سوالات ریاضی کنکور ریاضی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

به‌جای محاسبهٔ مستقیم توان‌های $x$، صورت و مخرج را با اتحاد مکعب تفاضل بازنویسی می‌کنیم. این روش در راستای ساده‌سازی عبارت‌های گویا با استفاده از اتحادهاست (ریاضی ۱، صفحهٔ ۶۵).

اتحاد موردنیاز عبارت است از:
$(x-a)^3=x^3-3ax^2+3a^2x-a^3$.

گام اول: بازنویسی صورت
با قرار دادن $a=\sqrt[3]{2}$ داریم:
$(x-\sqrt[3]{2})^3=x^3-3\sqrt[3]{2}x^2+3\sqrt[3]{4}x-2$.
پس صورت کسر برابر است با:
$x^3-3\sqrt[3]{2}x^2+3\sqrt[3]{4}x-1=(x-\sqrt[3]{2})^3+1$.

گام دوم: بازنویسی مخرج
به همین ترتیب:
$(x-\sqrt[3]{3})^3=x^3-3\sqrt[3]{3}x^2+3\sqrt[3]{9}x-3$.
بنابراین مخرج کسر برابر است با:
$x^3-3\sqrt[3]{3}x^2+3\sqrt[3]{9}x=(x-\sqrt[3]{3})^3+3$.

گام سوم: جای‌گذاری مقدار داده‌شده
از $x=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}$ نتیجه می‌شود:
$x-\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{3}$ و $x-\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{2}$.
در نتیجه:
$A=\frac{(\sqrt[3]{3})^3+1}{(\sqrt[3]{2})^3+3}=\frac{3+1}{2+3}=\frac{4}{5}=0.8$.

مخرج در این مقدار برابر $5$ و ناصفر است؛ پس عبارت تعریف می‌شود. شرط ناصفر بودن مخرج برای تعریف عبارت گویا نیز در کتاب بیان شده است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۶۵).

پاسخ: گزینهٔ ۴

در الگوی خطی، اختلاف هر دو جملهٔ متوالی ثابت است و جملهٔ عمومی را می‌توان به‌صورت $t_n=dn+b$ نوشت؛ در اینجا $d$ همان اختلاف ثابت است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۶).

گام اول: یافتن پارامتر و اختلاف ثابت

داده‌های مسئله عبارت‌اند از:
$t_4=3a+2$، $t_7=11$ و $t_9=a-4$.

از جملهٔ چهارم تا هفتم، سه گام و از جملهٔ هفتم تا نهم، دو گام فاصله داریم؛ پس:
$\frac{t_7-t_4}{7-4}=\frac{t_9-t_7}{9-7}$

با جای‌گذاری داریم:
$\frac{11-(3a+2)}{3}=\frac{(a-4)-11}{2}$

$2(9-3a)=3(a-15)$

$18-6a=3a-45\Rightarrow 9a=63\Rightarrow a=7$

بنابراین اختلاف ثابت برابر است با:
$d=\frac{t_9-t_7}{2}=\frac{(7-4)-11}{2}=-4$

گام دوم: یافتن جملهٔ عمومی

با استفاده از جملهٔ هفتم و اختلاف ثابت می‌نویسیم:
$t_n=t_7+(n-7)d=11-4(n-7)=39-4n$

این روش همان استفاده از اختلاف ثابت برای نوشتن جملهٔ عمومی دنبالهٔ حسابی است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۲۳).

گام سوم: شمارش جمله‌های مثبت

برای مثبت‌بودن جمله باید داشته باشیم:
$t_n>0\Rightarrow 39-4n>0\Rightarrow n<\frac{39}{4}=9.75$

چون شمارهٔ جمله عددی طبیعی و از $1$ به بعد است، شماره‌های مجاز عبارت‌اند از:
$n\in\{1,2,\ldots,9\}$

پس دقیقاً $9$ جمله مثبت است. برای بررسی مرز نیز داریم $t_9=3>0$ و $t_{10}=-1<0$؛ چون الگو نزولی است، تمام جمله‌های پس از جملهٔ دهم نیز منفی‌اند.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: تشخیص نوع شمارش
در کمیتهٔ دونفره، جابه‌جا کردن ترتیب انتخاب دو عضو، کمیتهٔ تازه‌ای نمی‌سازد؛ پس با «ترکیب» سروکار داریم، نه جایگشت (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۳۳ تا ۱۳۵).

گام دوم: انتخاب رشته‌ها
برای اینکه دو عضو هم‌رشته نباشند، باید از دو رشتهٔ متفاوت انتخاب شوند. زوج‌رشته‌های ممکن عبارت‌اند از: ریاضی و فیزیک، ریاضی و شیمی، فیزیک و شیمی. بنابراین تعداد راه‌های انتخاب رشته‌ها برابر است با:
$\binom{3}{2}=3$
این همان روش انتخاب رشته‌ها در فعالیت کتاب است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۳۷).

گام سوم: انتخاب افراد
برای هر زوج‌رشته، از رشتهٔ اول یک نفر به $3$ روش و از رشتهٔ دوم یک نفر به $3$ روش انتخاب می‌کنیم. طبق اصل ضرب، تعداد کمیته‌ها برای هر زوج‌رشته برابر است با:
$\binom{3}{1}\binom{3}{1}=3\times3=9$

گام چهارم: محاسبهٔ کل
پس تعداد کل کمیته‌های مجاز برابر است با:
$\binom{3}{2}\binom{3}{1}\binom{3}{1}=3\times3\times3=27$
در این روش هر کمیته دقیقاً یک بار شمرده می‌شود؛ چون زوج‌رشتهٔ اعضای آن مشخص است و برای اعضا ترتیب در نظر نگرفته‌ایم.

پاسخ: گزینهٔ ۱

چون در صورت سؤال شرطِ «بدون تکرار» نیامده است، تکرار ارقام مجاز است. برای شمارش، مانند روش جایگاه‌ها در کتاب، ابتدا محدودیت رقم یکان را در نظر می‌گیریم و سپس از اصل ضرب و اصل جمع استفاده می‌کنیم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۲۳).

گام اول: شرط بخش‌پذیری را مشخص می‌کنیم.
عدد بر $6$ بخش‌پذیر است اگر هم زوج باشد و هم مجموع ارقامش بر $3$ بخش‌پذیر باشد؛ بنابراین یکان باید $4$ یا $6$ باشد.

از میان ارقام داده‌شده، $3$ و $6$ مضربِ $3$ هستند و رقم $4$ در تقسیم بر $3$ باقی‌ماندهٔ $1$ دارد. پس اگر تعداد رقم‌های $4$ را $k$ بنامیم، شرط بخش‌پذیری مجموع ارقام بر $3$ چنین است:
$k\equiv 0\pmod{3}$
چون عدد چهاررقمی است، فقط دو حالت داریم: $k=0$ یا $k=3$.

گام دوم: حالتِ بدون رقم $4$ را می‌شماریم.
در این حالت فقط از ارقام $3$ و $6$ استفاده می‌کنیم. برای زوج‌بودن، یکان حتماً $6$ است و هر یک از سه جایگاه دیگر دو انتخاب دارد. طبق اصل ضرب:
$2\times2\times2\times1=8$

گام سوم: حالتِ وجود سه رقم $4$ را می‌شماریم.
رقم چهارم یا $3$ است یا $6$:

ـ اگر رقم چهارم $3$ باشد، برای زوج‌بودن نمی‌تواند در یکان قرار بگیرد. پس برای جایگاه آن سه انتخاب داریم و بقیهٔ جایگاه‌ها با $4$ پر می‌شوند؛ بنابراین $3$ عدد ساخته می‌شود.

ـ اگر رقم چهارم $6$ باشد، همهٔ ارقام زوج‌اند. رقم $6$ می‌تواند در هر یک از چهار جایگاه قرار بگیرد و بقیهٔ جایگاه‌ها با $4$ پر می‌شوند؛ بنابراین $4$ عدد ساخته می‌شود.

پس تعداد این حالت برابر است با:
$3+4=7$

گام چهارم: حالت‌های جدا از هم را جمع می‌کنیم.
طبق اصل جمع، تعداد کل عددهای مطلوب برابر است با:
$8+7=15$

پاسخ: گزینهٔ ۲