سوالات کنکور ریاضی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

عدد جرمی هسته‌ای $A=211$ و بار هستهٔ آن $1/344\times10^{-17}\,\mathrm{C}$ است. اگر این هسته پرتو آلفا گسیل کند، تعداد نوترون‌های آن پس از واپاشی چند تا است؟

کدام مورد درست است؟

کدام مفهوم فیزیکی به شکل زیر مربوط نیست؟

شکل: شکل: درختی در سمت چپ بالای تصویر با برچسب «نور»؛ پرتوهای نور از درخت به‌صورت خطوط خمیده به سمت پایین و راست می‌روند و به شخصی که روی زمین (خط افقی) در سمت راست ایستاده می‌رسند؛ تصویر خط‌چین درخت (تصویر وارونه) زیر سطح زمین دیده می‌شود.

شکل زیر، بردارهای میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی یک موج الکترومغناطیسی را یک نقطه و در لحظهٔ معینی نشان می‌دهد. جهت انتشار این موج کدام است؟

شکل: دستگاه مختصات با محور x افقی به سمت راست و محور y عمودی به سمت بالا؛ بردار $\vec{E}$ در امتداد محور x (به سمت راست) و بردار $\vec{B}$ در امتداد محور y (به سمت بالا) از مبدأ رسم شده‌اند.

نمودار مکان ـ زمان متحرکی که در امتداد محور $x$ با شتاب ثابت حرکت می‌کند، مطابق شکل است. اگر سرعت متوسط متحرک در بازهٔ زمانی $t=2\,\mathrm{s}$ تا $t=7\,\mathrm{s}$، $0/75\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ باشد، تندی متوسط آن در همین بازهٔ زمانی چند متر بر ثانیه است؟

شکل: نمودار x بر حسب t (s): سهمی که در t=0 از مقدار مثبت (بالای محور t) شروع می‌شود، کاهش می‌یابد تا در t=4 s به کمینه (زیر محور t) می‌رسد، سپس افزایش یافته و محور t را در زمانی بعد از ۴ قطع می‌کند و بالا می‌رود. روی محور t عدد ۴ (رأس سهمی) مشخص شده است.

در یک مسیر مستقیم، خودرو A با تندی ثابت $72\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ در حرکت است و به فاصلهٔ ۲۸ متر پشت سر آن خودرو B نیز با همان تندی حرکت می‌کند. در یک لحظه خودرو A با شتاب ثابت $4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}$ سرعت خود را کاهش می‌دهد و ۲ ثانیه بعد رانندهٔ خودروی B با شتاب ثابت $4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}$ ترمز می‌کند. تندی خودروی B موقع رسیدن به خودروی A چند متر بر ثانیه است؟

ذرهٔ A روی محور $x$ حرکت می‌کند و معادلهٔ سرعت ـ زمان آن در SI به‌صورت $V=2t-12$ است و در لحظهٔ $t=1\,\mathrm{s}$ از مکان $x=+9\,\mathrm{m}$ می‌گذرد. ذرهٔ B روی همین محور با سرعت ثابت $\vec{V}=(-3\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}})\vec{i}$ حرکت می‌کند و در مبدأ زمان از مبدأ محور می‌گذرد. چند ثانیه فاصلهٔ بین دو ذره کوچک‌تر یا مساوی ۲ متر است؟

گلوله‌ای در شرایط خلأ از ارتفاع ۱۸۵ متری رها می‌شود. مسافت طی‌شده در ۳ ثانیهٔ دوم چند برابر مسافت طی‌شده در ۲ ثانیهٔ سوم است؟

دورهٔ عقربهٔ ساعت‌شمار، چند برابر دورهٔ عقربهٔ ثانیه‌شمار است؟

در شکل زیر، جسمی به جرم $m$ را با نیروی افقی $F$ به دیوار قائم می‌فشاریم و جسم به حال سکون می‌ماند. $F$ را به‌تدریج کاهش می‌دهیم تا جسم در آستانهٔ لغزش قرار گیرد. در مدت تغییر $F$، بزرگی نیروی اصطکاک چگونه تغییر می‌کند؟

شکل: دیوار قائم در سمت چپ (با خطوط مورب نشان‌دهندهٔ دیوار)، جسمی مستطیلی به جرم m چسبیده به دیوار و یک پیکان افقی با برچسب F که از سمت راست به جسم وارد می‌شود و آن را به دیوار می‌فشارد.

جسمی توسط نخی آویزان شده است و در لحظه‌ای نیروی کشش نخ کمتر از نیروی وزن جسم است. در آن لحظه حرکت جسم ممکن است کدام‌یک از حالت‌های زیر باشد؟
الف: با شتاب رو به پایین در حال پایین رفتن باشد.
ب: تندشونده در حال بالا آمدن باشد.
ج: با شتاب رو به پایین در حال بالا آمدن باشد.
د: کندشونده در حال پایین رفتن باشد.

خودرویی به جرم ۲ تُن با سرعت $72\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ روی سطح افقی در حال حرکت است، راننده ترمز می‌کند و خودرو با شتاب ثابت بعد از طی ۴۰ متر می‌ایستد. در حالت کاهش سرعت، نیرویی که از طرف سطح بر خودرو وارد می‌شود چند نیوتون است؟ ($g=10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}$)

در یک فضای باز، تراز شدت صوت در فاصلهٔ ۱۰ متری از یک چشمهٔ نقطه‌ای صوت ۶۴ دسی‌بل است. تراز شدت صوت در فاصلهٔ ۱۰۰ متری از این چشمه صوت چند دسی‌بل است؟ (از جذب انرژی توسط محیط انتشار صرف‌نظر شده است.)

معادلهٔ حرکت هماهنگ سادهٔ در SI به صورت $x=0/04\cos 500t$ است. در هر دوره چند میلی‌ثانیه، بردار سرعت و بردار مکان نوسانگر هم‌جهت و هر دو در خلاف جهت محور $x$ هستند؟

تاری به طول ۸۰cm و چگالی $5\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}}$ با نیروی کشش ۳۰۰N بین دو نقطه محکم بسته شده است. تار به تشدید درآمده و با بسامد ۲۵۰Hz ارتعاش می‌کند و در طول آن ۲ شکم ایجاد شده است. سطح مقطع تار چند میلی‌متر مربع است؟

در آزمایش فوتوالکتریک، تابع کار فلز $2/2\,\mathrm{eV}$ است. نوری با طول موج $\lambda$ به سطح فلز می‌تابد و سبب گسیل فوتوالکترون‌هایی می‌شود که بیشینهٔ تندی آنها $8\times10^5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ است. $\lambda$ چند نانومتر است؟ ($e=1/6\times10^{-19}\,\mathrm{C}$، $m_e=9\times10^{-31}\,\mathrm{kg}$ و $hc=1240\,\mathrm{eV.nm}$)

در اتم هیدروژن، الکترون از مدار $n$ به مدار $n'$ جهش می‌کند و انرژی آن $0/21E_R$ کاهش می‌یابد و این انرژی به صورت پرتو الکترومغناطیسی گسیل می‌شود. این گسیل در چه رشته‌ای است و این پرتو در کدام ناحیه از طیف قرار دارد؟

در شکل زیر، بارهای الکتریکی نقطه‌ای یکسان در رأس‌های مربعی قرار دارند. نیروی الکتریکی خالص که بر $q_2$ وارد می‌شود، چند برابر نیروی الکتریکی است که $q_1$ بر $q_3$ وارد می‌کند؟

شکل: مربعی که سه رأس آن بار نقطه‌ای یکسان دارند: $q_1$ در رأس پایین چپ، $q_2$ در رأس بالا چپ، $q_3$ در رأس بالا راست. رأس پایین راست خالی است.

دو خازن را با یک باتری شارژ کرده‌ایم، اگر انرژی یکی از خازن‌ها چهار برابر انرژی دیگری باشد، ظرفیت و بار الکتریکی آن به‌ترتیب، چند برابر ظرفیت و بار الکتریکی خازن دیگر است؟

۸ سیم مسی هر یک به طول $\ell$ و قطر مقطع $d$ به صورت موازی به هم وصل شده و یک رسانا به مقاومت $R$ تشکیل داده‌اند. قطر مقطع یک سیم مسی به طول $\ell$ چند $d$ باشد تا مقاومت الکتریکی آن $2R$ شود؟

مقاومت الکتریکی المنت یک اجاق برقی در دمای $300\,\mathrm{K}$ برابر $25\,\Omega$ است. در حالتی که با ولتاژ ۲۳۴ ولت، دمای المنت به ۳۰۷ درجهٔ سلسیوس برسد، جریان عبوری از المنت چند آمپر است؟ ($\alpha=2\times10^{-3}\,\mathrm{K^{-1}}$)

در کدام مادهٔ مغناطیسی در حضور میدان‌های مغناطیسی قوی، خاصیت مغناطیسی ضعیف و موقت در جهت میدان خارجی به‌وجود می‌آید؟

حلقهٔ مسی به قطر $10\,\mathrm{cm}$ روی میزی قرار دارد. یک میدان مغناطیسی یکنواخت که از درون حلقه می‌گذرد و با خط عمود بر سطح حلقه زاویه ۶۰ درجه می‌سازد، در مدت $50\,\mu\mathrm{s}$ از صفر تا $400\,\mathrm{G}$ تغییر می‌کند. بزرگی نیروی محرکهٔ القایی متوسط در حلقه چند ولت است؟

در کدام حالت پدیدهٔ تَرشوندگی اتفاق می‌افتد؟

در شکل زیر، وزنه به نخی بسته شده است و در یک مسیر دایره‌ای حرکت می‌کند. وقتی نخ در حالت افقی قرار دارد، وزنه را از نقطهٔ A رها می‌کنیم. اگر تغییر انرژی جنبشی وزنه در طی کمان $\widehat{AB}$ برابر $\Delta k_1$ و در طی کمان $\widehat{BC}$ برابر $\Delta k_2$ باشد، نسبت $\frac{\Delta k_1}{\Delta k_2}$ چقدر است؟ (مقاومت هوا ناچیز فرض شود.)

شکل: نقطهٔ O مرکز دایره است. نقطهٔ A در سمت چپ O و هم‌سطح با آن است (نخ افقی OA). نقطهٔ C دقیقاً زیر O روی خط قائم قرار دارد (OC قائم). نقطهٔ B روی کمان دایره بین A و C است و OB با OA زاویهٔ $30°$ می‌سازد و با OC زاویهٔ $60°$. مسیر خط‌چین کمانی از A به B و سپس از B به C است.

در یک نیروگاه آبی، آب از ارتفاع ۹۰ متری سقوط می‌کند و ۴۰ درصد انرژی آزاد شده از آن به انرژی الکتریکی تبدیل می‌شود. اگر توان الکتریکی خروجی ۶۰ مگاوات باشد، حجم آبی که در هر دقیقه سقوط می‌کند چند مترمکعب است؟ ($g=10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}$ و $\rho_{آب}=1000\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}$)

در چرخهٔ ترمودینامیکی شکل زیر، گاز آرمانی با انبساط بی‌دررو از نقطهٔ A به نقطهٔ B می‌رود. سپس طی یک فرایند هم‌حجم با مبادلهٔ $350\,\mathrm{J}$ گرما، به نقطهٔ C می‌رود. پس از آن با انجام کاری به بزرگی $600\,\mathrm{J}$ طی یک فرایند هم‌دما به نقطهٔ A بازمی‌گردد. کل کار انجام‌شده روی گاز در این چرخه چند ژول است؟

شکل: نمودار P-V با محور عمودی P و محور افقی V. دو منحنی هم‌دمای خط‌چین: $T_1$ (پایین‌تر) و $T_2$ (بالاتر). نقطهٔ A در بالا سمت چپ روی $T_2$؛ نقطهٔ B پایین‌تر روی $T_1$ و نقطهٔ C بالای B روی $T_2$ (هم‌حجم با B). فلش‌ها: A به B با منحنی بی‌دررو (انبساط)، B به C قائم رو به بالا، C به A در امتداد هم‌دمای $T_2$.

در مخزنی به حجم ۲۶ لیتر، ۲۱ گرم گاز مخلوط هیدروژن و نیتروژن قرار دارد. اگر در دمای ۵۲ درجهٔ سلسیوس، فشار پیمانه‌ای گاز $3\,\mathrm{atm}$ باشد، نسبت جرم گاز نیتروژن به جرم گاز هیدروژن در این مخلوط، چقدر است؟ ($R=8\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol.K}}$ و $1\,\mathrm{atm}=10^5\,\mathrm{Pa}$ ، $M_{\mathrm{N_2}}=28\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{mol}}$ ، $M_{\mathrm{H_2}}=2\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{mol}}$)

اگر شمار الکترون‌های دارای $n=4$ در اتم عنصری، برابر با شمار الکترون‌های دارای $n=2$ ، $l=1$ در آرایش الکترونی آن باشد، عدد اتمی این عنصر کدام است؟

اگر آرایش الکترونی اتم‌های X، Y و Z، به‌ترتیب به $4s^2$ ، $4s^1$ و $3p^5$ ختم شده باشد، کدام مورد دربارهٔ آنها، نادرست است؟

اگر مجموع شمار ذره‌های زیراتمی باردار در یون پایدار $\mathrm{X^{n-}}$ (عنصر X متعلق به دورهٔ سوم جدول تناوبی)، ۷ برابر شمار الکترون‌های اتم عنصر Z از دورهٔ دوم جدول باشد، تفاوت شمارهٔ گروه دو عنصر کدام است؟

در ساختار لوویس آنیون کدام ترکیب، نسبت شمار جفت‌الکترون‌های پیوندی به شمار جفت‌الکترون‌های ناپیوندی روی اتم‌ها، بزرگ‌تر است؟

ویژگی یا کاربرد کدام گاز، نادرست بیان شده است؟

شمار مول‌های اکسیژن تشکیل‌شده از تجزیهٔ کامل 0/2 مول $\mathrm{KClO_3}$، مطابق با معادلهٔ واکنش داده شده، با شمار مول‌های کربن‌دی‌اکسید تشکیل‌شده از سوختن کامل 0/15 مول از کدام مادهٔ زیر برابر است؟ (معادلهٔ واکنش موازنه شود.)
$\mathrm{KClO_3(s)\xrightarrow{\Delta}KCl(s)+O_2(g)}$

کدام ماده در آب حل شده و در فرایند انحلال آن، ساختار ماده بدون تغییر باقی می‌ماند؟

انحلال‌پذیری لیتیم سولفات در دمای $40^\circ\mathrm{C}$ و $70^\circ\mathrm{C}$، به‌ترتیب، برابر 30 و 25 گرم نمک در 100 گرم آب است. اگر دمای 650 گرم محلول از $40^\circ\mathrm{C}$ تا $70^\circ\mathrm{C}$ افزایش یابد، حداقل چند گرم آب مقطر لازم است تا همهٔ رسوب تشکیل‌شده را حل کند؟

کدام مورد دربارهٔ ویژگی‌های انحلال سدیم کلرید در آب درست است؟

اگر از سوختن کامل 0/1 مول هیدروکربن غیرحلقوی $\mathrm{C_8H_n}$، 10/8 گرم بخار آب تشکیل شود، برای سیر شدن یک مول از آن، چند گرم گاز هیدروژن لازم است؟ ($\mathrm{H=1,\ O=16:\ g.mol^{-1}}$)

با توجه به مقایسهٔ واکنش‌پذیری چهار عنصر آغازی دورهٔ دوم جدول تناوبی که به شکل نامرتب و با حروف انگلیسی نشان داده شده، کدام مورد درست است؟

شکل: نمودار خطی با محور قائم «واکنش‌پذیری» (جهت فلش به سمت بالا). چهار نقطه با خط شکسته به ترتیب از چپ به راست به هم وصل شده‌اند: نقطهٔ X در پایین سمت چپ، سپس بالا رفتن تا نقطهٔ Y (بالاترین نقطه)، سپس پایین آمدن تا نقطهٔ Z (پایین‌ترین نقطه)، سپس بالا رفتن تا نقطهٔ D (بالاتر از X و Z و پایین‌تر از Y). یعنی ترتیب واکنش‌پذیری: Z < X < D < Y.

با توجه به معادلهٔ واکنش داده‌شده، اگر 6/72 لیتر گاز هیدروژن سولفید (در شرایط STP)، با مقدار کافی محلول نیتریک اسید واکنش داده و در مجموع، 0/45 مول ترکیب مولکولی تشکیل دهد، بازدهٔ درصدی واکنش کدام است؟ (معادلهٔ واکنش موازنه شود.)
$\mathrm{HNO_3(aq)+H_2S(g)\to S(s)+NO(g)+H_2O(l)}$

اگر در ساختار آلکانی غیرحلقوی، نسبت شمار اتم‌های هیدروژن به شمار اتم‌های کربن، برابر 2/4 باشد، در ساختار چند ایزومر از آن، 3 اتم کربن با عدد اکسایش $-3$ وجود دارد؟

با توجه به معادلهٔ واکنش: $\mathrm{2NF_3(g)+Cu(s)\to N_2F_4(g)+CuF_2(s)}$ ، $\Delta H=-310\,\mathrm{kJ}$ ، و معادلهٔ واکنش‌های (I) و (II)، آنتالپی واکنش (III)، برابر چند کیلوژول است؟
$\mathrm{I)\ 2NF_3(g)+2NO(g)\to N_2F_4(g)+2NOF(g)}$ ، $\Delta H=-83\,\mathrm{kJ}$
$\mathrm{II)\ 2NO(g)+F_2(g)\to 2NOF(g)}$ ، $\Delta H=-320\,\mathrm{kJ}$
$\mathrm{III)\ Cu(s)+F_2(g)\to CuF_2(s)}$ ، $\Delta H=?\,\mathrm{kJ}$

با توجه به واکنش‌های گازی زیر، که به‌صورت جداگانه، در دو ظرف دربسته و با تزریق گازهای $\mathrm{A}$ و $\mathrm{D}$، انجام می‌شود، اگر هر دو واکنش، در مدت زمان $x$ دقیقه پایان یابد و سرعت متوسط مصرف $\mathrm{A}$، برابر با سرعت متوسط مصرف $\mathrm{D}$ باشد، کدام مورد درست است؟
$\mathrm{I)\ 2A\to M+3J}$ ، $\mathrm{II)\ 3D\to E+2R}$

با توجه به واکنش: $\mathrm{SF_4(g)+2H_2O(l)\to SO_2(g)+4HF(g)}$ ، $\Delta H=-820\,\mathrm{kJ}$ ، که در ظرف ۴ لیتری انجام می‌شود، اگر گرمای آزادشده از واکنش در مدت ۲۰ ثانیه، برابر با ۲۰۵ کیلوژول باشد، سرعت متوسط تشکیل $\mathrm{HF}$ در این مدت، برابر چند مول بر لیتر بر دقیقه است؟

اگر در ساختار مولکول $\mathrm{X}$، هر اتم کربن با سه اتم دیگر پیوند اشتراکی داشته باشد، کدام مورد، نمی‌تواند ترکیب $\mathrm{X}$ باشد؟

با توجه به ساختار مولکول‌های داده‌شده، کدام مورد، نادرست است؟ ($\mathrm{H=1,\ C=12,\ N=14,\ O=16:g.mol^{-1}}$)

شکل: ساختار (a): دو حلقة بنزنی که مستقیماً به هم متصل‌اند (بی‌فنیل)، با گروه $\mathrm{H_2N}$ در سمت چپ حلقة اول و گروه $\mathrm{NH_2}$ در سمت راست حلقة دوم (در موقعیت‌های روبه‌روی هم). ساختار (b): نفتالن (دو حلقة بنزنی جوش‌خورده) با گروه $\mathrm{HO}$ در بالای سمت چپ و گروه $\mathrm{OH}$ در بالای سمت راست.

کدام مورد دربارة «پاک‌کننده‌های خورنده»، درست است؟

اگر $\mathrm{pH}$ محلول اسید ضعیف $\mathrm{HA}$ ($K_a=2\times10^{-5}$)، با $\mathrm{pH}$ محلول 0/002 مولار هیدروکلریک اسید برابر باشد، به‌ترتیب، درصد یونش آن به تقریب کدام و برای تهیة ۲۰۰ میلی‌لیتر از محلول $\mathrm{HA}$، به تقریب چند گرم اسید لازم است؟ ($\mathrm{HA=50\,g.mol^{-1}}$)

کدام مورد (با در نظر گرفتن دمای اتاق) درست است؟

اگر قدرت اکسندگی $\mathrm{A^{2+}}$، بیشتر از $\mathrm{X^{2+}}$ و قدرت کاهندگی $\mathrm{A}$ کمتر از $\mathrm{Y}$ باشد، کدام مورد به یقین درست است؟ ($\mathrm{A}$، $\mathrm{X}$ و $\mathrm{Y}$، هر سه فلزند و $E^\circ(\mathrm{X^{2+}/X})>0$)

کدام مورد در مقایسة ویژگی‌های «فرایند آبکاری فلز با نقره» و «سلول گالوانی هیدروژن ـ مس» مشابه است؟ ($E^\circ(\mathrm{Cu^{2+}/Cu})>0$)

با توجه به معادلة واکنش: $\mathrm{3X^{n+}(aq)+bCr(s)\to bCr^{3+}(aq)+3X(s)}$ ، اگر به‌ازای مصرف 0/04 مول فلز کروم، 0/12 مول الکترون مبادله شود، پس از موازنة معادلة واکنش، نسبت $n$ به $b$، کدام خواهد شد؟

با توجه به جدول که مقدار آنتالپی فروپاشی شبکه را برای چند ترکیب یونی به صورت پارامتری نشان می‌دهد، کدام مورد درست است؟

با توجه به معادلهٔ نوشتاری واکنش‌های داده‌شده، کدام مورد درست است؟

I) اتانول + اتانوئیک اسید → $\mathrm{A}$ + آب
II) گاز اتن + $\mathrm{X}$ → افشانهٔ بی‌حس‌کنندهٔ موضعی
III) گاز اتن + محلول آبی و رقیق پتاسیم پرمنگنات → $\mathrm{Y}$

در دمای معیّن، تعادل گازی: $2\mathrm{NO}\rightleftharpoons \mathrm{N_2}+\mathrm{O_2}$ ، با 0/1 مول از هر واکنش‌دهنده و 0/2 مول فراورده، در یک ظرف ۵ لیتری برقرار است. اگر با تزریق مقداری گاز $\mathrm{NO}$ به ظرف واکنش، ۵۰ درصد به غلظت آن اضافه شود، پس از برقراری تعادل جدید، غلظت مولی گاز $\mathrm{N_2}$ ، کدام خواهد بود؟

مقدار عبارت گویای $A=\frac{x^3-3\sqrt[3]{2}x^2+3\sqrt[3]{4}x-1}{x^3-3\sqrt[3]{3}x^2+3\sqrt[3]{9}x}$ به‌ازای $x=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}$ کدام است؟

اگر $3a+2$، ۱۱ و $a-4$، به‌ترتیب جملات چهارم، هفتم و نهم یک الگوی خطی باشند، چند جمله از این الگو مثبت است؟

به چند طریق می‌توان از بین ۳ ریاضی‌دان، ۳ فیزیک‌دان و ۳ شیمی‌دان، یک کمیتهٔ علمی دو نفره انتخاب کرد به‌طوری‌که دو نفر انتخابی هم‌رشته نباشند؟

چند عدد چهار رقمی با ارقام ۳، ۴ و ۶ می‌توان نوشت که بر ۶ بخش‌پذیر باشند؟

اگر $\alpha$ و $\beta$ دو عدد حقیقی و متمایز باشند به‌طوری‌که $\alpha^2=\alpha+3$ و $\beta^2=\beta+3$ باشد، مقدار $\alpha^5+\beta^5$ کدام است؟

اگر طول یک ضلع مثلثی ۳۰ و اندازهٔ دو زاویهٔ مجاور آن ضلع $60^\circ$ و $67^\circ$ باشد، محیط مثلث کدام است؟ ($\cos 53^\circ = 0/6$)

اگر $\cos\alpha=\frac{4}{5}$ و $\cos\beta=-\frac{12}{13}$ و انتهای کمان $\alpha$ در ربع اول و انتهای کمان $\beta$ در ربع دوم قرار داشته باشد، انتهای زاویه‌های $\alpha+\beta$ و $2\beta$ به‌ترتیب در کدام ربع‌ها قرار دارند؟

معادله مثلثاتی $\tan 4x=\frac{\sqrt{3}+\tan x}{1+\sqrt{3}\cot x}$ چند جواب در بازهٔ $[-2\pi,2\pi]$ دارد؟

اگر $f(x)=1-\sqrt{x}$ و $g(x)=[1-x]$ باشد، به ازای چند مقدار صحیح $a$، $\lim_{x\to a^+} fog(x)=1+a$ است؟

حاصل $\lim_{x\to -1}\frac{\cos 2\pi x-1}{x+2\sqrt{-x}-1}$ کدام است؟

اگر $f(x)=a(1-x)(x+1)-bx^2$ یک تابع چندجمله‌ای از درجه صفر باشد، حاصل $\lim_{x\to a^-}\frac{xf(x)}{x+b}$ کدام است؟

اگر حد چپ تابع $f$ با ضابطه $f(x)=\frac{x^2+|x|}{x^2+b|x|}$ در $x=a$ برابر $-\infty$ باشد، تابع $f$ چند مجانب قائم دارد؟

اگر $\alpha$ زاویهٔ خط مماس بر نمودار تابع $y=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ در نقطهٔ $(-1,-1)$ با جهت مثبت محور $x$ها باشد، حاصل عبارت $A=3\sin\alpha+4\cos\alpha$ کدام است؟

در نقطهٔ $A$ از نمودار سهمی $y=2-x^2$ واقع در ناحیهٔ اول، مماسی رسم می‌کنیم که مماس رسم‌شده همراه با محورهای مختصات، مثلثی با مساحت مینیمم می‌سازد. عرض نقطهٔ $A$ کدام است؟

اگر $A=0!+1!+2!+3!+\dots+600!$ باشد، باقیمانده تقسیم عدد $\frac{A+2!}{3!}$ بر عدد 8، کدام است؟

آزمون ورودی مؤسسه‌ای شامل ۲۵ سؤال زبان انگلیسی و ۲۰ سؤال ریاضی است و پاسخ کاملاً درست به هر سؤال زبان انگلیسی، ۷ امتیاز و هر سؤال ریاضی ۱۲ امتیاز دارد و پاسخ ناقص بدون امتیاز است. اگر آخرین داوطلب پذیرفته‌شده، ۲۹۷ امتیاز کسب کرده باشد، او در مجموع به چند سؤال پاسخ کاملاً درست داده است؟

بزرگ‌ترین عدد طبیعی $n$ که دو مربع لاتین متعامد از مرتبه $n$ وجود ندارد، کدام است؟

در شکل زیر، $AB=AC$ و $BD=\frac{1}{4}BC$ است. اگر مساحت مثلث $ABC$ برابر ۴۰ باشد، طول $ED$ کدام است؟

شکل: مثلث ABC با رأس A در بالا، B پایین چپ و C پایین راست. ضلع AC برابر ۱۰ است. نقطهٔ D روی BC نزدیک B قرار دارد. نقطهٔ E روی ضلع AB است و DE بر AB عمود است (زاویهٔ قائمه در E).

اگر $\vec{a}=(1,-1,1)$ باشد، حاصل $\vec{k}\times(\vec{a}\times\vec{i})+(\vec{k}\times\vec{a})\times\vec{i}$ کدام است؟

برای ماتریس‌های وارون‌پذیر $A$ و $B$، اگر $(AB)^{-1}A^2B=\begin{bmatrix}5|A|&4\\|A|&2|A|\end{bmatrix}$ باشد، دترمینان ماتریس $3A$ کدام است؟

در مثلث $EFG$ شکل زیر، ضلع $EG$ در نقطه $D$ بر بیضی مماس بوده و $F$ و $F'$ کانون‌های بیضی هستند. اگر دو مثلث $EF'D$ و $EFG$ متشابه با نسبت تشابه $\frac{1}{3}$ باشند، خروج از مرکز بیضی کدام است؟

شکل: مثلث EFG با رأس E در سمت چپ و G در بالا. بیضی‌ای درون مثلث قرار دارد که کانون‌های آن F' (چپ) و F (راست) روی ضلع EF قرار دارند و فاصله F'F برابر 9 است. ضلع EG در نقطه D بر بیضی مماس است و D به F' وصل شده است. ضلع FG برابر 7/5 است.

از کارگران مشغول به کار در کارگاهی یک نمونهٔ ۷ نفره انتخاب شده است. اگر داده‌های ۲۱، ۲۱، ۲۲، ۲۴، ۲۵، ۲۷ و ۳۵ درآمد ماهیانهٔ آنها برحسب میلیون تومان باشد، خط فقر در این کارگاه چند میلیون تومان برآورد می‌شود؟

در یک خانوادهٔ $k$ فرزندی، می‌دانیم تمام فرزندان از یک جنس نیستند. به ازای کدام مقدار از $k$، احتمال اینکه دقیقاً $k-3$ فرزند از این خانواده پسر باشد، $\frac{5}{18}$ است؟

داوطلبی به هر ۵ سؤال یک آزمون پنج گزینه‌ای به‌طور تصادفی پاسخ می‌دهد. احتمال آنکه تنها به ۳ سؤال پاسخ صحیح داده باشد، کدام است؟