استاندارد تبدیل می‌کنیم:
$A=50\,\mathrm{cm^2}=50\times10^{-4}\,\mathrm{m^2}=5\times10^{-3}\,\mathrm{m^2}$
اکنون:
$\frac{mg}{A}=\frac{1.75\times10}{5\times10^{-3}}=3500\,\mathrm{Pa}$
پس فشار هوا برابر است با:
$P_0=26\times3500=91000\,\mathrm{Pa}=9.1\times10^4\,\mathrm{Pa}$

پاسخ: گزینهٔ ۳