سوالات فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۴ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

برای تشخیص موردی که یکای توان نیست، یکای هر عبارت را با وات مقایسه می‌کنیم.

طبق تعریف توان و رابطهٔ توان الکتریکی داریم:
$P=\frac{W}{t}=\frac{q\Delta V}{t}=I\Delta V$
که در آن $W$ نماد کار است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۶۷). بنابراین یکای توان هم «انرژی تقسیم بر زمان» و هم «جریان ضرب‌در اختلاف پتانسیل» است.

۱. بررسی گزینهٔ اول: از رابطهٔ $P=I\Delta V$ نتیجه می‌شود:
$\mathrm{V\cdot A}=\mathrm{W}$
پس ولت‌آمپر یکای توان است.

۲. بررسی گزینهٔ دوم: چون جریان برابر بار عبوری در واحد زمان است، داریم:
$\frac{\mathrm{C\cdot V}}{\mathrm{s}}=\left(\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{s}}\right)\mathrm{V}=\mathrm{A\cdot V}=\mathrm{W}$
پس این عبارت نیز یکای توان است.

۳. بررسی گزینهٔ سوم: یکای کار، ژول، برابر نیوتون‌متر است؛ بنابراین:
$\frac{\mathrm{N\cdot m}}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{s}}=\mathrm{W}$
پس این مورد هم یکای توان است.

۴. بررسی گزینهٔ چهارم: با توجه به $\mathrm{N}=\mathrm{kg\cdot m/s^2}$، یکای توان برحسب یکاهای پایه چنین است:
$\mathrm{W}=\frac{\mathrm{N\cdot m}}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{kg\cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}$
اما عبارت گزینهٔ چهارم، $\frac{\mathrm{kg\cdot m}}{\mathrm{s}}$، با این یکا برابر نیست؛ این عبارت یکای تکانه است، نه توان.

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: ارتباط توان و کار را بنویسیم.
طبق تعریف توان متوسط، $P=\frac{W}{\Delta t}$؛ بنابراین کار انجام‌شده در یک بازهٔ زمانی برابر $W=P\Delta t$ است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۷۳).

یک دقیقه برابر $60\,\mathrm{s}$ است؛ پس شخص با توان داده‌شده در این مدت می‌تواند کار زیر را انجام دهد:
$W=(300\,\mathrm{W})(60\,\mathrm{s})=18000\,\mathrm{J}$.

گام دوم: کار لازم برای بالا رفتن از هر پله را حساب کنیم.
در مدل این سؤال، کار مفید شخص صرف افزایش انرژی پتانسیل گرانشی او می‌شود. مانند مثال بالابر کتاب، با صرف‌نظر از اتلاف و تغییر انرژی جنبشی، کار لازم برای افزایش ارتفاع برابر $mgh$ است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۷۴).

ارتفاع هر پله در یکای متر برابر است با:
$h=25\,\mathrm{cm}=0.25\,\mathrm{m}$.

بنابراین کار لازم برای بالا رفتن از یک پله برابر است با:
$W_{\text{هر پله}}=mgh=(60\,\mathrm{kg})(10\,\mathrm{m/s^2})(0.25\,\mathrm{m})=150\,\mathrm{J}$.

گام سوم: تعداد پله‌ها را به دست آوریم.
با تقسیم کار قابل انجام در یک دقیقه بر کار لازم برای هر پله، داریم:
$n=\frac{W}{W_{\text{هر پله}}}=\frac{18000}{150}=120$.

پس شخص در هر دقیقه از $120$ پله بالا می‌رود.

پاسخ: گزینهٔ ۳

برای تبدیل دور بر دقیقه به رادیان بر ثانیه، باید یکای زاویه و یکای زمان را با هم تبدیل کنیم. روش تبدیل زنجیره‌ای در مثال میل‌لنگ کتاب نیز به کار رفته است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۴۹–۵۰).

گام اول: هر دور کامل زاویه‌ای برابر $2\pi\,\mathrm{rad}$ دارد و هر دقیقه برابر $60\,\mathrm{s}$ است.

گام دوم: ضریب‌های تبدیل را طوری می‌نویسیم که یکاهای «دور» و «دقیقه» حذف شوند:
$\omega=45\,\frac{\text{دور}}{\mathrm{min}}\times\frac{2\pi\,\mathrm{rad}}{1\,\text{دور}}\times\frac{1\,\mathrm{min}}{60\,\mathrm{s}}$.

گام سوم: حاصل را ساده می‌کنیم:
$\omega=\frac{45\times2\pi}{60}\,\mathrm{rad/s}=\frac{3\pi}{2}\,\mathrm{rad/s}$.

پس مقدار به‌دست‌آمده با گزینهٔ اول مطابقت دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۱

برای پاسخ، باید هر گزاره را برای سراسر طیف الکترومغناطیسی بررسی کنیم؛ یک ویژگیِ مربوط به بخشی از طیف را نمی‌توان به همهٔ آن تعمیم داد. فعالیت کتاب دربارهٔ نواحی طیف نیز بر بررسی چگونگی تولید و کاربردهای آن‌ها تأکید دارد (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۷۷).

الف ـ درست است. همهٔ موج‌های الکترومغناطیسی در خلأ با تندی یکسانِ نور منتشر می‌شوند:
$c\simeq 3\times 10^8\,\mathrm{m/s}$
تفاوت بسامد و طول موج آن‌ها باعث تفاوت تندی در خلأ نمی‌شود. قید «در خلأ» مهم است؛ نباید این نتیجه را به همهٔ محیط‌های مادی تعمیم داد.

ب ـ نادرست است. تغییر تراز انرژی الکترون‌های اتم می‌تواند منشأ تولید برخی موج‌های الکترومغناطیسی باشد، اما منشأ همهٔ آن‌ها نیست. برای نمونه، موج‌های رادیویی را می‌توان با نوسان بارهای الکتریکی در آنتن تولید کرد؛ بنابراین واژهٔ «همه» این گزاره را نادرست می‌کند.

ج ـ درست است. موج‌های الکترومغناطیسی عرضی‌اند؛ یعنی میدان‌های الکتریکی و مغناطیسیِ نوسان‌کننده بر جهت انتشار موج عمودند. در اینجا، عرضی بودن به جهت نوسان میدان‌ها مربوط است، نه نوسان ذرات یک محیط مادی مانند ریسمان.

د ـ نادرست است. روش آشکارسازی به ناحیهٔ طیف و برهم‌کنش موج با آشکارساز بستگی دارد. برای مثال، موج رادیویی با آنتن و مدار گیرنده دریافت می‌شود، درحالی‌که نور مرئی را می‌توان با چشم یا آشکارساز نوری تشخیص داد؛ پس روش آشکارسازی همه یکسان نیست.

بنابراین فقط گزاره‌های «الف» و «ج» درست‌اند.
پاسخ: گزینهٔ ۲

طبق رابطهٔ انرژی جنبشی، $K=\frac{1}{2}mv^2$؛ بنابراین انرژی جنبشی با جرم و مربع تندی متناسب است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۵۴).

گام اول: افزایش‌های درصدی را به نسبت تبدیل می‌کنیم. چون تندی و انرژی جنبشی هر دو $25$ درصد افزایش یافته‌اند، داریم:
$v_2=1.25v_1$ و $K_2=1.25K_1$.

گام دوم: رابطهٔ انرژی جنبشی را برای دو حالت بر هم تقسیم می‌کنیم:
$\frac{K_2}{K_1}=\frac{\frac{1}{2}m_2v_2^2}{\frac{1}{2}m_1v_1^2}=\frac{m_2}{m_1}\left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2$.

با جای‌گذاری نسبت‌ها و جرم آغازی:
$1.25=\frac{m_2}{5\,\mathrm{kg}}(1.25)^2$.

پس جرم پایانی برابر است با:
$m_2=\frac{5\times1.25}{(1.25)^2}\,\mathrm{kg}=4\,\mathrm{kg}$.

گام سوم: سؤال مقدار کاهش جرم را خواسته است، نه جرم پایانی؛ بنابراین:
$\text{کاهش جرم}=m_1-m_2=5\,\mathrm{kg}-4\,\mathrm{kg}=1\,\mathrm{kg}$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

سرعت متوسط از تقسیم جابه‌جایی بر مدت زمان به دست می‌آید:
$v_{\mathrm{av}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$.
در این رابطه، علامت جابه‌جایی باید حفظ شود؛ سرعت مثبت و منفی به‌ترتیب نشان‌دهندهٔ حرکت در جهت مثبت و منفی محور است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۳).

گام اول: تعیین بازه‌های زمانی
پنج ثانیهٔ اول بازهٔ $0$ تا $5\,\mathrm{s}$ است. پنج ثانیهٔ دوم بازهٔ $5$ تا $10\,\mathrm{s}$ و در نتیجه پنج ثانیهٔ سوم بازهٔ $10$ تا $15\,\mathrm{s}$ است.

گام دوم: محاسبهٔ سرعت متوسط در بازهٔ اول
با جای‌گذاری در معادلهٔ $x=\frac{3}{4}t^2-15t+30$ داریم:
$x(0)=30\,\mathrm{m}$
$x(5)=\frac{3}{4}(5)^2-15(5)+30=-\frac{105}{4}\,\mathrm{m}$.
پس:
$v_{\mathrm{av},1}=\frac{x(5)-x(0)}{5-0}=\frac{-\frac{105}{4}-30}{5}=-\frac{45}{4}\,\mathrm{m/s}$.

گام سوم: محاسبهٔ سرعت متوسط در بازهٔ سوم
مکان در ابتدا و انتهای این بازه برابر است با:
$x(10)=\frac{3}{4}(10)^2-15(10)+30=-45\,\mathrm{m}$
$x(15)=\frac{3}{4}(15)^2-15(15)+30=-\frac{105}{4}\,\mathrm{m}$.
بنابراین:
$v_{\mathrm{av},3}=\frac{x(15)-x(10)}{15-10}=\frac{-\frac{105}{4}-(-45)}{5}=\frac{15}{4}\,\mathrm{m/s}$.

گام چهارم: محاسبهٔ نسبت خواسته‌شده
$\frac{v_{\mathrm{av},1}}{v_{\mathrm{av},3}}=\frac{-\frac{45}{4}}{\frac{15}{4}}=-3$.
علامت منفی یعنی سرعت‌های متوسط در دو بازه خلاف جهت یکدیگرند؛ بنابراین نباید قدرمطلق آن‌ها را نسبت بگیریم.

پاسخ: گزینهٔ ۱

۱. تشخیص کمیت خواسته‌شده
سرعت لحظه‌ای برابر شیب خط مماس بر نمودار مکان ـ زمان است؛ بنابراین صفر بودن مکان در لحظهٔ $t=5\,\mathrm{s}$ به معنای صفر بودن سرعت نیست (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۱۰–۱۱).

۲. نوشتن معادلهٔ سهمی
از نمودار می‌دانیم مکان در لحظه‌های $t=2\,\mathrm{s}$ و $t=5\,\mathrm{s}$ صفر است. پس با در نظر گرفتن زمان برحسب ثانیه و مکان برحسب متر، می‌نویسیم:
$x=k(t-2)(t-5)$
در لحظهٔ آغازین، مکان برابر $20\,\mathrm{m}$ است؛ بنابراین:
$20=k(0-2)(0-5)=10k\quad\Rightarrow\quad k=2$
در نتیجه معادلهٔ مکان، در یکاهای SI، چنین است:
$x=2(t-2)(t-5)=2t^2-14t+20$

۳. یافتن سرعت
نمودار سهمی مکان ـ زمان، حرکت با شتاب ثابت را توصیف می‌کند. مانند مسئلهٔ مربوط به تعیین معادلهٔ مکان و سرعت لحظه‌ای در بخش حرکت با شتاب ثابت، از روابط این حرکت استفاده می‌کنیم (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۲۷–۲۸):
$x=x_0+v_0t+\frac12at^2$
با مقایسهٔ ضرایب داریم:
$v_0=-14\,\mathrm{m/s},\qquad \frac12a=2\,\mathrm{m/s^2}\quad\Rightarrow\quad a=4\,\mathrm{m/s^2}$
پس سرعت در لحظهٔ خواسته‌شده برابر است با:
$v=v_0+at=-14+4(5)=+6\,\mathrm{m/s}$
مثبت بودن سرعت نیز با صعودی بودن نمودار در محل عبور دوم از محور زمان سازگار است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

«رها شدن» یعنی سرعت اولیهٔ سنگ صفر است. همچنین در خلأ، سنگ با شتاب ثابت گرانش سقوط می‌کند. مطابق رابطهٔ مکان ــ زمان سقوط آزاد در مثال کتاب، اگر مبدأ را سطح زمین و جهت مثبت را رو به بالا بگیریم، داریم (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۲۳–۲۴):
$y=H-\frac12gt^2$
در اینجا ارتفاع اولیه $H=12.8\,\mathrm{m}$ است.

۱. زمان کل سقوط را پیدا می‌کنیم. هنگام رسیدن به زمین، ارتفاع سنگ صفر است؛ پس:
$0=12.8-\frac12(10)T^2$
$T^2=2.56\,\mathrm{s^2}\quad\Rightarrow\quad T=1.6\,\mathrm{s}$

۲. سؤال دربارهٔ لحظه‌ای است که تا برخورد سنگ با زمین، $0.6\,\mathrm{s}$ باقی مانده است؛ بنابراین زمان سپری‌شده از رها شدن سنگ برابر است با:
$t=T-0.6=1.6-0.6=1.0\,\mathrm{s}$

۳. ارتفاع سنگ از زمین در این لحظه را حساب می‌کنیم:
$y=12.8-\frac12(10)(1.0)^2=12.8-5=7.8\,\mathrm{m}$
توجه کنید که $5\,\mathrm{m}$ مسافت سقوط از محل رها شدن است، نه ارتفاع سنگ از زمین.

پاسخ: گزینهٔ ۱

طبق قانون دوم نیوتون، شتاب جسم هم‌جهت با نیروی خالص و برابر $a=\frac{F_{\mathrm{net}}}{m}$ است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۳۲). چون نیرو در هر بازه ثابت است، شتاب همان بازه نیز ثابت است و می‌توان تغییر سرعت را از $\Delta v=a\Delta t$ محاسبه کرد.

گام اول ـ تغییر سرعت در هر بازه:

از $t=0$ تا $t=2\,\mathrm{s}$، مدت اثر نیروی $5\,\mathrm{N}$ برابر $2\,\mathrm{s}$ است؛ پس:
$\Delta v_1=\frac{5}{4}\times2=2.5\,\mathrm{m/s}$.

از $t=2\,\mathrm{s}$ تا $t=4\,\mathrm{s}$، نیروی $8\,\mathrm{N}$ به مدت $2\,\mathrm{s}$ اثر می‌کند؛ پس:
$\Delta v_2=\frac{8}{4}\times2=4\,\mathrm{m/s}$.

از $t=4\,\mathrm{s}$ تا $t=5\,\mathrm{s}$، نیروی $6\,\mathrm{N}$ فقط به مدت $1\,\mathrm{s}$ اثر می‌کند؛ پس:
$\Delta v_3=\frac{6}{4}\times1=1.5\,\mathrm{m/s}$.

گام دوم ـ تغییر سرعت کل:

همهٔ نیروها هم‌جهت‌اند، بنابراین تغییر سرعت‌های سه بازه با هم جمع می‌شوند:
$\Delta v=2.5+4+1.5=8\,\mathrm{m/s}$.
با توجه به شروع حرکت از سکون، سرعت نهایی نیز $8\,\mathrm{m/s}$ است.

گام سوم ـ شتاب متوسط:

شتاب متوسط، نسبت تغییر سرعت به کل زمان است؛ بنابراین:
$a_{\mathrm{av}}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{8}{5}=1.6\,\mathrm{m/s^2}$.

نکته: میانگین سادهٔ سه شتاب درست نیست، چون مدت سه بازه برابر نیست. همچنین در نگارش گزینه‌ها، علامت «/» نقش ممیز اعشاری دارد؛ بنابراین مقدار به‌دست‌آمده همان مقدار نوشته‌شده در گزینهٔ چهارم است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

ملاک حل، تفاوت میان جهت شتاب وزنه و جهت انحراف آن نسبت به نقطهٔ آویز است. طبق قانون دوم نیوتون، نیروی خالص و شتاب هم‌جهت‌اند (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۵۲).

در وضعیت انحراف ثابت نسبت به خودرو، وزنه همراه خودرو حرکت می‌کند. نیروهای وارد بر آن عبارت‌اند از وزن $mg$ رو به پایین و کشش نخ $T$ در امتداد نخ، به سوی نقطهٔ آویز. چون وزن مؤلفهٔ افقی ندارد، مؤلفهٔ افقی کشش نخ باید شتاب افقی وزنه را تأمین کند.

حالت اول: شتاب خودرو رو به جلو است.
وزنه نیز باید شتاب رو به جلو داشته باشد؛ بنابراین مؤلفهٔ افقی کشش نخ باید رو به جلو باشد. چون نخ وزنه را به سوی نقطهٔ آویز می‌کشد، وزنه باید عقب‌تر از نقطهٔ آویز قرار گیرد. پس آونگ نسبت به خودرو رو به عقب منحرف می‌شود. اگر زاویهٔ نخ با قائم را $\theta$ بنامیم، داریم:
$T\sin\theta=ma$ و $T\cos\theta=mg$.

حالت دوم: خودرو حرکت دایره‌ای یکنواخت دارد.
در این حرکت، با وجود ثابت بودن تندی، شتاب به سوی مرکز دایره است و نیروی خالص نیز باید رو به مرکز باشد (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۵۲). پس مؤلفهٔ افقی کشش نخ باید به سوی مرکز باشد:
$T\sin\theta=m\dfrac{v^2}{r}$،
که در آن $v$ تندی وزنه و $r$ شعاع مسیر دایره‌ای آن است. برای ایجاد این مؤلفه، وزنه باید نسبت به نقطهٔ آویز بیرون‌تر از مرکز دایره قرار گیرد تا نخ آن را به سمت داخل بکشد. بنابراین آونگ به سمت بیرون دایره منحرف می‌شود.

در نتیجه، جهت انحراف به‌ترتیب رو به عقب و به سمت بیرون دایره است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. استخراج داده‌ها از معادلهٔ حرکت

با مقایسهٔ معادلهٔ داده‌شده با رابطهٔ $x=A\cos\omega t$، دامنه و بسامد زاویه‌ای مشخص می‌شوند (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۶۳):
$A=0.05\,\mathrm{m}$ و $\omega=20\pi\,\mathrm{rad/s}$.
جرم را نیز به یکای SI تبدیل می‌کنیم:
$m=120\,\mathrm{g}=0.120\,\mathrm{kg}$.

۲. تعیین وضعیت نوسانگر در لحظهٔ خواسته‌شده

در زمان $t=\tfrac18\,\mathrm{s}$ داریم:
$\omega t=20\pi\times\tfrac18=\tfrac{5\pi}{2}$.
بنابراین:
$x=0.05\cos\left(\tfrac{5\pi}{2}\right)=0$.
پس نوسانگر در حال عبور از نقطهٔ تعادل است. در این نقطه، تندی و انرژی جنبشی بیشینه‌اند و انرژی مکانیکی کاملاً به صورت انرژی جنبشی است (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۶۶).

۳. محاسبهٔ انرژی جنبشی

انرژی مکانیکی نوسانگر هماهنگ ساده از رابطهٔ $E=\tfrac12m\omega^2A^2$ به دست می‌آید (فیزیک ۳ ریاضی، صفحه‌های ۶۶–۶۷). در نتیجه، در لحظهٔ موردنظر:
$K=E=\tfrac12(0.120)(20\pi)^2(0.05)^2=0.060\pi^2\,\mathrm{J}$.
با توجه به $1\,\mathrm{J}=10^3\,\mathrm{mJ}$، داریم:
$K=60\pi^2\,\mathrm{mJ}$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

برای پاسخ، باید «بزرگی شتاب» و «جهت شتاب در حرکت کندشونده» را جداگانه بررسی کنیم.

گام اول: محل بیشینه‌شدن بزرگی شتاب
در حرکت هماهنگ ساده، شتاب با جابه‌جایی از تعادل متناسب و خلاف جهت آن است:
$a=-\omega^{2}x$
بنابراین:
$|a|=\omega^{2}|x|$
طبق کتاب، دامنهٔ $A$ بیشترین فاصلهٔ نوسانگر از تعادل است و نقاط $x=\pm A$ نقاط بازگشت حرکت‌اند (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۶۳). پس بزرگی شتاب در همین دو نقطه بیشینه می‌شود و داریم:
$a_{\mathrm{max}}=\omega^{2}A$
در مرکز نوسان، چون $x=0$ است، شتاب صفر است؛ هرچند تندی در آنجا بیشینه است.

گام دوم: تعیین ناحیه‌ای که شتاب در جهت مثبت محور است
منظور از «در جهت محور $x$» در این سؤال، جهت مثبت محور، یعنی سمت راست شکل است. از رابطهٔ شتاب نتیجه می‌شود:
$a>0\quad\Rightarrow\quad x<0$
پس نوسانگر باید در سمت چپ مرکز نوسان باشد تا شتابش رو به راست باشد.

گام سوم: اعمال شرط کندشونده‌بودن حرکت
در حرکت کندشونده، سرعت و شتاب خلاف جهت یکدیگرند. بنابراین وقتی شتاب رو به راست است، نوسانگر باید رو به چپ حرکت کند؛ یعنی در فاصلهٔ مرکز نوسان تا $-A$، به سوی $-A$ برود:
$-A<x<0,\qquad v<0,\qquad a>0$
این نتیجه با توضیح کتاب نیز سازگار است: هنگام افزایش فاصله از تعادل، تندی نوسانگر کاهش می‌یابد (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۶۶).

پس بزرگی شتاب در دو انتهای مسیر بیشینه است و حالت خواسته‌شده در بخش دوم، حرکت از مرکز به سوی انتهای چپ مسیر است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

برای بررسی گزینه‌ها، باید تعریف تابع کار و معادلهٔ فوتوالکتریک را به کار ببریم.

۱. تعریف تابع کار: الکترون‌های فلز برای جدا شدن به انرژی نیاز دارند. کمترین انرژی لازم برای جدا کردن یک الکترون از فلزی معین، «تابع کار» نام دارد و با $W_0$ نمایش داده می‌شود. این کمیت به جنس فلز بستگی دارد؛ بنابراین عبارت گزینهٔ ۳ درست است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۱۸).

۲. بررسی بسامد آستانه: در آستانهٔ گسیل، انرژی فوتون فقط برای جدا کردن الکترون کافی است و انرژی جنبشی آن صفر است. در نتیجه:
$hf_0=W_0\quad\Rightarrow\quad f_0=\frac{W_0}{h}$
چون ثابت پلانک، $h$، مقداری ثابت و مثبت است، تابع کار بیشتر به بسامد آستانهٔ بیشتر می‌انجامد. پس گزینهٔ ۱ نادرست است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۱۸).

۳. بررسی انرژی جنبشی: بر اساس پایستگی انرژی، بخشی از انرژی فوتون صرف جدا کردن الکترون و باقی آن به انرژی جنبشی تبدیل می‌شود. برای سریع‌ترین فوتوالکترون‌ها داریم:
$K_{\max}=hf-W_0$
در یک فلز معین، $W_0$ ثابت است؛ پس با افزایش بسامد نور، در محدودهٔ گسیل، انرژی جنبشی بیشینه افزایش می‌یابد، نه کاهش. بنابراین گزینهٔ ۲ نادرست است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۱۱۷ و ۱۱۸).

۴. بررسی طول موج آستانه: شرط گسیل فوتوالکترون $f\geq f_0$ است. با استفاده از رابطهٔ $f=c/\lambda$ داریم:
$\lambda\leq\frac{c}{f_0}=\lambda_0$
پس طول موج آستانه، بلندترین طول موج مجاز برای گسیل است، نه کوتاه‌ترین طول موج. در نتیجه گزینهٔ ۴ نیز نادرست است؛ این نتیجه از شرط آستانهٔ گسیل به دست می‌آید (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۱۸).

پاسخ: گزینهٔ ۳

در رشتهٔ براکت، همهٔ گذارها به تراز $n'=4$ ختم می‌شوند و تراز آغازین می‌تواند $n=5,6,7,\ldots$ باشد. بنابراین رابطهٔ ریدبرگ برای این رشته چنین است (فیزیک ۳ ریاضی، صفحات ۱۲۳–۱۲۴):
$\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{4^2}-\frac{1}{n^2}\right)$

گام اول: تعیین بلندترین طول موج
با افزایش $n$، مقدار $\frac{1}{n^2}$ کاهش می‌یابد؛ پس $\frac{1}{\lambda}$ بیشتر و طول موج کمتر می‌شود. بنابراین بلندترین طول موج از کوچک‌ترین تراز آغازین مجاز، یعنی گذار $5\to4$، به‌دست می‌آید:
$\frac{1}{\lambda_{\max}}=R\left(\frac{1}{16}-\frac{1}{25}\right)=\frac{9R}{400}$
پس:
$\lambda_{\max}=\frac{400}{9R}$

گام دوم: تعیین کوتاه‌ترین طول موج
کوتاه‌ترین طول موج در حدّ $n\to\infty$ حاصل می‌شود؛ در این حالت $\frac{1}{n^2}\to0$. این همان روشی است که در مثال رشتهٔ پفوند کتاب به‌کار رفته است (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۱۲۴):
$\frac{1}{\lambda_{\min}}=R\left(\frac{1}{16}-0\right)=\frac{R}{16}$
پس:
$\lambda_{\min}=\frac{16}{R}$

گام سوم: محاسبهٔ نسبت خواسته‌شده
$\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}=\frac{\frac{400}{9R}}{\frac{16}{R}}=\frac{400}{144}=\frac{25}{9}$

ثابت ریدبرگ در نسبت حذف می‌شود و نیازی به مقدار عددی آن نداریم.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: تعیین تعداد نوترون‌های آزادشده
در واکنش هسته‌ای، مجموع عددهای جرمی و مجموع عددهای اتمی در دو طرف واکنش برابر است. اگر تعداد نوترون‌های خروجی را $x$ بنامیم، واکنش به صورت زیر نوشته می‌شود:
$^{1}_{0}\mathrm{n}+{}^{235}_{92}\mathrm{U}\rightarrow{}^{133}_{50}\mathrm{Sn}+{}^{101}_{42}\mathrm{Mo}+x\,{}^{1}_{0}\mathrm{n}$
از پایستگی عدد جرمی داریم:
$1+235=133+101+x$
$236=234+x\quad\Rightarrow\quad x=2$
پس در این واکنش $2$ نوترون آزاد می‌شود. عددهای اتمی نیز سازگارند، زیرا:
$0+92=50+42+2\times0$
توجه کنید که تعداد نوترون‌های آزادشده در همهٔ شکافت‌ها یکسان نیست؛ کتاب نیز برای شکافت اورانیم، محصولات متفاوت همراه با تعداد متفاوتی نوترون معرفی می‌کند (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۴۸).

گام دوم: مقایسهٔ مجموع جرم ذرات اولیه و ثانویه
طبق توضیح کتاب، در شکافت هسته‌ای مجموع جرم محصولات از جرم اولیه کمتر است و این اختلاف جرم به آزاد شدن انرژی می‌انجامد (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۴۹). در اینجا منظور، مجموع جرم‌های سکون ذرات است و نوترون‌های خروجی نیز باید در $M_2$ حساب شوند.
بنابراین:
$E_{\text{آزادشده}}=(M_1-M_2)c^2>0$
در نتیجه:
$M_1>M_2$
پس تعداد نوترون‌های آزادشده $2$ و رابطهٔ درست جرم‌ها $M_1>M_2$ است.
پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: نوشتن رابطهٔ چگالی

طبق تعریف کتاب، چگالی برابر نسبت جرم جسم به حجم آن است: $\rho=\frac{m}{V}$ (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۶–۱۷).

چون داده‌ها در SI هستند، داریم: $r=8.4\times10^{-16}\,\mathrm{m}$ و $m=1.7\times10^{-27}\,\mathrm{kg}$. در اینجا ممیزِ اعداد صورت سؤال با نقطه نوشته شده است.

گام دوم: محاسبهٔ حجم نوترون

نوترون را در مدل این مسئله کره در نظر می‌گیریم. با توجه به $\pi=3$، حجم آن برابر است با:

$V=\frac{4}{3}\pi r^3=4r^3$

بنابراین:

$V=4(8.4\times10^{-16})^3=4\times592.704\times10^{-48}=2.370816\times10^{-45}\,\mathrm{m^3}$

توجه کنید که $(10^{-16})^3=10^{-48}$ است.

گام سوم: محاسبهٔ چگالی در SI

$\rho=\frac{1.7\times10^{-27}}{2.370816\times10^{-45}}\simeq0.717\times10^{18}=7.17\times10^{17}\,\mathrm{kg/m^3}$

گام چهارم: تبدیل یکای چگالی

طبق تمرین تبدیل یکای چگالی در کتاب، $1000\,\mathrm{kg/m^3}=1\,\mathrm{g/cm^3}$ (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۶–۱۷). به روش زنجیره‌ای نیز داریم:

$1\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}\times\frac{10^3\,\mathrm{g}}{1\,\mathrm{kg}}\times\frac{1\,\mathrm{m^3}}{10^6\,\mathrm{cm^3}}=10^{-3}\,\mathrm{g/cm^3}$

پس مقدار عددی چگالی در SI را در $10^{-3}$ ضرب می‌کنیم:

$\rho=7.17\times10^{17}\times10^{-3}=7.17\times10^{14}\,\mathrm{g/cm^3}$

پاسخ: گزینهٔ ۴

پس از تماس جسم باردار با کره و دور کردن آن، بارهای آزاد کره در مدت بسیار کوتاهی به تعادل الکتروستاتیکی می‌رسند. پایهٔ عایق نیز مانع انتقال بار کره به زمین می‌شود.

۱. محل توزیع بار: طبق ویژگی رساناها، بار اضافیِ منتقل‌شده به کره فقط روی سطح خارجی آن قرار می‌گیرد؛ توپر بودن کره به معنای توزیع بار اضافی در حجم آن نیست (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۲۸).

۲. میدان درون کره: اگر میدان داخل فلز غیرصفر باشد، به الکترون‌های آزاد نیروی $\vec{F}=q\vec{E}$ وارد می‌شود و آن‌ها به حرکت درمی‌آیند؛ در نتیجه تعادل برقرار نخواهد بود. پس در حالت تعادل، میدان الکتریکی در تمام نقاط داخل کره برابر $\vec{E}=0$ است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۲۸).

۳. پتانسیل نقاط کره: چون میدان داخل رسانا صفر است، جابه‌جایی بار آزمون میان نقاط داخلی آن با کار نیروی الکتریکی همراه نیست؛ بنابراین اختلاف پتانسیل این نقاط صفر است: $V_B-V_A=0$. پس همهٔ نقاط کره، از داخل تا سطح آن، هم‌پتانسیل‌اند. دقت کنید که ثابت بودن پتانسیل به معنای صفر بودن مقدار آن نیست.

بنابراین، به ترتیب خواسته‌شده، بار اضافی فقط روی سطح خارجی قرار می‌گیرد، نقاط کره هم‌پتانسیل‌اند و میدان الکتریکی درون کره صفر است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: تشخیص کمیت ثابت
چون خازن در تمام مدت به باتری وصل است، اختلاف پتانسیل دو صفحه ثابت می‌ماند؛ یعنی $V_2=V_1$. همچنین طبق تعریف ظرفیت، $C=Q/V$ و در نتیجه $Q=CV$ است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحه‌های ۳۲–۳۳). پس در این مسئله، بار خازن متناسب با ظرفیت آن تغییر می‌کند.

گام دوم: تعیین فاصلهٔ جدید
فاصلهٔ صفحه‌ها $75\%$ کاهش یافته است، پس تنها $25\%$ فاصلهٔ اولیه باقی می‌ماند:
$d_2=(1-0.75)d_1=0.25d_1=\frac{d_1}{4}$.

گام سوم: محاسبهٔ تغییر ظرفیت و بار
ظرفیت خازن تخت با هوا بین صفحه‌ها از رابطهٔ $C=\varepsilon_0 A/d$ به دست می‌آید. چون مساحت صفحه‌ها و محیط بین آن‌ها تغییر نکرده‌اند، ظرفیت با فاصله نسبت وارون دارد. افزایش ظرفیت بر اثر نزدیک شدن صفحه‌ها در مثال صفحه‌کلید خازنی نیز توضیح داده شده است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۳۶).
بنابراین:
$\frac{C_2}{C_1}=\frac{d_1}{d_2}=\frac{d_1}{d_1/4}=4$.
با توجه به ثابت بودن ولتاژ باتری:
$\frac{Q_2}{Q_1}=\frac{C_2V_2}{C_1V_1}=\frac{C_2}{C_1}=4$.
پس بار نهایی خازن چهار برابر بار اولیه می‌شود؛ باتری بار اضافی لازم را به صفحه‌ها منتقل می‌کند.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: داده‌ها را مشخص می‌کنیم. در نگارش اعشاری صورت سؤال، $I=1/5\,\mathrm{A}$ به معنای $I=1.5\,\mathrm{A}$ است، نه یک‌پنجم آمپر. همچنین اختلاف پتانسیل دو سر باتری $\Delta V=6\,\mathrm{V}$ و نیروی محرکهٔ آن $\varepsilon=9\,\mathrm{V}$ است.

گام دوم: توان خروجی، توان تحویلی باتری به مدار خارجی است. طبق کتاب، برای باتری واقعی داریم $P_{\text{خروجی}}=I\Delta V=\varepsilon I-rI^2$؛ بنابراین توان خروجی از توان تولیدی باتری، یعنی $\varepsilon I$، به‌اندازهٔ توان تلف‌شده در مقاومت داخلی کمتر است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحه‌های ۶۸–۶۹).

گام سوم: چون ولتاژ دو سر باتری مستقیماً داده شده است، نیازی به محاسبهٔ مقاومت داخلی نداریم:
$P_{\text{خروجی}}=I\Delta V=(1.5\,\mathrm{A})(6\,\mathrm{V})=9\,\mathrm{W}$.

پس توان خروجی باتری $9\,\mathrm{W}$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: اثر کاهش قطر بر مقاومت سیم را بررسی می‌کنیم. در رابطهٔ مقاومت سیم، $R=\rho L/A$، کمیت‌های $\rho$، $L$ و $A$ به‌ترتیب مقاومت ویژه، طول و سطح مقطع‌اند. در این سؤال طول سیم را ثابت در نظر می‌گیریم و مقاومت ویژه نیز طبق صورت سؤال ثابت است؛ پس با کاهش سطح مقطع، مقاومت افزایش می‌یابد. همچنین چون $A=\pi d^2/4$، داریم $R\propto 1/d^2$.

گام دوم: رابطهٔ مناسب توان را انتخاب می‌کنیم. در ولتاژ ثابت باید از $P=V^2/R$ استفاده کنیم؛ بنابراین توان با مقاومت نسبت وارون دارد (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۷۶). با جای‌گذاری رابطهٔ مقاومت نیز می‌نویسیم: $P=V^2A/(\rho L)$. پس در شرایط سؤال، $P\propto A\propto d^2$.

گام سوم: نسبت توان‌ها را حساب می‌کنیم. کاهش یک‌درصدی قطر یعنی $d_2=0.99d_1$. در نتیجه $P_2/P_1=(d_2/d_1)^2=(0.99)^2=0.9801$.

بنابراین درصد کاهش توان برابر است با $\frac{P_1-P_2}{P_1}\times100\%= (1-0.9801)\times100\%=1.99\%$؛ یعنی توان مصرفی تقریباً دو درصد کاهش می‌یابد.

پاسخ: گزینهٔ ۱

۱. اثر آمپرسنج آرمانی بر اتصال مقاومت‌ها
آمپرسنج آرمانی مقاومت صفر دارد؛ بنابراین اختلاف پتانسیل دو سر آن صفر است و دو نقطهٔ میانی هم‌پتانسیل‌اند. این همان حالت آرمانیِ مقاومت ناچیز آمپرسنج است که در کتاب بررسی شده است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحه‌های ۷۱–۷۲).

پس مقاومت‌های $10\,\Omega$ و $30\,\Omega$ بین گرهٔ چپ و یک پتانسیل میانی مشترک قرار دارند و موازی‌اند. به همین ترتیب، مقاومت‌های $20\,\Omega$ و $40\,\Omega$ نیز موازی‌اند. توجه کنید که دو مقاومت بالایی متوالی نیستند، زیرا بین آن‌ها انشعاب وجود دارد؛ شرط اتصال متوالی، نبودن انشعاب میان مقاومت‌هاست (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۷۰).

۲. محاسبهٔ مقاومت معادل و جریان باتری
با استفاده از رابطهٔ مقاومت معادل دو مقاومت موازی (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۷۴)، داریم:

$R_{\text{چپ}}=\frac{10\times30}{10+30}=7.5\,\Omega$

$R_{\text{راست}}=\frac{20\times40}{20+40}=\frac{40}{3}\,\Omega$

این دو بخش معادل متوالی‌اند؛ پس:

$R_{\mathrm{eq}}=\frac{15}{2}+\frac{40}{3}=\frac{125}{6}\,\Omega$

جریان باتری برابر است با:

$I=\frac{\varepsilon}{R_{\mathrm{eq}}}=\frac{50}{125/6}=2.4\,\mathrm{A}$

۳. محاسبهٔ جریان‌های دو سوی گرهٔ بالایی
افت ولتاژ بخش چپ و بخش راست به‌ترتیب برابر است با:

$V_{\text{چپ}}=IR_{\text{چپ}}=2.4\times7.5=18\,\mathrm{V}$

$V_{\text{راست}}=50-18=32\,\mathrm{V}$

بنابراین، از قانون اهم:

$I_{10}=\frac{18}{10}=1.8\,\mathrm{A}$

$I_{20}=\frac{32}{20}=1.6\,\mathrm{A}$

۴. به‌کارگیری قاعدهٔ انشعاب
برای تعیین جهت جریان‌ها، گرهٔ چپ را در پتانسیل بالاتر فرض می‌کنیم؛ معکوس‌شدن قطب‌های باتری فقط جهت جریان‌ها را عوض می‌کند، نه عدد آمپرسنج را. در گرهٔ بالایی، جریان ورودی از مقاومت $10\,\Omega$ برابر $1.8\,\mathrm{A}$ است و جریان خروجی از مقاومت $20\,\Omega$ برابر $1.6\,\mathrm{A}$ است. طبق قاعدهٔ انشعاب، باقی جریان باید از آمپرسنج به گرهٔ پایینی برود (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحه‌های ۷۱–۷۲):

$I_A=I_{10}-I_{20}=1.8-1.6=0.2\,\mathrm{A}=200\,\mathrm{mA}$

نکتهٔ اصلی این است که هم‌پتانسیل‌بودن دو سر آمپرسنج آرمانی به معنای صفر بودن جریان آن نیست.

پاسخ: گزینهٔ ۳

۱. جهت‌های داده‌شده را مشخص می‌کنیم: سرعت الکترون به سمت راست است و نماد $\odot$ میدان مغناطیسیِ رو به بیرون صفحه را نشان می‌دهد. مسئله از نوع تعیین جهت نیروی مغناطیسی بر ذرهٔ باردار است؛ در تمرین‌های همین مبحث نیز تعیین جهت نیرو برای بار مثبت و بررسی جهت‌های نیرو، سرعت و میدان برای الکترون مطرح شده است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۰۵).

۲. نیروی مغناطیسی از رابطهٔ $\vec{F}=q\,\vec{v}\times\vec{B}$ پیروی می‌کند و بر هر دو بردار سرعت و میدان عمود است. پس در این شکل، نیرو باید در صفحه و رو به بالا یا پایین باشد؛ نه به داخل یا بیرون صفحه.

۳. ابتدا جهت نیرو را برای بار مثبت پیدا می‌کنیم. با قرار دادن انگشتان دست راست در جهت سرعت، یعنی به سمت راست، و خم کردن آن‌ها به سوی میدانِ برون‌سو، شست به سمت پایین اشاره می‌کند. بنابراین جهت $\vec{v}\times\vec{B}$ پایین صفحه است.

۴. بار الکترون منفی است؛ یعنی $q=-e$. در نتیجه، نیروی وارد بر آن خلاف جهت به‌دست‌آمده برای بار مثبت و به سمت بالای صفحه است. شتاب و در نتیجه نخستین انحراف الکترون نیز به سمت بالا خواهد بود.

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. ملاک تعیین جهت جریان
طبق قانون لنز، جریان القایی چنان جهتی دارد که میدان مغناطیسی حاصل از آن با تغییر شار مغناطیسی مخالفت کند. بنابراین هنگام کاهش شار، میدان القایی به حفظ آن کمک می‌کند و هنگام افزایش شار، با افزایش آن مخالفت می‌کند (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۱۷).
از طرفی، طبق قاعدهٔ دست راست، از نگاه بالا جریان پادساعتگرد میدان رو به بالا و جریان ساعتگرد میدان رو به پایین ایجاد می‌کند.

۲. حلقهٔ ۱؛ بالای قطب $N$
میدان آهنربا در محل این حلقه رو به بالاست، زیرا خطوط میدان از قطب $N$ خارج می‌شوند. با پایین رفتن آهنربا، قطب $N$ از حلقه دور می‌شود و شار رو به بالای عبوری از حلقه کاهش می‌یابد. طبق قانون لنز، میدان القایی باید رو به بالا باشد تا با این کاهش مخالفت کند؛ پس جریان حلقهٔ ۱ از نگاه بالا پادساعتگرد است.

۳. حلقهٔ ۲؛ در وسط آهنربا
در لحظهٔ نشان‌داده‌شده، حلقه در صفحهٔ میانی و متقارن آهنربا قرار دارد. شار عبوری از حلقه در این موقعیت به مقدار اکسترمم می‌رسد و آهنگ تغییر لحظه‌ای آن صفر است؛ بنابراین:
$\dfrac{d\Phi_2}{dt}=0\quad\Rightarrow\quad \mathcal{E}_2=0\quad\Rightarrow\quad I_2=0$
پس جریان القایی حلقهٔ ۲ در این لحظه صفر است. دقت کنید که علت، صفر بودنِ تغییر لحظه‌ای شار است، نه صفر بودن خود میدان یا شار. بررسی این موقعیت با تمرین عبور حلقه از روی آهنربا و قرار گرفتن آن در وسط آهنربا نیز هم‌خوان است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحه‌های ۱۲۹–۱۳۰، تمرین ۱۶).

۴. حلقهٔ ۳؛ زیر قطب $S$
میدان آهنربا در محل این حلقه نیز رو به بالاست، زیرا خطوط میدان به سمت قطب $S$ وارد می‌شوند. با نزدیک شدن قطب $S$ به حلقه، شار رو به بالا افزایش می‌یابد. میدان القایی باید رو به پایین باشد تا با این افزایش مخالفت کند؛ بنابراین جریان حلقهٔ ۳ از نگاه بالا ساعتگرد است.

در نتیجه، جهت جریان‌ها به‌ترتیب پادساعتگرد، صفر و ساعتگرد است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. رابطهٔ تندی و سطح مقطع را مشخص می‌کنیم.
در جریان یکنواختِ مایع تراکم‌ناپذیر، حجم مایعی که در زمان معین از مقطع‌های مختلف می‌گذرد یکسان است؛ بنابراین آهنگ شارش حجمی ثابت می‌ماند و داریم (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحه‌های ۴۳–۴۴):
$A_{\text{تنگ}}v_{\text{تنگ}}=A_{\text{گشاد}}v_{\text{گشاد}}$
پس خون هنگام ورود از بخش تنگ به بخش گشاد، کندتر می‌شود.

۲. نسبت سطح مقطع‌ها را حساب می‌کنیم.
قطر بخش رسوب‌گرفته نسبت به بخش گشاد $40\%$ کاهش یافته است؛ در نتیجه:
$d_{\text{تنگ}}=(1-0.4)d_{\text{گشاد}}=0.6d_{\text{گشاد}}$
با توجه به مساحت مقطع دایره‌ای، $A=\frac{\pi d^2}{4}$، داریم:
$\frac{A_{\text{تنگ}}}{A_{\text{گشاد}}}=\left(\frac{d_{\text{تنگ}}}{d_{\text{گشاد}}}\right)^2=(0.6)^2=0.36$

۳. درصد کاهش تندی را به دست می‌آوریم.
تندی اولیه مربوط به بخش تنگ و تندی نهایی مربوط به بخش گشاد است. از رابطهٔ پیوستگی:
$\frac{v_{\text{نهایی}}}{v_{\text{اولیه}}}=\frac{A_{\text{تنگ}}}{A_{\text{گشاد}}}=0.36$
یعنی تندی نهایی برابر $36\%$ تندی اولیه است؛ بنابراین درصد کاهش تندی برابر است با:
$\frac{v_{\text{اولیه}}-v_{\text{نهایی}}}{v_{\text{اولیه}}}\times100=(1-0.36)\times100=64\%$
پس تندی خون $64\%$ کاهش می‌یابد.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: رابطهٔ فشارها را بنویسیم.
در مایع ساکن و پیوسته، فشار نقاط هم‌تراز برابر است و با پایین رفتن به اندازهٔ $h$، فشار به اندازهٔ $\rho gh$ افزایش می‌یابد (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۳۴–۳۵).

نقطه‌ای درون لوله و هم‌تراز با سطح آزاد مایع ظرف در نظر می‌گیریم. فشار این نقطه برابر فشار جو، یعنی $P_0$، است. از طرف دیگر، این نقطه به اندازهٔ $h=51\,\mathrm{cm}$ پایین‌تر از سطح تماس مایع با هوای محبوس قرار دارد؛ بنابراین:
$P_0=P_{\text{هوا}}+\rho_{\text{مایع}}gh$
پس:
$P_{\text{هوا}}=P_0-\rho_{\text{مایع}}gh$
بنابراین فشار هوای محبوس از فشار جو کمتر است. همچنین، برخلاف فضای بالای ستون جیوه در بارومتر آرمانی، فضای بالای این لوله حاوی هوای محبوس است و نمی‌توان فشار آن را صفر گرفت.

گام دوم: داده‌ها را به یکاهای SI تبدیل کنیم.
$\rho_{\text{مایع}}=2.8\,\mathrm{g/cm^3}=2800\,\mathrm{kg/m^3}$
$\rho_{\text{جیوه}}=13.6\,\mathrm{g/cm^3}=13600\,\mathrm{kg/m^3}$
$H=75.5\,\mathrm{cm}=0.755\,\mathrm{m}$
$h=51\,\mathrm{cm}=0.51\,\mathrm{m}$

گام سوم: فشار جو را به پاسکال به دست آوریم.
طبق رابطهٔ بارومتر، فشار معادل یک ستون جیوه از رابطهٔ $P_0=\rho_{\text{جیوه}}gH$ محاسبه می‌شود (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۳۷). بنابراین:
$P_0=13600\times10\times0.755=102680\,\mathrm{Pa}$

گام چهارم: فشار ستون مایع را از فشار جو کم کنیم.
$\rho_{\text{مایع}}gh=2800\times10\times0.51=14280\,\mathrm{Pa}$
در نتیجه:
$P_{\text{هوا}}=102680-14280=88400\,\mathrm{Pa}$
این مقدار فشار مطلق هوای محبوس است، نه فشار پیمانه‌ای آن؛ تفاوت این دو نوع فشار در فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۳۸–۳۹، توضیح داده شده است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

طبق رابطهٔ گرمای ویژه، گرمای لازم برای افزایش دمای یک جسم از رابطهٔ $Q=mc\Delta T$ به دست می‌آید؛ پس برای مقایسهٔ گرمای ویژهٔ مواد باید نسبت $c=\frac{Q}{m\Delta T}$ را محاسبه کنیم (فیزیک ۱، ریاضی، صفحهٔ ۹۸).

اختلاف دما برحسب سلسیوس و کلوین از نظر عددی برابر است؛ بنابراین می‌توان افزایش دماهای جدول را مستقیماً در این رابطه قرار داد و گرمای ویژه را با یکای $\mathrm{J/(kg\cdot{}^\circ C)}$ نوشت.

گام اول ـ مادهٔ $A$:
$c_A=\frac{1800}{2\times2}=450\,\mathrm{J/(kg\cdot{}^\circ C)}$.

گام دوم ـ مادهٔ $B$:
$c_B=\frac{1200}{1\times2}=600\,\mathrm{J/(kg\cdot{}^\circ C)}$.

گام سوم ـ مادهٔ $C$: جرم این ماده در جدول برابر $1.5\,\mathrm{kg}$ است؛ بنابراین:
$c_C=\frac{3000}{1.5\times4}=500\,\mathrm{J/(kg\cdot{}^\circ C)}$.

اکنون با مقایسهٔ مقدارهای به‌دست‌آمده، چون $450<500<600$، داریم:
$c_A<c_C<c_B$.

نکتهٔ مهم این است که چون جرم‌ها و افزایش دماها متفاوت‌اند، نمی‌توان تنها با مقایسهٔ گرمای داده‌شده دربارهٔ گرمای ویژه داوری کرد.

پاسخ: گزینهٔ ۳

۱. تشخیص کمیت وابسته به حالت
برای مقدار معینی گاز کامل، انرژی درونی فقط به دمای گاز بستگی دارد، نه به چگونگی رسیدن گاز به آن دما (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۳۰). در این سؤال، تمام مسیرها از دمای $T_1$ آغاز می‌شوند و به دمای $T_2$ می‌رسند؛ بنابراین انرژی‌های درونی ابتدا و انتها در همهٔ مسیرها یکسان‌اند و داریم:
$\Delta U=U_2-U_1=U(T_2)-U(T_1)$
پس تغییر انرژی درونی به نوع فرایند وابسته نیست. همین استدلال در مثال مربوط به مسیرهای مختلف بین دو دمای معین نیز به کار رفته است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۳۸).

۲. بررسی کار انجام‌شده روی گاز
کار به مسیر فرایند بستگی دارد؛ بنابراین یکسان بودن حالت‌های ابتدا و انتها، یکسان بودن کار را تضمین نمی‌کند. کتاب نیز تصریح می‌کند که کار در فرایندهای مختلف میان دو حالت یکسان می‌تواند متفاوت باشد (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۳۰).

۳. بررسی گرمای مبادله‌شده
با قرارداد کتاب، اگر $W$ کار انجام‌شده روی گاز باشد، قانون اول ترمودینامیک به صورت زیر است:
$\Delta U=Q+W\quad\Rightarrow\quad Q=\Delta U-W$
بین دو حالت معین، $\Delta U$ ثابت است؛ اما چون $W$ می‌تواند با مسیر تغییر کند، $Q$ نیز می‌تواند متفاوت باشد. پس گرمای مبادله‌شده هم مستقل از مسیر نیست.

در نتیجه، از میان کمیت‌های ذکرشده، فقط تغییر انرژی درونی به نوع فرایند بستگی ندارد.
پاسخ: گزینهٔ ۲

در این مسئله حجم کپسول و مقدار گاز ثابت است؛ پس فشار مطلق گاز با دمای مطلق آن تناسب مستقیم دارد:
$\frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2}$
در این رابطه باید فشارها مطلق و دماها برحسب کلوین باشند (فیزیک ۱، صفحات ۱۱۸–۱۱۹).

گام اول: تبدیل فشارهای پیمانه‌ای به فشار مطلق
فشار پیمانه‌ای، اختلاف فشار گاز و فشار جو است؛ بنابراین:
$P=P_0+P_{\mathrm{g}}$
این نکته در مثال فشار لاستیک کتاب نیز به کار رفته است (فیزیک ۱، صفحهٔ ۱۱۹).

در ابتدا فشار پیمانه‌ای صفر است، نه فشار مطلق؛ پس:
$P_1=75+0=75\,\mathrm{cmHg}$
در پایان نیز داریم:
$P_2=75+10=85\,\mathrm{cmHg}$
چون فشارها به صورت نسبت وارد رابطه می‌شوند، نیازی به تبدیل واحد آن‌ها به پاسکال نیست.

گام دوم: تبدیل دمای اولیه به کلوین
$T_1=(0+273)\,\mathrm{K}=273\,\mathrm{K}$

گام سوم: محاسبهٔ دمای نهایی
$T_2=T_1\frac{P_2}{P_1}=273\times\frac{85}{75}=309.4\,\mathrm{K}$
اکنون دمای نهایی را به سلسیوس تبدیل می‌کنیم:
$\theta_2=(309.4-273)\,{}^\circ\mathrm{C}=36.4\,{}^\circ\mathrm{C}$

پس باید دمای گاز را به $36.4\,{}^\circ\mathrm{C}$ برسانیم.

پاسخ: گزینهٔ ۲