سوالات ریاضی کنکور ریاضی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

برای محاسبهٔ عبارت خواسته‌شده نیازی به یافتن خودِ $x$ نداریم؛ کافی است از اتحاد مربع مجموع استفاده کنیم. به‌کارگیری اتحادها برای محاسبه و ساده‌سازی عبارت‌ها در تمرین‌های درس عبارت‌های جبری نیز مطرح شده است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۶۶ تا ۶۸).

ابتدا به دو طرف تساوی داده‌شده یک واحد اضافه می‌کنیم:
$x^2+\frac{10}{x^2+1}=9\quad\Longrightarrow\quad (x^2+1)+\frac{10}{x^2+1}=10$.

اکنون قرار می‌دهیم:
$a=x^2+1,\qquad b=\frac{10}{x^2+1}$.
چون $x^2+1>0$، مخرج صفر نیست و داریم:
$a+b=10,\qquad ab=(x^2+1)\frac{10}{x^2+1}=10$.

از اتحاد مربع مجموع، رابطهٔ زیر به دست می‌آید:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\quad\Longrightarrow\quad a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$.

عبارت خواسته‌شده دقیقاً برابر با $a^2+b^2$ است؛ بنابراین:
$(x^2+1)^2+\frac{100}{(x^2+1)^2}=10^2-2\times10=100-20=80$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

نکتهٔ نگارشی: در این سؤال، «/» نشانهٔ ممیز اعشاری است؛ بنابراین دادهٔ سؤال $\sin\alpha=0.8$ است و گزینه‌ها نیز عددهای اعشاری‌اند.

گام اول: یافتن نسبت‌های مثلثاتی زاویه
چون $AC$ قطر نیم‌دایره است، زاویهٔ $ABC$ قائمه است. زاویهٔ $\alpha$ نیز حاد است؛ پس کسینوس آن مثبت خواهد بود. با استفاده از اتحاد اصلی مثلثاتی (ریاضی ۱، صفحهٔ ۴۳) داریم:
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$
و در نتیجه:
$\cos\alpha=\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=\frac35$.

گام دوم: محاسبهٔ طول وترِ مایل
شعاع نیم‌دایره را $r$ می‌نامیم؛ بنابراین $AC=2r$ و $OC=OF=r$. مطابق تعریف سینوس در مثلث قائم‌الزاویه (ریاضی ۱، صفحهٔ ۴۲)، در مثلث $ABC$ داریم:
$\sin\alpha=\frac{BC}{AC}\quad\Rightarrow\quad BC=2r\times\frac45=\frac{8r}{5}$.

گام سوم: محاسبهٔ طول‌های مربوط به نقطهٔ تقاطع
در مثلث $ABC$، زاویهٔ رأس $C$ برابر $90^\circ-\alpha$ است. از طرفی، مثلث $COE$ در $O$ قائمه است؛ پس زاویهٔ $CEO$ برابر $\alpha$ خواهد بود. بنابراین:
$\sin\alpha=\frac{OC}{CE}\quad\Rightarrow\quad CE=\frac{r}{4/5}=\frac{5r}{4}$.
همچنین:
$\cos\alpha=\frac{OE}{CE}\quad\Rightarrow\quad OE=\frac{5r}{4}\times\frac35=\frac{3r}{4}$.

گام چهارم: محاسبهٔ نسبت خواسته‌شده
چون $E$ روی پاره‌خط $BC$ قرار دارد:
$BE=BC-CE=\frac{8r}{5}-\frac{5r}{4}=\frac{7r}{20}$.
همچنین، چون $E$ بین $O$ و $F$ است:
$EF=OF-OE=r-\frac{3r}{4}=\frac{r}{4}$.
پس:
$\frac{BE}{EF}=\frac{\frac{7r}{20}}{\frac{r}{4}}=\frac75=1.4$.
این همان عددی است که در گزینهٔ سوم به صورت «۱/۴» نوشته شده است.

پاسخ: گزینهٔ ۳