سوال ۴۶ فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۴ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

سرعت متوسط از تقسیم جابه‌جایی بر مدت زمان به دست می‌آید:
$v_{\mathrm{av}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$.
در این رابطه، علامت جابه‌جایی باید حفظ شود؛ سرعت مثبت و منفی به‌ترتیب نشان‌دهندهٔ حرکت در جهت مثبت و منفی محور است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۳).

گام اول: تعیین بازه‌های زمانی
پنج ثانیهٔ اول بازهٔ $0$ تا $5\,\mathrm{s}$ است. پنج ثانیهٔ دوم بازهٔ $5$ تا $10\,\mathrm{s}$ و در نتیجه پنج ثانیهٔ سوم بازهٔ $10$ تا $15\,\mathrm{s}$ است.

گام دوم: محاسبهٔ سرعت متوسط در بازهٔ اول
با جای‌گذاری در معادلهٔ $x=\frac{3}{4}t^2-15t+30$ داریم:
$x(0)=30\,\mathrm{m}$
$x(5)=\frac{3}{4}(5)^2-15(5)+30=-\frac{105}{4}\,\mathrm{m}$.
پس:
$v_{\mathrm{av},1}=\frac{x(5)-x(0)}{5-0}=\frac{-\frac{105}{4}-30}{5}=-\frac{45}{4}\,\mathrm{m/s}$.

گام سوم: محاسبهٔ سرعت متوسط در بازهٔ سوم
مکان در ابتدا و انتهای این بازه برابر است با:
$x(10)=\frac{3}{4}(10)^2-15(10)+30=-45\,\mathrm{m}$
$x(15)=\frac{3}{4}(15)^2-15(15)+30=-\frac{105}{4}\,\mathrm{m}$.
بنابراین:
$v_{\mathrm{av},3}=\frac{x(15)-x(10)}{15-10}=\frac{-\frac{105}{4}-(-45)}{5}=\frac{15}{4}\,\mathrm{m/s}$.

گام چهارم: محاسبهٔ نسبت خواسته‌شده
$\frac{v_{\mathrm{av},1}}{v_{\mathrm{av},3}}=\frac{-\frac{45}{4}}{\frac{15}{4}}=-3$.
علامت منفی یعنی سرعت‌های متوسط در دو بازه خلاف جهت یکدیگرند؛ بنابراین نباید قدرمطلق آن‌ها را نسبت بگیریم.

پاسخ: گزینهٔ ۱