سوالات فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

برای پاسخ، باید تغییر «عدد جرمی» را بررسی کنیم، نه تغییر عدد اتمی یا انرژی هسته.

عدد جرمی $A$ برابر مجموع تعداد پروتون‌ها و نوترون‌های هسته است: $A=Z+N$.

۱. در واپاشی آلفا، هسته یک ذرهٔ $\alpha$ از جنس هستهٔ هلیم، شامل دو پروتون و دو نوترون، گسیل می‌کند. بنابراین واکنش به‌شکل $^{A}_{Z}\mathrm{X}\rightarrow{}^{A-4}_{Z-2}\mathrm{Y}+{}^{4}_{2}\mathrm{He}$ است. پس عدد جرمی هستهٔ دختر نسبت به مادر، چهار واحد کاهش می‌یابد: $A_{\text{دختر}}=A_{\text{مادر}}-4$ (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۴۲–۱۴۳).

۲. در بتای منفی، یک نوترون به پروتون تبدیل می‌شود؛ بنابراین تعداد نوترون‌ها یک واحد کم و تعداد پروتون‌ها یک واحد زیاد می‌شود، اما مجموع آن‌ها و در نتیجه عدد جرمی ثابت می‌ماند (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۴۳–۱۴۴).

۳. در بتای مثبت، یک پروتون به نوترون تبدیل می‌شود؛ پس باز هم تعداد کل نوکلئون‌ها و عدد جرمی تغییر نمی‌کند (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۴۵).

۴. در واپاشی گاما، هستهٔ برانگیخته با گسیل فوتون به حالت پایه می‌رود و هیچ پروتون یا نوترونی از آن خارج نمی‌شود؛ بنابراین عدد جرمی و عدد اتمی هر دو ثابت می‌مانند (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۴۵).

پس از میان واپاشی‌های داده‌شده، تنها در واپاشی آلفا عدد جرمی هسته تغییر می‌کند.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول ـ تشخیص تغییر شار: قطب $S$ آهنربا روبه‌روی سر $A$ سیم‌لوله است. میدان آهنربا در محل سیم‌لوله به سوی این قطب، یعنی به سمت راست، است. با دور شدن آهنربا، میدان آن در محل سیم‌لوله ضعیف‌تر می‌شود و شار مغناطیسی عبوری از حلقه‌ها کاهش می‌یابد. تغییر شار عامل ایجاد نیروی محرکهٔ القایی است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحه‌های ۱۲۲–۱۲۳).

گام دوم ـ تعیین قطب‌های سیم‌لوله: مطابق قانون لنز، جریان القایی باید با کاهش شار مخالفت کند؛ بنابراین میدان القایی درون سیم‌لوله باید به سمت راست باشد تا کاهش میدان آهنربا را جبران کند. این همان روشی است که در تمرین‌های تعیین جهت جریان القایی به کار می‌رود (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحه‌های ۱۲۸–۱۲۹، بخش قانون لنز). چون میدان درون سیم‌لوله از قطب $S$ به قطب $N$ است، سر راست، یعنی $A$، قطب $N$ و سر چپ، یعنی $B$، قطب $S$ می‌شود. از دید نیرو نیز همین نتیجه به دست می‌آید: سر $A$ باید قطب $S$ آهنربای دورشونده را جذب کند و با دور شدن آن مخالفت کند.

گام سوم ـ تعیین جهت جریان: با قاعدهٔ دست راست، برای آنکه سر $A$ قطب $N$ باشد، جریان حلقه‌ها از دید ناظرِ سمت آهنربا پادساعت‌گرد است. با دنبال کردن این جریان در پیچش و سیم‌های رابطِ شکل، جهت عبور جریان از گالوانومتر از $a$ به $b$ به دست می‌آید.

پس جریان گالوانومتر از $a$ به $b$ است و در $A$ و $B$، به‌ترتیب قطب‌های $N$ و $S$ ایجاد می‌شوند.

پاسخ: گزینهٔ ۱

برای تبدیل کیلووات‌ساعت به مگاژول، ابتدا آن را به ژول تبدیل می‌کنیم.

طبق رابطهٔ انرژی مصرفی $E=Pt$، اگر توان برحسب وات و زمان برحسب ثانیه باشد، انرژی برحسب ژول به دست می‌آید؛ اگر توان برحسب کیلووات و زمان برحسب ساعت باشد، انرژی برحسب کیلووات‌ساعت خواهد بود (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۶۷–۶۸).

با توجه به $1\,\mathrm{kW}=10^3\,\mathrm{J/s}$ و $1\,\mathrm{h}=3600\,\mathrm{s}$ داریم:
$1\,\mathrm{kWh}=(10^3\,\mathrm{J/s})(3600\,\mathrm{s})=3.6\times10^6\,\mathrm{J}$.

از طرفی، هر مگاژول برابر $10^6\,\mathrm{J}$ است؛ پس:
$1\,\mathrm{kWh}=3.6\,\mathrm{MJ}$.

بنابراین انرژی داده‌شده برابر است با:
$E=25\,\mathrm{kWh}\times\frac{3.6\,\mathrm{MJ}}{1\,\mathrm{kWh}}=90\,\mathrm{MJ}$.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: تعیین نوع حرکت
با ناچیز بودن مقاومت هوا، هر گلوله سقوط آزاد با شتاب ثابت رو به پایین دارد. همچنین «رها شدن» به معنی صفر بودن سرعت اولیه است؛ بنابراین مسافت سقوط پس از مدت $t$ از رابطهٔ $s=\frac{1}{2}gt^2$ به دست می‌آید (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۲۱–۲۲).

گام دوم: تعیین مدت سقوط گلوله‌ها
لحظهٔ رها شدن گلولهٔ اول را $t=0$ می‌گیریم. چون گلوله‌ها با فاصلهٔ زمانی $2\,\mathrm{s}$ رها می‌شوند، گلولهٔ دوم در $t=2\,\mathrm{s}$ و گلولهٔ سوم در $t=4\,\mathrm{s}$ رها می‌شوند.
پس در لحظهٔ موردنظر، گلولهٔ اول به مدت $4\,\mathrm{s}$ و گلولهٔ دوم به مدت $2\,\mathrm{s}$ سقوط کرده‌اند.

گام سوم: محاسبهٔ ارتفاع اولیه
گلولهٔ اول در همین لحظه به زمین می‌رسد؛ بنابراین کل ارتفاع اولیه را پیموده است:
$h=\frac{1}{2}g(4)^2=\frac{1}{2}\times10\times16=80\,\mathrm{m}$.

گام چهارم: محاسبهٔ ارتفاع گلولهٔ دوم از زمین
مسافتی که گلولهٔ دوم از نقطهٔ رها شدن پایین آمده، برابر است با:
$s_2=\frac{1}{2}g(2)^2=\frac{1}{2}\times10\times4=20\,\mathrm{m}$.
این مقدار، مسافت سقوط است، نه ارتفاع از زمین. پس ارتفاع گلولهٔ دوم در لحظهٔ موردنظر برابر است با:
$y_2=h-s_2=80-20=60\,\mathrm{m}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

جهت حرکت را جهت مثبت محور $x$ و لحظهٔ شروع حرکت متحرک اول را مبدأ زمان می‌گیریم. نکتهٔ اصلی این است که «مدت کاهش فاصله» با «زمان رسیدن دو متحرک» یکسان نیست.

گام اول: نوشتن معادله‌های حرکت
طبق رابطهٔ سرعت در حرکت با شتاب ثابت، $v=v_0+at$ (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۱۵). همچنین از رابطهٔ مکان $x=x_0+v_0t+\tfrac12at^2$ استفاده می‌کنیم؛ کاربرد معادلهٔ مکان برای بررسی رسیدن دو متحرک، در تمرین ۲۱ کتاب نیز مطرح شده است (فیزیک ۳ ریاضی، صفحات ۲۷–۲۸).

هر دو متحرک از مبدأ مکان و از حال سکون راه می‌افتند. اگر زمان برحسب ثانیه و مکان برحسب متر باشد، برای متحرک اول داریم:
$x_1=\frac12(0.5)t^2=\frac14t^2,\qquad v_1=0.5t$.

متحرک دوم با تأخیر $3\,\mathrm{s}$ شروع می‌کند؛ بنابراین برای $t\geq3\,\mathrm{s}$:
$x_2=\frac12(2)(t-3)^2=(t-3)^2,\qquad v_2=2(t-3)$.

گام دوم: تعیین آغاز کاهش فاصله
هنگام شروع حرکت متحرک دوم، متحرک اول جلوتر است و سرعت بیشتری دارد؛ پس ابتدا فاصله افزایش می‌یابد. کاهش فاصله از زمانی آغاز می‌شود که سرعت متحرک دوم از سرعت متحرک اول بیشتر شود. مرز این دو حالت، لحظهٔ برابری سرعت‌هاست:
$0.5t=2(t-3)\Rightarrow1.5t=6\Rightarrow t=4\,\mathrm{s}$.

پس تا این لحظه فاصله افزایش می‌یابد و پس از آن، تا زمان رسیدن، فاصله کاهش می‌یابد.

گام سوم: تعیین زمان رسیدن
در لحظهٔ رسیدن، مکان دو متحرک برابر است:
$\frac14t^2=(t-3)^2$.

چون در بازهٔ مورد بررسی $t\geq3\,\mathrm{s}$ است، با گرفتن ریشهٔ مثبت دو طرف داریم:
$\frac12t=t-3\Rightarrow t=6\,\mathrm{s}$.

پس از رسیدن، متحرک دوم جلو می‌افتد و چون سرعت و شتاب بیشتری دارد، فاصله دوباره افزایش می‌یابد. بنابراین فاصله فقط در بازهٔ $4<t<6\,\mathrm{s}$ در حال کاهش است و مدت آن برابر است با:
$\Delta t=6-4=2\,\mathrm{s}$.

پاسخ: گزینهٔ ۱

ابتدا بازهٔ زمانی را مشخص می‌کنیم. «دو ثانیهٔ دوم» یعنی پس از پایان دو ثانیهٔ اول؛ بنابراین ابتدا و انتهای بازه عبارت‌اند از:
$t_1=2\,\mathrm{s},\qquad t_2=4\,\mathrm{s}$

طبق تعریف کتاب، شتاب متوسط برابر نسبت تغییر سرعت به مدت بازه است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۰–۱۱):
$a_{\mathrm{av}}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}$

با استفاده از معادلهٔ $v=3t^2-8$، سرعت در دو انتهای بازه را حساب می‌کنیم:
$v_1=v(2)=3(2)^2-8=4\,\mathrm{m/s}$
$v_2=v(4)=3(4)^2-8=40\,\mathrm{m/s}$

پس شتاب متوسط برابر است با:
$a_{\mathrm{av}}=\frac{40-4}{4-2}=\frac{36}{2}=18\,\mathrm{m/s^2}$

توجه کنید که معادلهٔ سرعت نسبت به زمان درجهٔ دوم است؛ پس حرکت شتاب ثابت ندارد و نباید شتاب یک لحظه را بدون دلیل جایگزین شتاب متوسط بازه کرد. در حرکت با شتاب ثابت، معادلهٔ سرعت نسبت به زمان خطی است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۵).

پاسخ: گزینهٔ ۱

۱. تعیین نیروی خالص و شتاب

روی سطح افقی بدون اصطکاک، وزن و نیروی عمودی سطح در راستای قائم یکدیگر را خنثی می‌کنند؛ بنابراین نیروی خالص، همان نیروی افقی $2\,\mathrm{N}$ به سمت شرق است. مطابق قانون دوم نیوتون، شتاب در جهت نیروی خالص است و از رابطهٔ $F_{\mathrm{net}}=ma$ به دست می‌آید (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۳۲).

ابتدا جرم را به کیلوگرم تبدیل می‌کنیم:
$m=800\,\mathrm{g}=0.8\,\mathrm{kg}$

پس با انتخاب شرق به‌عنوان جهت مثبت داریم:
$a=\frac{F_{\mathrm{net}}}{m}=\frac{2}{0.8}=2.5\,\mathrm{m/s^2}$

۲. تعیین تغییر سرعت با توجه به جهت‌ها

سرعت اولیه به سمت غرب و سرعت نهایی به سمت شرق است؛ بنابراین:
$v_i=-5\,\mathrm{m/s},\qquad v_f=+5\,\mathrm{m/s}$

با وجود برابر بودن تندی‌های ابتدا و انتها، سرعت‌ها برابر نیستند، زیرا جهتشان متفاوت است. پس:
$\Delta v=v_f-v_i=5-(-5)=10\,\mathrm{m/s}$

۳. محاسبهٔ زمان کل اثر نیرو

چون نیرو و جرم ثابت‌اند، شتاب نیز در تمام مدت ثابت می‌ماند. از رابطهٔ حرکت با شتاب ثابت استفاده می‌کنیم:
$v_f=v_i+at\quad\Rightarrow\quad t=\frac{v_f-v_i}{a}=\frac{10}{2.5}=4\,\mathrm{s}$

این زمان شامل هر دو مرحله است: جسم ابتدا در مدت $2\,\mathrm{s}$ متوقف می‌شود و سپس در مدت $2\,\mathrm{s}$ دیگر به تندی خواسته‌شده در جهت شرق می‌رسد. در لحظهٔ توقف فقط سرعت صفر است؛ نیرو و شتاب همچنان به سمت شرق‌اند.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: نیروهای وارد بر جسم را مشخص می‌کنیم. وزن جسم رو به پایین و نیروی کشش طناب رو به بالاست؛ زیرا طناب جسم را در راستای خود و به سوی بیرون از جسم می‌کشد (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۴۴).

وزن جسم از رابطهٔ $W=mg$ به دست می‌آید (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحات ۳۵–۳۶):
$W=50\times9.8=490\,\mathrm{N}$.

گام دوم: شرط آستانهٔ پارگی را اعمال می‌کنیم. در این وضعیت، کشش طناب دقیقاً برابر بیشینهٔ نیروی قابل‌تحمل آن است:
$T=430\,\mathrm{N}$.

چون وزن از کشش بیشتر است، نیروی خالص و در نتیجه شتاب جسم رو به پایین خواهد بود. مطابق قانون دوم نیوتون، نیروی خالص برابر حاصل‌ضرب جرم در شتاب است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۳۲). با انتخاب جهت پایین به‌عنوان جهت مثبت داریم:
$mg-T=ma$.

گام سوم: شتاب را محاسبه می‌کنیم:
$a=\frac{mg-T}{m}=\frac{490-430}{50}=\frac{60}{50}=1.2\,\mathrm{m/s^2}$.

پس باید جسم را با شتاب $1.2\,\mathrm{m/s^2}$ رو به پایین بیاوریم. نکتهٔ مهم این است که در قانون دوم نیوتون باید برآیند وزن و کشش را به کار ببریم، نه کشش طناب را به‌تنهایی.

پاسخ: گزینهٔ ۴

طبق قانون دوم نیوتون، بزرگی شتاب از رابطهٔ $a=F/m$ به دست می‌آید؛ بنابراین برای نیروی خالص یکسان، هرچه جرم بیشتر باشد، شتاب کمتر است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۳۲).

گام اول: قانون دوم نیوتون را برای دو جسم می‌نویسیم:
$F=m_1a_1=m_2a_2$
پس نسبت جرم‌ها برابر است با:
$\frac{m_2}{m_1}=\frac{a_1}{a_2}=\frac{12}{4}=3$
بنابراین $m_2=3m_1$ است.

گام دوم: جرم جسم جدید را برحسب جرم اول به دست می‌آوریم:
$m_2-m_1=3m_1-m_1=2m_1$

گام سوم: چون همان نیروی خالص به جرمی دو برابر جرم اول وارد می‌شود، شتاب نصف شتاب جسم اول خواهد بود:
$a=\frac{F}{m_2-m_1}=\frac{F}{2m_1}=\frac{a_1}{2}=\frac{12}{2}=6\,\mathrm{m/s^2}$

نکته: باید ابتدا تفاضل جرم‌ها را پیدا کنیم؛ کم‌کردن مستقیم شتاب‌ها درست نیست.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: دورهٔ گردش و شعاع را تعیین می‌کنیم.
دوره، زمان یک دور کامل است؛ پس چون میز در مدت $3.14\,\mathrm{s}$ سه دور می‌زند، داریم:
$T=\frac{3.14}{3}\,\mathrm{s}$
شعاع مسیر سکه نیز برابر است با:
$r=10\,\mathrm{cm}=0.10\,\mathrm{m}$
طبق رابطهٔ تندی در حرکت دایره‌ای یکنواخت، $v=\frac{2\pi r}{T}$ است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۴۹–۵۰). بنابراین با تقریب $\pi=3.14$:
$v=\frac{2\times3.14\times0.10}{3.14/3}=0.60\,\mathrm{m/s}$

گام دوم: نیروهای وارد بر سکه را بررسی می‌کنیم.
سکه در راستای قائم شتاب ندارد؛ بنابراین نیروی عمودی سطح و وزن یکدیگر را خنثی می‌کنند:
$F_N=mg$
در راستای افقی، اصطکاک ایستایی رو به مرکز میز است و نیروی مرکزگرای لازم را تأمین می‌کند. پس با استفاده از رابطهٔ نیروی مرکزگرا داریم:
$f_s=\frac{mv^2}{r}$
رابطهٔ نیروی خالص در حرکت دایره‌ای در مثال حرکت مداری نیز به همین صورت به کار رفته است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۵۵–۵۶).

گام سوم: شرط آستانهٔ لغزش را اعمال می‌کنیم.
در آستانهٔ لغزش، اصطکاک ایستایی به مقدار بیشینهٔ خود می‌رسد؛ یعنی $f_{s,\max}=\mu_s F_N$ (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۴۰–۴۱). در نتیجه:
$\mu_s mg=\frac{mv^2}{r}$
با حذف جرم سکه:
$\mu_s=\frac{v^2}{rg}=\frac{(0.60)^2}{0.10\times10}=0.36$
ضریب اصطکاک بدون واحد است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول ــ رابطهٔ تندی موج را می‌نویسیم.
طبق رابطهٔ تندی انتشار موج عرضی در تار کشیده، داریم (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۷۳):
$v=\sqrt{\frac{F}{\mu}},\qquad \mu=\frac{m}{L}$
در این رابطه، $F$ نیروی کشش و $\mu$ جرم واحد طول تار است. بنابراین برابر بودن جرم کل دو تار، به‌تنهایی به معنای برابر بودن چگالی خطی آن‌ها نیست.

گام دوم ــ نسبت چگالی‌های خطی را پیدا می‌کنیم.
اگر چگالی حجمی مس را $\rho$ و سطح مقطع تار را $S$ بنامیم، برای تار یکنواخت داریم:
$m=\rho SL\quad\Rightarrow\quad \mu=\frac{m}{L}=\rho S$
هر دو تار مسی‌اند، پس چگالی حجمی یکسانی دارند. با توجه به $S_A=4S_B$، نتیجه می‌شود:
$\frac{\mu_A}{\mu_B}=\frac{\rho S_A}{\rho S_B}=4$
برابری جرم‌ها نیز با این نتیجه سازگار است: تار ضخیم‌تر کوتاه‌تر است و جرم بیشتری در واحد طول دارد.

گام سوم ــ تندی موج در تار دوم را محاسبه می‌کنیم.
چون $F_A=F_B$، نسبت تندی‌ها برابر است با:
$\frac{v_B}{v_A}=\sqrt{\frac{F_B/\mu_B}{F_A/\mu_A}}=\sqrt{\frac{\mu_A}{\mu_B}}=\sqrt{4}=2$
پس:
$v_B=2v_A=2\times100=200\,\mathrm{m/s}$
بنابراین تندی موج در تار نازک‌تر بیشتر است، زیرا در کشش برابر، چگالی خطی کمتری دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: تغییر طول موج را مشخص می‌کنیم. طبق اثر دوپلر نور، وقتی کهکشان به ناظر نزدیک می‌شود، طول موج دریافتی کاهش می‌یابد؛ این پدیده «انتقال به آبی» نام دارد (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۸۳–۸۴).

گام دوم: تندی نور را بررسی می‌کنیم. تندی انتشار نور در خلأ برابر مقدار ثابت $c$ است و نزدیک‌شدن کهکشان باعث افزایش آن نمی‌شود (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۷۵). بنابراین گزینه‌هایی که افزایش تندی را مطرح می‌کنند، نادرست‌اند.

گام سوم: تغییر بسامد را به دست می‌آوریم. رابطهٔ تندی، بسامد و طول موج برای نور در خلأ به‌صورت $c=f\lambda$ یا $f=\frac{c}{\lambda}$ است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۷۵). چون $c$ ثابت است، با کاهش طول موج، بسامد افزایش می‌یابد.

پس هنگام نزدیک‌شدن کهکشان، تندی نور ثابت می‌ماند، طول موج کاهش می‌یابد و بسامد افزایش پیدا می‌کند.

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. داده‌ها را به یکاهای SI تبدیل می‌کنیم. در نگارش صورت سؤال، افزایش طول فنر برابر با دو و نیم سانتی‌متر است:
$m=200\,\mathrm{g}=0.200\,\mathrm{kg}$
$\Delta\ell=2.5\,\mathrm{cm}=0.025\,\mathrm{m}$
$A=2\,\mathrm{cm}=0.020\,\mathrm{m}$

۲. ثابت فنر را از وضعیت تعادل به دست می‌آوریم. در این وضعیت، نیروی رو به بالای فنر با وزن وزنه برابر است؛ بنابراین با استفاده از قانون هوک داریم:
$k\Delta\ell=mg$
$k=\frac{mg}{\Delta\ell}=\frac{0.200\times10}{0.025}=80\,\mathrm{N/m}$

۳. بیشینهٔ انرژی جنبشی را حساب می‌کنیم. طبق مبحث انرژی در حرکت هماهنگ ساده، تندی و انرژی جنبشی هنگام عبور از نقطهٔ تعادل بیشینه‌اند (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۶۶). همچنین انرژی نوسان جرم ـ فنر با دامنهٔ نوسان از رابطهٔ $E=\frac{1}{2}kA^2$ به دست می‌آید (فیزیک ۳ ریاضی، صفحه‌های ۶۶–۶۷).

در فنر قائم نیز، اگر جابه‌جایی را نسبت به محل تعادل بسنجیم، همین رابطه برای بیشینهٔ انرژی جنبشی برقرار است؛ گرانش محل تعادل را جابه‌جا می‌کند. پس باید دامنهٔ نوسان را در رابطه قرار دهیم، نه افزایش طول اولیهٔ فنر را:
$K_{\max}=\frac{1}{2}kA^2=\frac{1}{2}\times80\times(0.020)^2=0.016\,\mathrm{J}$

۴. نتیجه را به میلی‌ژول تبدیل می‌کنیم:
$K_{\max}=0.016\times1000=16\,\mathrm{mJ}$

پاسخ: گزینهٔ ۲

برای پاسخ، باید «جهت انتشار» را از «محل عبور پرتو» جدا کنیم.

۱. شکست در سطح ورودی: ضریب شکست شیشه برای نور آبی از نور قرمز بیشتر است؛ بنابراین نور آبی هنگام ورود از هوا به شیشه، بیشتر به خط عمود نزدیک می‌شود. این وابستگی ضریب شکست به رنگ و پاشندگی حاصل از آن در کتاب توضیح داده شده است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۰۰). اگر زاویهٔ تابش را $i$ و زاویه‌های شکست را $r_{\text{آبی}}$ و $r_{\text{قرمز}}$ بنامیم، قانون شکست می‌دهد:
$n_{\text{هوا}}\sin i=n_{\text{آبی}}\sin r_{\text{آبی}}$
$n_{\text{هوا}}\sin i=n_{\text{قرمز}}\sin r_{\text{قرمز}}$
پس چون $n_{\text{آبی}}>n_{\text{قرمز}}$، داریم $r_{\text{آبی}}<r_{\text{قرمز}}$. در نتیجه، دو رنگ درون شیشه مسیرهای متفاوتی طی می‌کنند و در دو نقطهٔ نزدیک به هم به سطح دوم می‌رسند.

۲. شکست در سطح خروجی: چون دو سطح تیغه موازی‌اند، خط‌های عمود بر آنها نیز موازی‌اند. بنابراین برای هر رنگ، زاویهٔ تابش بر سطح دوم همان زاویهٔ شکست آن در سطح اول است. اگر زاویهٔ خروج یک رنگ را $e$ بنامیم، برای همان رنگ داریم:
$n_{\text{شیشه}}\sin r=n_{\text{هوا}}\sin e$
با مقایسه با رابطهٔ سطح اول، یعنی $n_{\text{هوا}}\sin i=n_{\text{شیشه}}\sin r$، نتیجه می‌شود:
$\sin e=\sin i\quad\Rightarrow\quad e=i$
پس هر یک از پرتوهای خروجی با پرتو تابش موازی است و دو رنگ نیز در یک جهت منتشر می‌شوند.

۳. نتیجه: موازی‌بودن پرتوها به معنای منطبق‌بودن آنها نیست. دو رنگ به علت زاویه‌های متفاوت درون شیشه، از نقطه‌های متفاوتی خارج می‌شوند؛ بنابراین از هم جدا هستند، اما نزدیک به هم و موازی منتشر می‌شوند. برخلاف منشور، در اینجا سطح دوم جدایی زاویه‌ای رنگ‌ها را افزایش نمی‌دهد؛ تفاوت رفتار منشور با توجه به توضیح پاشندگی در کتاب روشن می‌شود (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۰۰).

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: ارتباط طول موج و انرژی فوتون را بررسی می‌کنیم. بسامد نور از رابطهٔ $f=c/\lambda$ به دست می‌آید؛ بنابراین با کاهش طول موج، بسامد افزایش می‌یابد. در نتیجه انرژی هر فوتون، یعنی $E=hf=hc/\lambda$، بیشتر می‌شود (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۲۰).

گام دوم: معادلهٔ اینشتین برای اثر فوتوالکتریک را می‌نویسیم:
$K_{\max}=hf-W_0=\frac{hc}{\lambda}-W_0$.
در این رابطه، $W_0$ تابع کار، یعنی حداقل انرژی لازم برای جدا کردن الکترون از سطح فلز است و $K_{\max}$ بیشینهٔ انرژی جنبشی فوتوالکترون‌هاست (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۳۴).

گام سوم: چون سطح فلز عوض نشده است، تابع کار ثابت می‌ماند. پس با کاهش طول موج و افزایش انرژی فوتون، انرژی بیشتری پس از جدا شدن الکترون باقی می‌ماند و بیشینهٔ انرژی جنبشی فوتوالکترون‌ها افزایش می‌یابد.

بسامد آستانه نیز از رابطهٔ $f_0=W_0/h$ به دست می‌آید و برای همین سطح ثابت است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۲۰). همچنین کاهش طول موج به‌تنهایی دلیلی برای افزایش تعداد فوتوالکترون‌ها نیست؛ کتاب افزایش جریان فوتوالکتریک با افزایش شدت نورِ دارای بسامد مناسب را بیان می‌کند (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۱۷).

پاسخ: گزینهٔ ۱

برای پاسخ، هر مورد را جداگانه با موفقیت‌ها و محدودیت‌های مدل بور مقایسه می‌کنیم.

الف ـ محاسبهٔ انرژی یونش اتم هیدروژن: مدل بور می‌تواند آن را توضیح دهد.
در مدل بور، انرژی حالت پایهٔ هیدروژن $E_1=-13.6\,\mathrm{eV}$ و انرژی الکترون آزاد در مرز جدایی از اتم $E_\infty=0$ است. بنابراین انرژی لازم برای یونش هیدروژن از حالت پایه برابر است با:
$E_{\text{یونش}}=E_\infty-E_1=0-(-13.6)=13.6\,\mathrm{eV}$
این پیش‌بینی با آزمایش توافق بسیار خوبی دارد؛ پس «الف» از نارسایی‌های مدل نیست. (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۱۲۷ و ۱۲۸)

ب ـ متفاوت بودن شدت خط‌های طیف گسیلی هیدروژن: مدل بور از توضیح آن ناتوان است.
رابطهٔ $hf=E_{\mathrm{U}}-E_{\mathrm{L}}$ انرژی و در نتیجه بسامد یا طول‌موج فوتون هر گذار را مشخص می‌کند؛ اما مشخص نمی‌کند هر گذار با چه احتمالی رخ می‌دهد و چرا بعضی خط‌ها شدیدتر از خط‌های دیگرند. بنابراین توضیح محل خط‌های طیف را نباید با توضیح شدت نسبی آن‌ها یکسان دانست؛ «ب» از نارسایی‌های مدل است. (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۲۷، رابطهٔ انرژی فوتون گسیل‌شده)

ج ـ حالتی که بیش از یک الکترون به دور هسته می‌گردد: مدل بور در تحلیل آن ناتوان است.
دامنهٔ کاربرد موفق مدل بور، اتم هیدروژن و اتم‌ها یا یون‌های هیدروژن‌گونه، یعنی سامانه‌های تک‌الکترونی است. این مدل برای تحلیل اتم‌های چندالکترونی کافی نیست؛ پس «ج» نیز از نارسایی‌هاست. (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۳۱)

د ـ طیف جذبی گاز هیدروژن اتمی: مدل بور می‌تواند آن را توضیح دهد.
اتم، فوتونی را جذب می‌کند که انرژی آن دقیقاً برابر اختلاف دو تراز مجاز باشد: $hf=E_{\mathrm{U}}-E_{\mathrm{L}}$. با جذب این فوتون، الکترون به تراز بالاتر می‌رود و آن طول‌موج از نور عبوری حذف می‌شود؛ در نتیجه خط تاریک جذبی پدید می‌آید. پس «د» از موفقیت‌های مدل است، نه نارسایی‌های آن. (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۳۱)

در نتیجه، فقط موارد «ب» و «ج» خارج از توان توضیحی مدل بور هستند.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: طبق تعریف نیمه‌عمر، با گذشت هر نیمه‌عمر، تعداد هسته‌های مادرِ باقی‌مانده به نصف می‌رسد (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۴۶).

اگر تعداد اولیهٔ هسته‌ها $N_0$ باشد، پس از گذشت $n$ نیمه‌عمر داریم:
$\frac{N}{N_0}=\left(\frac{1}{2}\right)^n$.
همچنین تعداد نیمه‌عمرهای سپری‌شده از رابطهٔ $n=\frac{t}{T_{1/2}}$ به دست می‌آید (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۴۷).

گام دوم: با جای‌گذاری کسر باقی‌مانده، تعداد نیمه‌عمرها را پیدا می‌کنیم:
$\left(\frac{1}{2}\right)^n=\frac{1}{16}=\left(\frac{1}{2}\right)^4\quad\Rightarrow\quad n=4$.
پس در زمان داده‌شده، چهار نیمه‌عمر سپری شده است.

گام سوم: زمان کل را بر تعداد نیمه‌عمرها تقسیم می‌کنیم:
$T_{1/2}=\frac{t}{n}=\frac{8\,\mathrm{h}}{4}=2\,\mathrm{h}$.
بنابراین نیمه‌عمر ماده دو ساعت است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. تشخیص کمیت ثابت: خازن هنگام ورود دی‌الکتریک همچنان به باتری متصل است؛ بنابراین اختلاف پتانسیل دو سر آن ثابت می‌ماند، یعنی $V'=V$. فاصلهٔ صفحات نیز تغییر نمی‌کند: $d'=d$.

۲. تغییر ظرفیت: با پر شدن کامل فضای بین صفحات از دی‌الکتریک، ظرفیت به اندازهٔ ثابت دی‌الکتریک افزایش می‌یابد: $C'=kC$ (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۳۴–۳۵). بنابراین با $k=3$ داریم: $C'=3C$.

۳. تغییر انرژی: از رابطهٔ انرژی خازن، $U=\frac{1}{2}CV^2$، و ثابت بودن ولتاژ نتیجه می‌گیریم:
$\frac{U'}{U}=\frac{C'V'^2}{CV^2}=\frac{C'}{C}=3$.
پس انرژی خازن سه‌برابر می‌شود. توجه کنید که بار خازن ثابت نیست؛ باتری با رساندن بار اضافی به صفحات، ولتاژ را ثابت نگه می‌دارد.

۴. تغییر میدان الکتریکی: میدان یکنواخت بین صفحات خازن از رابطهٔ $E=\frac{V}{d}$ به دست می‌آید. چون ولتاژ و فاصلهٔ صفحات ثابت‌اند:
$\frac{E'}{E}=\frac{V'/d'}{V/d}=1$.
بنابراین میدان الکتریکی تغییر نمی‌کند و نسبت‌های انرژی و میدان، به‌ترتیب، $3$ و $1$ هستند.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: رابطهٔ مقاومت سیم را بنویسیم.
مقاومت سیم به جنس، دما، طول و سطح مقطع آن بستگی دارد؛ این عوامل در کتاب بررسی شده‌اند (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۴۹ و بخش «عوامل مؤثر بر مقاومت الکتریکی»، صفحهٔ ۵۱). رابطهٔ مقاومت سیم یکنواخت عبارت است از:
$R=\rho\frac{L}{S}$
که در آن $\rho$ مقاومت ویژه و $S$ مساحت سطح مقطع است. چون جنس و دمای دو سیم یکسان است، مقاومت ویژهٔ آن‌ها برابر است؛ پس:
$\frac{R_A}{R_B}=\frac{L_A}{L_B}\frac{S_B}{S_A}$

گام دوم: نسبت سطح مقطع‌ها را از جرم‌ها پیدا کنیم.
چگالی دو سیم هم‌جنس برابر است. اگر چگالی را با $d$ نشان دهیم، برای سیم استوانه‌ای داریم:
$m=dV=dSL$
بنابراین:
$\frac{m_A}{m_B}=\frac{S_A}{S_B}\frac{L_A}{L_B}$
طبق داده‌های سؤال، $\frac{m_A}{m_B}=\frac{1}{2}$ و $\frac{L_A}{L_B}=2$؛ در نتیجه:
$\frac{S_A}{S_B}=\frac{m_A}{m_B}\frac{L_B}{L_A}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
پس سطح مقطع سیم $A$ یک‌چهارم سطح مقطع سیم $B$ است.

گام سوم: نسبت مقاومت‌ها را محاسبه کنیم.
$\frac{R_A}{R_B}=\frac{L_A}{L_B}\frac{S_B}{S_A}=2\times4=8$
بنابراین دو برابر بودن طول و یک‌چهارم بودن سطح مقطع، با هم باعث می‌شوند مقاومت سیم $A$ هشت برابر مقاومت سیم $B$ باشد.

پاسخ: گزینهٔ ۳

برای تعیین جهت انحراف، باید جهت نیروی مغناطیسی وارد بر هر ذره را پیدا کنیم.

۱. علامت بار ذرات را مشخص می‌کنیم. ذرهٔ آلفا هستهٔ هلیم و دارای بار $q_\alpha=+2e$ است. پوزیترون نیز بار $q_{e^+}=+e$ دارد؛ پس هر دو ذره مثبت‌اند.

۲. جهت‌های سرعت و میدان را از شکل می‌خوانیم. سرعت هر دو ذره رو به بالای صفحه است و علامت‌های $\times$ نشان می‌دهند که میدان مغناطیسی به داخل صفحه است؛ بنابراین سرعت بر میدان عمود است.

۳. قاعدهٔ دست راست را به کار می‌بریم. مطابق کتاب، برای بار مثبت، انگشتان دست راست را در جهت سرعت قرار می‌دهیم و به سوی میدان خم می‌کنیم؛ شست جهت نیروی مغناطیسی را نشان می‌دهد (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۸۹). در این شکل، با قرار دادن انگشتان رو به بالا و خم کردن آن‌ها به داخل صفحه، شست به چپ اشاره می‌کند.

۴. چون بار هر دو ذره مثبت است، نیروی مغناطیسی اولیه بر هر دو به چپ است و مسیر هر دو به چپ منحرف می‌شود. تفاوت جرم و بزرگی بار آن‌ها ممکن است میزان خمیدگی مسیر را متفاوت کند، اما جهت انحراف را عوض نمی‌کند.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول ـ انتخاب رابطهٔ مناسب: طبق رابطهٔ میدان مغناطیسی سیملولهٔ آرمانی، داریم $B=\dfrac{\mu_0 NI}{\ell}$ که در آن $N$ تعداد دورها و $\ell$ طول سیملوله است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۰۰). بنابراین با جدا کردن تعداد دورها به دست می‌آوریم: $N=\dfrac{B\ell}{\mu_0 I}$.

گام دوم ـ تبدیل یکاها: چون تراوایی مغناطیسی خلأ با یکاهای تسلا، متر و آمپر داده شده است، میدان و طول را به یکاهای سازگار تبدیل می‌کنیم. با توجه به $1\,\mathrm{G}=10^{-4}\,\mathrm{T}$، داریم: $B=157\times10^{-4}\,\mathrm{T}=1.57\times10^{-2}\,\mathrm{T}$ و $\ell=10\,\mathrm{cm}=0.10\,\mathrm{m}$. همچنین جریانِ نوشته‌شده در صورت سؤال برابر $I=2.5\,\mathrm{A}$ است.

گام سوم ـ جایگذاری و محاسبه: $N=\dfrac{(1.57\times10^{-2})(0.10)}{(4\pi\times10^{-7})(2.5)}=\dfrac{1.57\times10^{-3}}{\pi\times10^{-6}}$. با تقریب $\pi\simeq3.14$، نتیجه می‌شود: $N\simeq\dfrac{1.57\times10^{-3}}{3.14\times10^{-6}}=500$.

پس سیملوله دارای $500$ حلقه است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

در این سؤال، علامت «/» نقش ممیز اعشاری دارد؛ بنابراین حجم مایع $2.5\,\mathrm{L}$، چگالی آن $1.2\,\mathrm{g/cm^3}$ و چگالی جیوه $13.6\,\mathrm{g/cm^3}$ است.

گام اول: ارتفاع ستون مایع را محاسبه می‌کنیم.
حجم مایع در ظرف استوانه‌ای از رابطهٔ $V=Ah$ به دست می‌آید. ابتدا یکای حجم را با یکای سطح مقطع هماهنگ می‌کنیم:
$V=2.5\times1000=2500\,\mathrm{cm^3}$
پس:
$h=\frac{V}{A}=\frac{2500\,\mathrm{cm^3}}{50\,\mathrm{cm^2}}=50\,\mathrm{cm}$

گام دوم: فشار پیمانه‌ای کف ظرف را به ارتفاع معادل جیوه تبدیل می‌کنیم.
فشار پیمانه‌ای، اختلاف فشار مطلق و فشار جو است؛ برای مایعی که سطح آزاد آن در تماس با هواست، داریم $P_g=\rho gh$ (فیزیک ۱ ریاضی، صفحهٔ ۳۸–۳۹). بنابراین نباید فشار جو را به فشار خواسته‌شده اضافه کنیم.

بیان فشار برحسب سانتی‌متر جیوه یعنی تعیین ارتفاع ستون جیوه‌ای که همین فشار را ایجاد می‌کند (فیزیک ۱ ریاضی، صفحهٔ ۳۷). پس:
$P_g=\rho gh=\rho_{\mathrm{Hg}}g h_{\mathrm{Hg}}$
با حذف شتاب گرانش:
$h_{\mathrm{Hg}}=\frac{\rho}{\rho_{\mathrm{Hg}}}h$
این روش مقایسهٔ فشار ستون‌های دو مایع، در مثال لولهٔ آب و جیوهٔ کتاب نیز به کار رفته است (فیزیک ۱ ریاضی، صفحهٔ ۳۴–۳۵).

اکنون چون چگالی‌ها هم‌یکا هستند، مستقیماً جای‌گذاری می‌کنیم:
$h_{\mathrm{Hg}}=\frac{1.2}{13.6}\times50\,\mathrm{cm}=\frac{60}{13.6}\,\mathrm{cm}\simeq4.4\,\mathrm{cm}$
بنابراین فشار پیمانه‌ای کف ظرف تقریباً $4.4\,\mathrm{cmHg}$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

۱. تعیین جابه‌جایی سطح‌ها

بالا آمدن سطح جیوه در شاخهٔ مقابل را $x$ می‌نامیم. چون دو شاخه هم‌قطرند و حجم جیوه ثابت است، حجم جیوهٔ پایین‌رفته در یک شاخه با حجم جیوهٔ بالاآمده در شاخهٔ دیگر برابر است؛ بنابراین سطح جیوه در شاخه‌ای که مایع در آن ریخته‌ایم نیز به اندازهٔ $x$ پایین می‌رود. در نتیجه، اختلاف ارتفاع نهایی دو سطح جیوه برابر است با:
$\Delta h=x+x=2x$.

۲. نوشتن شرط تعادل فشار

مطابق مثال لولهٔ Uشکل در کتاب، فشار دو نقطهٔ هم‌تراز در جیوهٔ ساکن و به‌هم‌پیوسته برابر است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۳۴–۳۵). یک نقطه را در مرز مایع و جیوه و نقطهٔ دیگر را در شاخهٔ مقابل، هم‌تراز با آن انتخاب می‌کنیم.

هر دو سطح آزاد زیر فشار جو هستند. فشار در نقطهٔ اول از ستون مایع به ارتفاع $17\,\mathrm{cm}$ و فشار در نقطهٔ دوم از ستون جیوه به ارتفاع $2x$ به دست می‌آید؛ پس:
$P_0+\rho_{\mathrm{مایع}}g h=P_0+\rho_{\mathrm{Hg}}g(2x)$.

با حذف فشار جو و شتاب گرانش داریم:
$\rho_{\mathrm{مایع}}h=\rho_{\mathrm{Hg}}(2x)$.

۳. جای‌گذاری داده‌ها

چگالی جیوه در صورت سؤال با ممیز به شکل $13/6$ نوشته شده و منظور $13.6\,\mathrm{g/cm^3}$ است. با استفاده از واحدهای یکسان برای چگالی‌ها و ارتفاع‌ها:
$x=\dfrac{\rho_{\mathrm{مایع}}h}{2\rho_{\mathrm{Hg}}}=\dfrac{2\times17}{2\times13.6}\,\mathrm{cm}=1.25\,\mathrm{cm}$.

بنابراین سطح جیوه در شاخهٔ مقابل نسبت به موقعیت اولیه به اندازهٔ $1.25\,\mathrm{cm}$ بالا می‌آید. توجه کنید که اختلاف ارتفاع نهایی دو سطح جیوه، دو برابر این مقدار است و با کمیت خواسته‌شده تفاوت دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: انتخاب رابطهٔ مناسب

طبق قضیهٔ کار ـ انرژی جنبشی، کار کل انجام‌شده روی جسم برابر تغییر انرژی جنبشی آن است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۶۱):
$W_{\mathrm{t}}=K_B-K_A=\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{1}{2}mv_A^2$
چون کار کل مثبت است، انرژی جنبشی و در نتیجه تندی جسم افزایش می‌یابد.

گام دوم: تبدیل یکاها

برای محاسبه در دستگاه SI داریم:
$v_A=\frac{126}{3.6}=35\,\mathrm{m/s}$
$W_{\mathrm{t}}=24\,\mathrm{kJ}=24000\,\mathrm{J}$

گام سوم: محاسبهٔ تندی نهایی

با جای‌گذاری جرم و دیگر داده‌ها در رابطهٔ کار ـ انرژی جنبشی:
$24000=\frac{1}{2}\times60\times(v_B^2-35^2)$
پس:
$v_B^2-1225=800$
$v_B^2=2025$
چون تندی نامنفی است، ریشهٔ مثبت را انتخاب می‌کنیم:
$v_B=45\,\mathrm{m/s}$

گام چهارم: تبدیل به یکای خواسته‌شده

$v_B=45\times3.6=162\,\mathrm{km/h}$
این تندی از تندی اولیه بیشتر است و با مثبت‌بودن کار کل سازگار است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

طبق رابطهٔ انرژی جنبشی، $K=\frac{1}{2}mv^2$؛ بنابراین برای یک جسم با جرم ثابت، انرژی جنبشی با مربع تندی متناسب است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۵۴).

گام اول: نسبت انرژی‌های پدر را در دو وضعیت مشخص می‌کنیم.
انرژی جنبشی اولیهٔ پدر نصف انرژی جنبشی پسر است. پس وقتی انرژی جنبشی پدر با انرژی جنبشی پسر برابر شود، انرژی جنبشی پدر نسبت به مقدار اولیه‌اش دو برابر شده است:
$\frac{K_{\text{پدر، نهایی}}}{K_{\text{پدر، اولیه}}}=2$.
در این مقایسه، جرم پدر ثابت است؛ بنابراین نیازی به استفاده از نسبت جرم پدر و پسر نداریم.

گام دوم: نسبت انرژی‌ها را برحسب تندی می‌نویسیم.
اگر تندی اولیهٔ پدر $v$ باشد، تندی نهایی او $v+2\,\mathrm{m/s}$ خواهد بود. در نتیجه:
$\frac{\frac{1}{2}m_{\text{پدر}}(v+2\,\mathrm{m/s})^2}{\frac{1}{2}m_{\text{پدر}}v^2}=2$
و با حذف عوامل مشترک:
$\left(\frac{v+2\,\mathrm{m/s}}{v}\right)^2=2$.

گام سوم: معادله را حل می‌کنیم.
چون تندی‌ها مثبت‌اند، ریشهٔ مثبت را می‌گیریم:
$v+2\,\mathrm{m/s}=\sqrt{2}v$.
پس:
$(\sqrt{2}-1)v=2\,\mathrm{m/s}$
و با گویاکردن مخرج:
$v=\frac{2}{\sqrt{2}-1}\,\mathrm{m/s}=\frac{2(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}\,\mathrm{m/s}=(2\sqrt{2}+2)\,\mathrm{m/s}$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

برای تشخیص همرفت طبیعی، باید ببینیم چه عاملی شاره را به حرکت درمی‌آورد.

گام اول ـ شناخت همرفت: در همرفت، گرما همراه با جابه‌جایی بخشی از خود شاره منتقل می‌شود؛ بنابراین صرفِ انتقال گرما یا وجود اختلاف دما، برای تشخیص نوع همرفت کافی نیست (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحه‌های ۱۱۲ و ۱۱۳).

گام دوم ـ تشخیص طبیعی یا اجباری بودن: در همرفت طبیعی، گرم‌شدن بخشی از شاره معمولاً باعث انبساط و کاهش چگالی آن می‌شود. نیروی شناوری، شارهٔ گرم‌تر و کم‌چگال‌تر را بالا می‌برد و شارهٔ سردتر جای آن را می‌گیرد؛ بنابراین جریان بدون نیاز به پمپ ایجاد می‌شود (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۱۳). در مقابل، اگر پمپ یا قلب عامل گردش شاره باشد، همرفت اجباری است.

گام سوم ـ بررسی گزینه‌ها:

• در سیستم خنک‌کنندهٔ موتور اتومبیل، مایع خنک‌کننده به کمک پمپ گردش می‌کند؛ پس این مورد همرفت اجباری است.
• کتاب، انتقال گرما از مرکز خورشید به سطح آن را صریحاً از مثال‌های همرفت طبیعی معرفی می‌کند؛ بنابراین در چارچوب بیان کتاب درسی، این مورد پاسخ پرسش است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۱۳).
• در سیستم گرم‌کنندهٔ مرکزیِ موردنظر سؤال، آب به کمک پمپ در مدار گردش می‌کند؛ پس این گردش، اجباری است. نباید آن را با گرم‌شدن هوای اتاق کنار رادیاتور اشتباه گرفت؛ کتاب گردش هوای اتاق بر اثر گرمایش رادیاتور را نمونهٔ همرفت طبیعی می‌داند (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۱۳).
• در بدن جانوران خونگرم، قلب خون را به گردش درمی‌آورد؛ بنابراین انتقال گرما همراه گردش خون، همرفت اجباری است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

حجم اتاق را ثابت می‌گیریم. اگر با گرم‌کردن هوا هیچ مولکولی خارج نشود، فشار افزایش می‌یابد؛ زیرا در حجم و مقدار گاز ثابت، فشار با دمای مطلق متناسب است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحه‌های ۱۱۸–۱۱۹). بنابراین برای ثابت ماندن فشار باید بخشی از مولکول‌ها خارج شوند.

ابتدا دماها را به کلوین تبدیل می‌کنیم؛ همان‌طور که در مثال قوانین گازهای کتاب تأکید شده، در این روابط باید از دمای مطلق استفاده کرد (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحه‌های ۱۱۸–۱۱۹):
$T_1=(24+273)\,\mathrm{K}=297\,\mathrm{K}$
$T_2=(25+273)\,\mathrm{K}=298\,\mathrm{K}$

تعداد اولیه و نهایی مولکول‌ها را به‌ترتیب $N_1$ و $N_2$ می‌نامیم. از معادلهٔ گاز کامل داریم:
$PV=Nk_{\mathrm B}T$
چون فشار و حجم ثابت‌اند، حاصل‌ضرب $NT$ ثابت می‌ماند؛ پس:
$N_1T_1=N_2T_2\quad\Rightarrow\quad\frac{N_2}{N_1}=\frac{T_1}{T_2}=\frac{297}{298}$

کسر موردنظر، تعداد مولکول‌های خارج‌شده نسبت به تعداد اولیه است، نه نسبت به تعداد باقی‌مانده. بنابراین:
$\frac{N_{\text{خارج‌شده}}}{N_1}=\frac{N_1-N_2}{N_1}=1-\frac{297}{298}=\frac{1}{298}$

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: معیار شمارش را مشخص می‌کنیم. در موتور بنزینی، به هر فرایندی که همراه با جابه‌جایی پیستون باشد، «ضربه» می‌گویند؛ بنابراین تعداد کل فرایندهای چرخه با تعداد ضربه‌ها یکسان نیست (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحه‌های ۱۴۲–۱۴۳).

گام دوم: مراحل همراه با حرکت پیستون را می‌شماریم:
ـ مکش: پیستون پایین می‌آید و مخلوط هوا و بنزین وارد استوانه می‌شود.
ـ تراکم: پیستون بالا می‌رود و مخلوط را متراکم می‌کند.
ـ انبساط یا ضربهٔ توان: گازهای داغ منبسط می‌شوند و پیستون را پایین می‌رانند.
ـ تخلیه: پیستون بالا می‌رود و گازهای حاصل از سوختن را خارج می‌کند.

پس از شش فرایند چرخه، چهار فرایند همراه با حرکت پیستون است. این همان موتور چهارضربه‌ای توصیف‌شده در کتاب است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحه‌های ۱۴۲–۱۴۳).

پاسخ: گزینهٔ ۳