سوالات فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

۱. تعداد پروتون‌های هسته را از بار آن به دست می‌آوریم. نوترون بدون بار است و بار هر پروتون برابر $e=1.6\times10^{-19}\,\mathrm{C}$ است؛ پس بار هسته از رابطهٔ $q=Ze$ به دست می‌آید (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۳۸). در صورت سؤال، نشانهٔ «/» ممیز اعشاری است، بنابراین:
$Z=\frac{q}{e}=\frac{1.344\times10^{-17}}{1.6\times10^{-19}}=84$

۲. تعداد نوترون‌های اولیه را حساب می‌کنیم. طبق تعریف عدد جرمی، $A=Z+N$ است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۳۸). پس:
$N=A-Z=211-84=127$

۳. اثر گسیل آلفا را در نظر می‌گیریم. ذرهٔ آلفا همان هستهٔ هلیم، ${}^{4}_{2}\mathrm{He}$، و شامل دو پروتون و دو نوترون است. در نتیجه، با گسیل آن عدد جرمی چهار واحد و عدد اتمی دو واحد کاهش می‌یابد؛ این قاعده مبنای تعیین هستهٔ دختر در تمرین واپاشی آلفای کتاب نیز هست (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۵۵، مسئلهٔ ۶، بخش الف):
$A'=211-4=207$
$Z'=84-2=82$
بنابراین تعداد نوترون‌های هستهٔ دختر برابر است با:
$N'=A'-Z'=207-82=125$
یعنی تعداد نوترون‌ها نسبت به هستهٔ اولیه دو تا کم شده است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

برای تشخیص گزارهٔ درست، مفهوم «کاستی جرم» و تفاوت ترازهای انرژی هسته‌ای با ترازهای الکترونی را بررسی می‌کنیم.

۱. هسته از پروتون و نوترون تشکیل شده است که به آن‌ها نوکلئون می‌گوییم. اگر تعداد پروتون‌ها $Z$ و تعداد نوترون‌ها $N$ باشد، مجموع جرم این ذرات در حالت آزاد برابر است با $Zm_p+Nm_n$ (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۳۸).

۲. برای جدا کردن کامل نوکلئون‌های یک هسته باید به آن انرژی بدهیم؛ این انرژی، «انرژی بستگی هسته‌ای» نام دارد. کتاب توضیح می‌دهد که جرم هستهٔ تشکیل‌شده از مجموع جرم نوکلئون‌های آزاد آن کمتر است و این اختلاف را «کاستی جرم» می‌نامیم (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۴۱). بنابراین، اگر جرم هسته را $m_{\text{هسته}}$ بنامیم، داریم:
$\Delta m=Zm_p+Nm_n-m_{\text{هسته}}>0$
و انرژی بستگی برابر است با:
$E_{\mathrm b}=\Delta m c^2$
پس نتیجه می‌گیریم:
$m_{\text{هسته}}<Zm_p+Nm_n$
این همان مقایسه‌ای است که در گزینهٔ چهارم آمده است.

۳. برای بررسی سایر گزاره‌ها توجه می‌کنیم که واکنش‌های شیمیایی با الکترون‌های اتم سروکار دارند، نه برانگیختگی هسته. همچنین انرژی نوکلئون‌های مقید در هسته گسسته است و آن‌ها نمی‌توانند هر انرژی دلخواهی داشته باشند. اختلاف ترازهای انرژی هسته‌ای نیز از مرتبهٔ مگاالکترون‌ولت، یعنی $\mathrm{MeV}$، است، نه الکترون‌ولت، یعنی $\mathrm{eV}$؛ بنابراین سه گزارهٔ نخست نادرست‌اند.

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. تشخیص پدیده: مسیر خمیدهٔ نور و تصویر ظاهریِ وارونهٔ درخت در زیر سطح زمین، نشان‌دهندهٔ سراب است. چشم، نور دریافتی را در امتداد مستقیمِ رو به عقب دنبال می‌کند؛ بنابراین ناظر تصور می‌کند نور از تصویر زیر زمین آمده است، نه از خود درخت در بالای زمین (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۹۹).

۲. علت خم‌شدن نور: در روز گرم، هوای نزدیک سطح زمین گرم‌تر از لایه‌های بالاتر است. افزایش دمای هوا، چگالی و در نتیجه ضریب شکست آن را کاهش می‌دهد؛ پس اختلاف دما در لایه‌های مختلف هوا مستقیماً در ایجاد این پدیده نقش دارد (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۹۹).

۳. ارتباط با شکست نور: طبق رابطهٔ $n=\frac{c}{v}$، تغییر ضریب شکست با تغییر تندی نور همراه است (فیزیک ۳ ریاضی، صفحه‌های ۹۷–۹۸). پرتو هنگام حرکت رو به پایین، به لایه‌هایی با ضریب شکست کمتر می‌رسد و به‌تدریج خم می‌شود؛ نزدیک زمین مسیرش رو به بالا برمی‌گردد و بخشی از آن به چشم ناظر می‌رسد. بنابراین خمیدگی شکل حاصل شکست نور در هوای ناهمگن است (فیزیک ۳ ریاضی، صفحه‌های ۹۹–۱۰۰).

۴. تشخیص مفهوم نامرتبط: اثر دوپلر به تغییر بسامد دریافتی بر اثر حرکت نسبی چشمه و ناظر مربوط است؛ اما شکل، تغییر مسیر نور بر اثر تفاوت ضریب شکست لایه‌های هوا را نشان می‌دهد و ارتباطی با این تغییر بسامد ندارد. پس سراب، شکست نور و اختلاف دمای لایه‌های هوا همگی مرتبط‌اند و اثر دوپلر نامرتبط است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول ــ تعیین راستای انتشار: در موج الکترومغناطیسی، میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی بر یکدیگر و بر جهت انتشار عمودند؛ جهت انتشار نیز با قاعدهٔ دست راست تعیین می‌شود (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۷۴–۷۵). در شکل، هر دو میدان در صفحهٔ کاغذ قرار دارند؛ بنابراین انتشار باید عمود بر این صفحه باشد و جهت‌های مایل در صفحه پذیرفتنی نیستند.

گام دوم ــ تعیین سوی انتشار: میدان الکتریکی در جهت $+x$، یعنی به راست، و میدان مغناطیسی در جهت $+y$، یعنی به بالا است. انگشتان دست راست را از جهت $\vec{E}$ به سوی $\vec{B}$ خم می‌کنیم؛ در این حالت شست به سمت بیرون صفحه، به سوی بیننده، قرار می‌گیرد. به زبان برداری، جهت انتشار همان جهت $\vec{E}\times\vec{B}$ است و داریم: $\hat{x}\times\hat{y}=\hat{z}$.

گام سوم ــ تطبیق با نماد: علامت $\odot$ مانند نوک پیکانی است که به سوی بیننده می‌آید و جهت بیرون صفحه را نشان می‌دهد؛ در مقابل، $\otimes$ نشان‌دهندهٔ جهت داخل صفحه است. پس موج به سوی بیننده منتشر می‌شود.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: تشخیص تغییر جهت

در رأس نمودار مکان ـ زمان، شیب نمودار و در نتیجه سرعت لحظه‌ای صفر است. پیش از رأس، مکان کاهش و پس از آن افزایش می‌یابد؛ بنابراین متحرک در لحظهٔ $t_*=4\,\mathrm{s}$ تغییر جهت می‌دهد. برای یافتن تندی متوسط باید مسافت دو بخش حرکت را جمع کنیم، نه اینکه فقط جابه‌جایی را در نظر بگیریم. تفاوت تندی متوسط و اندازهٔ سرعت متوسط در پرسش‌های شناخت حرکت نیز مطرح شده است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۲۵).

گام دوم: محاسبهٔ شتاب

در حرکت با شتاب ثابت، سرعت تابعی خطی از زمان است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۵). با توجه به صفر بودن سرعت در رأس، داریم:

$v(t)=a(t-4\,\mathrm{s})$

پس سرعت‌های ابتدا و انتهای بازه برابرند با:

$v_2=a(2-4)\,\mathrm{s}=-2a\,\mathrm{s}$

$v_7=a(7-4)\,\mathrm{s}=3a\,\mathrm{s}$

چون سرعت به‌صورت خطی تغییر می‌کند، سرعت متوسط برابر میانگین سرعت‌های دو سر بازه است:

$v_{\mathrm{av}}=\frac{v_2+v_7}{2}=\frac{a(1\,\mathrm{s})}{2}=0.75\,\mathrm{m/s}$

بنابراین:

$a=1.5\,\mathrm{m/s^2}$

گام سوم: محاسبهٔ مسافت کل

زمان رسیدن از ابتدای بازه به نقطهٔ بازگشت $2\,\mathrm{s}$ و زمان حرکت از نقطهٔ بازگشت تا انتهای بازه $3\,\mathrm{s}$ است. با استفاده از معادلهٔ مکان در حرکت با شتاب ثابت و صفر بودن سرعت در نقطهٔ بازگشت، اندازهٔ فاصلهٔ هر نقطه از رأس برابر $\frac12 a(\Delta t)^2$ است:

$L_1=\frac12(1.5\,\mathrm{m/s^2})(2\,\mathrm{s})^2=3\,\mathrm{m}$

$L_2=\frac12(1.5\,\mathrm{m/s^2})(3\,\mathrm{s})^2=6.75\,\mathrm{m}$

پس مسافت کل برابر است با:

$L=L_1+L_2=9.75\,\mathrm{m}$

برای بررسی، جابه‌جایی برابر $L_2-L_1=3.75\,\mathrm{m}$ است و تقسیم آن بر مدت بازه، همان سرعت متوسط داده‌شده را می‌دهد. تعریف سرعت متوسط به‌صورت نسبت جابه‌جایی به زمان در کتاب آمده است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۸).

گام چهارم: محاسبهٔ تندی متوسط

$\text{تندی متوسط}=\frac{L}{\Delta t}=\frac{9.75\,\mathrm{m}}{(7-2)\,\mathrm{s}}=1.95\,\mathrm{m/s}$

پاسخ: گزینهٔ ۲

جهت حرکت خودروها را مثبت می‌گیریم؛ بنابراین شتاب هر خودرو هنگام ترمزگیری منفی است. مطابق قرارداد علامت سرعت در حرکت روی خط راست، تا زمانی که خودروها در جهت مثبت حرکت می‌کنند، سرعتشان مثبت است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۹).

ابتدا تندی اولیه را تبدیل می‌کنیم:
$v_0=72\times\frac{1000}{3600}=20\,\mathrm{m/s}$

گام اول: بررسی دو ثانیهٔ نخست
طبق رابطهٔ $v=v_0+at$ در حرکت با شتاب ثابت (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۵)، سرعت خودروی $A$ هنگام شروع ترمزگیری خودروی $B$ برابر است با:
$v_A=20-4\times2=12\,\mathrm{m/s}$

در حرکت با شتاب ثابت، سرعت متوسط برابر میانگین سرعت ابتدا و انتهای بازه است؛ پس جابه‌جایی خودروی $A$ در این مدت می‌شود:
$\Delta x_A=\frac{20+12}{2}\times2=32\,\mathrm{m}$

خودروی $B$ در همین بازه هنوز با سرعت ثابت حرکت می‌کند، بنابراین:
$\Delta x_B=20\times2=40\,\mathrm{m}$

پس فاصلهٔ دو خودرو به اندازهٔ $40-32=8\,\mathrm{m}$ کم شده و فاصلهٔ باقی‌مانده برابر است با:
$d=28-8=20\,\mathrm{m}$

گام دوم: بررسی حرکت پس از شروع ترمزگیری خودروی $B$
از این لحظه، شتاب هر دو خودرو برابر $-4\,\mathrm{m/s^2}$ است؛ بنابراین سرعت هر دو در زمان‌های مساوی به یک اندازه کاهش می‌یابد و اختلاف سرعتشان ثابت می‌ماند:
$v_B-v_A=20-12=8\,\mathrm{m/s}$

در نتیجه، فاصلهٔ باقی‌مانده با همین نرخ کم می‌شود. مدت‌زمان لازم برای رسیدن خودروی $B$ به خودروی $A$ برابر است با:
$\tau=\frac{d}{v_B-v_A}=\frac{20}{8}=2.5\,\mathrm{s}$

گام سوم: محاسبهٔ تندی خودروی عقب
خودروی $B$ تا لحظهٔ رسیدن، به مدت $2.5\,\mathrm{s}$ ترمز گرفته است؛ پس:
$v_B=20-4\times2.5=10\,\mathrm{m/s}$

برای بررسی اعتبار محاسبه، خودروی $A$ در این لحظه مجموعاً $4.5\,\mathrm{s}$ ترمز گرفته و سرعتش برابر $20-4\times4.5=2\,\mathrm{m/s}$ است. پس هنوز متوقف نشده و فرض حرکت هر دو خودرو با شتاب ترمز تا لحظهٔ رسیدن معتبر است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. تعیین معادلهٔ مکان ذرهٔ $A$

سرعت این ذره، $v_A=2t-12$، با زمان رابطهٔ خطی دارد؛ بنابراین حرکت آن با شتاب ثابت است و داریم:
$a_A=2\,\mathrm{m/s^2},\qquad v_{0A}=-12\,\mathrm{m/s}$

با استفاده از رابطهٔ مکان در حرکت با شتاب ثابت، $x=x_0+v_0t+\frac12at^2$، معادلهٔ مکان ذرهٔ اول در SI چنین است:
$x_A=x_{0A}-12t+t^2$

این روش همان کاربرد معادلهٔ مکان ـ زمان در حرکت با شتاب ثابت است که در تمرین‌های کتاب نیز مطرح می‌شود (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۲۷–۲۸).

شرط داده‌شدهٔ مسئله، $x_A(1)=9\,\mathrm{m}$، را جای‌گذاری می‌کنیم:
$9=x_{0A}-12+1\quad\Rightarrow\quad x_{0A}=20\,\mathrm{m}$

پس، با بیان مکان بر حسب متر و زمان بر حسب ثانیه:
$x_A=t^2-12t+20$

۲. تعیین معادلهٔ مکان ذرهٔ $B$

در حرکت با سرعت ثابت، معادلهٔ مکان برابر $x=vt+x_0$ است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۳). برای این ذره، سرعت منفی و مکان اولیه صفر است؛ بنابراین در SI:
$x_B=-3t$

۳. نوشتن شرط فاصله

در حرکت روی یک محور، اختلاف مختصات، جابه‌جایی جهت‌دار را مشخص می‌کند و فاصلهٔ دو نقطه برابر قدرمطلق اختلاف مختصات آن‌هاست (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۴–۵). پس:
$d=|x_A-x_B|$

در نتیجه، با بیان فاصله بر حسب متر:
$d=|t^2-9t+20|$

شرط مسئله به شکل زیر درمی‌آید:
$|t^2-9t+20|\leq2\quad\Longleftrightarrow\quad -2\leq t^2-9t+20\leq2$

۴. حل نامعادله و محاسبهٔ مدت‌زمان

ابتدا توجه می‌کنیم که:
$t^2-9t+20=\left(t-\frac92\right)^2-\frac14\geq-\frac14$

بنابراین کران پایین، یعنی $t^2-9t+20\geq-2$، همواره برقرار است. کافی است کران بالا را حل کنیم:
$t^2-9t+20\leq2$
$t^2-9t+18\leq0$
$(t-3)(t-6)\leq0$

پس فاصلهٔ دو ذره در تمام بازهٔ $3\,\mathrm{s}\leq t\leq6\,\mathrm{s}$ کمتر یا مساوی $2\,\mathrm{m}$ است. طول این بازه برابر است با:
$\Delta t=6-3=3\,\mathrm{s}$

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: بازه‌های زمانی را مشخص می‌کنیم.
«سه ثانیهٔ دوم» به معنای دومین بازهٔ سه‌ثانیه‌ای، یعنی از $t=3\,\mathrm{s}$ تا $t=6\,\mathrm{s}$ است. «دو ثانیهٔ سوم» نیز سومین بازهٔ دوثانیه‌ای، یعنی از $t=4\,\mathrm{s}$ تا $t=6\,\mathrm{s}$ است.

گام دوم: معادلهٔ مسافت سقوط را می‌نویسیم.
گلوله بدون سرعت اولیه و در خلأ رها شده است؛ بنابراین حرکت آن سقوط آزاد با شتاب ثابت است. طبق معادلهٔ سقوط آزاد، چون جهت حرکت تا برخورد تغییر نمی‌کند، مسافت طی‌شده از لحظهٔ رها شدن برابر است با $s(t)=\frac{1}{2}gt^2$ (فیزیک ۳ ریاضی، صفحه‌های ۲۲–۲۳).

باید مطمئن شویم که گلوله تا پایان بازه‌های موردنظر به زمین نرسیده است. با مقدار متعارف $g=10\,\mathrm{m/s^2}$ داریم:
$s(6)=\frac{1}{2}\times10\times6^2=180\,\mathrm{m}<185\,\mathrm{m}$.
پس گلوله در تمام هر دو بازه هنوز در حال سقوط است. استفاده از $g=9.8\,\mathrm{m/s^2}$ نیز همین نتیجه را می‌دهد و مقدار شتاب گرانش در نسبت نهایی حذف می‌شود.

گام سوم: مسافت هر بازه را حساب می‌کنیم.
مسافت در سه ثانیهٔ دوم:
$\Delta s_1=s(6)-s(3)=\frac{1}{2}g(6^2-3^2)=\frac{1}{2}g\times27$.

مسافت در دو ثانیهٔ سوم:
$\Delta s_2=s(6)-s(4)=\frac{1}{2}g(6^2-4^2)=\frac{1}{2}g\times20$.

گام چهارم: نسبت خواسته‌شده را به دست می‌آوریم:
$\frac{\Delta s_1}{\Delta s_2}=\frac{\frac{1}{2}g\times27}{\frac{1}{2}g\times20}=\frac{27}{20}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

طبق تعریف کتاب، دورهٔ تناوب مدت‌زمان لازم برای یک دور کامل حرکت دایره‌ای است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۴۹). بنابراین باید زمان یک دور کامل دو عقربه را مقایسه کنیم؛ همین موضوع در پرسش ۲ــ۹ کتاب نیز مطرح شده است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۴۹–۵۰).

۱. ثانیه‌شمار در یک دقیقه یک دور کامل می‌زند، پس:
$T_{\text{ثانیه‌شمار}}=1\,\mathrm{min}$

۲. ساعت‌شمار در دوازده ساعت یک دور کامل می‌زند. با تبدیل ساعت به دقیقه داریم:
$T_{\text{ساعت‌شمار}}=12\,\mathrm{h}=12\times60\,\mathrm{min}=720\,\mathrm{min}$

۳. برای یافتن اینکه دورهٔ ساعت‌شمار چند برابر دورهٔ ثانیه‌شمار است، نسبت آن‌ها را با واحدهای یکسان حساب می‌کنیم:
$\dfrac{T_{\text{ساعت‌شمار}}}{T_{\text{ثانیه‌شمار}}}=\dfrac{720\,\mathrm{min}}{1\,\mathrm{min}}=720$

پس دورهٔ ساعت‌شمار، $720$ برابر دورهٔ ثانیه‌شمار است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

۱. نیروهای وارد بر جسم را مشخص می‌کنیم: وزن $mg$ رو به پایین، اصطکاک ایستایی $f_s$ رو به بالا، نیروی افقی $F$ به سمت دیوار و نیروی عمودی سطح $F_N$ از طرف دیوار در جهت مخالف آن. اصطکاک رو به بالاست، زیرا جسم تمایل دارد بر اثر وزن به پایین بلغزد.

۲. جسم در تمام مدت کاهش نیرو، تا رسیدن به آستانهٔ لغزش، ساکن است؛ بنابراین شتاب آن صفر است و طبق قانون دوم نیوتون، برآیند نیروها در هر راستا صفر خواهد بود (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۳۲). در راستای افقی داریم:
$F_N-F=0\quad\Rightarrow\quad F_N=F$
در راستای قائم نیز:
$f_s-mg=0\quad\Rightarrow\quad f_s=mg$
پس چون وزن جسم ثابت است، بزرگی نیروی اصطکاک نیز در تمام این مدت ثابت می‌ماند.

۳. نکتهٔ اصلی، تفاوت اصطکاک ایستایی با بیشینهٔ آن است. طبق کتاب، رابطهٔ عمومی اصطکاک ایستایی $f_s\leq\mu_s F_N$ است و تساوی فقط در آستانهٔ حرکت برقرار می‌شود (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۴۰ و ۴۱). در این مسئله:
$f_{s,\mathrm{max}}=\mu_s F_N=\mu_s F$
با کاهش $F$، مقدار بیشینهٔ اصطکاک ایستایی کاهش می‌یابد؛ اما خود اصطکاک همچنان وزن را خنثی می‌کند. در آستانهٔ لغزش، این مقدار بیشینه به اصطکاک لازم برای تعادل می‌رسد:
$f_{s,\mathrm{max}}=f_s=mg$
بنابراین کاهش نیروی فشاری، ظرفیت بیشینهٔ اصطکاک را کم می‌کند، نه اصطکاک واقعی را؛ اصطکاک واقعی پیوسته برابر وزن جسم است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

۱. نیروهای وارد بر جسم را مشخص می‌کنیم: کشش نخ با بزرگی $T$ رو به بالا و وزن با بزرگی $mg$ رو به پایین است. طبق قانون دوم نیوتون، شتاب جسم هم‌جهت نیروی خالص وارد بر آن است (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۳۲).

۲. جهت رو به بالا را مثبت می‌گیریم و می‌نویسیم:
$T-mg=ma_y$
چون طبق صورت سؤال $T<mg$ است، داریم:
$T-mg<0\quad\Rightarrow\quad a_y<0$
بنابراین شتاب جسم حتماً رو به پایین است؛ اما این نتیجه به‌تنهایی جهت سرعت جسم را مشخص نمی‌کند.

۳. حالت‌ها را بررسی می‌کنیم:

• «الف»: جسم رو به پایین حرکت می‌کند و شتابش نیز رو به پایین است. این حالت ممکن است؛ سرعت و شتاب هم‌جهت‌اند و حرکت تندشونده است.

• «ب»: جسم رو به بالا حرکت می‌کند و تندشونده است؛ پس باید شتابش رو به بالا باشد. این حالت با شتاب رو به پایین سازگار نیست.

• «ج»: جسم رو به بالا حرکت می‌کند، ولی شتابش رو به پایین است. این حالت ممکن است؛ سرعت و شتاب خلاف جهت‌اند و جسم هنگام بالا رفتن کند می‌شود.

• «د»: جسم رو به پایین حرکت می‌کند و کندشونده است؛ پس باید شتابش رو به بالا باشد. این حالت نیز با شرط سؤال سازگار نیست.

در نتیجه، تنها حالت‌های «الف» و «ج» ممکن‌اند. نکتهٔ اصلی این است که نیروی خالص، جهت شتاب را تعیین می‌کند، نه لزوماً جهت حرکت را.

پاسخ: گزینهٔ ۴

نکتهٔ اصلی این است که «نیروی واردشده از طرف سطح» فقط نیروی عمودی سطح نیست؛ نیروی اصطکاک نیز از طرف سطح وارد می‌شود. هنگام ترمز، اصطکاک در خلاف جهت حرکت خودرو است؛ این نقش اصطکاک در مثال خودروی ترمزکنندهٔ کتاب توضیح داده شده است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۳۹).

۱. تبدیل یکاها و تعیین شتاب

جرم و سرعت اولیه در یکاهای SI عبارت‌اند از:
$m=2000\,\mathrm{kg}$
$v_0=72\times\frac{1000}{3600}=20\,\mathrm{m/s}$

جهت حرکت اولیه را مثبت می‌گیریم. خودرو پس از جابه‌جایی $\Delta x=40\,\mathrm{m}$ متوقف می‌شود؛ بنابراین:
$v^2-v_0^2=2a\Delta x$
$0-20^2=2a(40)\quad\Rightarrow\quad a=-5\,\mathrm{m/s^2}$

علامت منفی نشان می‌دهد شتاب خلاف جهت حرکت است. همین روشِ تعیین شتاب از سرعت اولیه و مسافت ترمز، در تمرین خودروی ترمزکنندهٔ کتاب نیز مطرح شده است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۵۷، تمرین ۶).

۲. مؤلفهٔ افقی نیروی سطح

با صرف‌نظر از مقاومت هوا، نیروی افقی وارد بر خودرو همان اصطکاک سطح است. از قانون دوم نیوتون، اندازهٔ آن برابر است با:
$f=m|a|=2000\times5=10^4\,\mathrm{N}$

۳. مؤلفهٔ قائم نیروی سطح

خودرو شتاب قائم ندارد؛ پس نیروی عمودی سطح و وزن یکدیگر را خنثی می‌کنند:
$N-mg=0\quad\Rightarrow\quad N=mg=2000\times10=2\times10^4\,\mathrm{N}$

۴. برآیند نیروهای واردشده از طرف سطح

نیروی عمودی سطح رو به بالا و اصطکاک افقی است. بنابراین اندازهٔ نیروی کل سطح از جمع برداری آن‌ها به دست می‌آید:
$F_{\text{سطح}}=\sqrt{N^2+f^2}$
$F_{\text{سطح}}=\sqrt{(2\times10^4)^2+(10^4)^2}=10^4\sqrt{5}\,\mathrm{N}$

توجه کنید که وزن از طرف زمین به‌صورت گرانشی وارد می‌شود و جزو نیروی تماسی سطح نیست؛ همچنین نیروی خالص وارد بر خودرو با نیروی کل سطح تفاوت دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول ــ نسبت شدت‌ها را پیدا می‌کنیم.
طبق تعریف کتاب، شدت صوت برابر است با $I=P_{\mathrm{av}}/A$ (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۷۹–۸۰). برای چشمهٔ نقطه‌ای در فضای باز، صوت روی سطح‌های کروی به مساحت $A=4\pi r^2$ پخش می‌شود. چون جذب انرژی نداریم، توان عبوری از این سطح‌ها ثابت است؛ بنابراین:
$I=\frac{P_{\mathrm{av}}}{4\pi r^2}\quad\Rightarrow\quad\frac{I_2}{I_1}=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$.
با جای‌گذاری فاصله‌ها:
$\frac{I_2}{I_1}=\left(\frac{10}{100}\right)^2=10^{-2}$.
پس شدت صوت در فاصلهٔ دوم، یک‌صدم شدت اولیه است.

گام دوم ــ تغییر تراز شدت صوت را محاسبه می‌کنیم.
تراز شدت صوت با رابطهٔ $\beta=(10\,\mathrm{dB})\log(I/I_0)$ تعریف می‌شود؛ بنابراین نباید تراز را مانند شدت بر نسبت مجذور فاصله‌ها تقسیم کرد (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۸۰). با تفریق ترازها داریم:
$\beta_2-\beta_1=(10\,\mathrm{dB})\log\left(\frac{I_2}{I_1}\right)=(10\,\mathrm{dB})\log(10^{-2})=-20\,\mathrm{dB}$.

گام سوم ــ تراز نهایی را به دست می‌آوریم.
$\beta_2=64\,\mathrm{dB}-20\,\mathrm{dB}=44\,\mathrm{dB}$.
بنابراین با ده‌برابر شدن فاصله، تراز شدت صوت به اندازهٔ $20\,\mathrm{dB}$ کاهش می‌یابد.

پاسخ: گزینهٔ ۱

۱. تعیین دورهٔ نوسان
با مقایسهٔ معادلهٔ داده‌شده، $x=0.04\cos(500t)$، با رابطهٔ $x=A\cos(\omega t)$، بسامد زاویه‌ای برابر است با:
$\omega=500\,\mathrm{rad/s}$
طبق رابطهٔ $\omega=2\pi/T$ در کتاب داریم (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۶۳):
$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{500}\,\mathrm{s}=4\pi\,\mathrm{ms}$

۲. تشخیص بخش مناسب حرکت
برای اینکه بردار مکان و بردار سرعت هر دو خلاف جهت مثبت محور $x$ باشند، باید هم‌زمان $x<0$ و $v<0$ برقرار باشند؛ یعنی نوسانگر در سمت منفی تعادل باشد و به سوی انتهای منفی حرکت کند.
در حرکت کسینوسیِ داده‌شده، جسم در لحظهٔ آغاز در $x=+A$ است. پس از یک‌چهارم دوره از تعادل می‌گذرد و در نیم‌دوره به $x=-A$ می‌رسد. بنابراین تنها در بازهٔ $\frac{T}{4}<t<\frac{T}{2}$، مکان منفی است و مقدار مکان نیز با زمان کاهش می‌یابد؛ پس سرعت هم منفی است. این ترتیب حرکت از نمودار کسینوسی کتاب و توضیح نقاط بازگشت به دست می‌آید (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۶۳).
در ابتدای این بازه بردار مکان صفر است و در انتهای آن سرعت صفر می‌شود؛ حذف این دو لحظه، طول بازهٔ زمانی را تغییر نمی‌دهد.

۳. محاسبهٔ مدت موردنظر
$\Delta t=\frac{T}{2}-\frac{T}{4}=\frac{T}{4}=\frac{4\pi}{4}\,\mathrm{ms}=\pi\,\mathrm{ms}$
پس در هر دوره، مدت هم‌جهت‌بودن این دو بردار در جهت منفی محور برابر با $\pi$ میلی‌ثانیه است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول ـ تعیین طول موج:
در تار دوسرثابت، هر شکم متناظر با نیم طول موج است؛ پس برای نقش دارای $n$ شکم داریم $L=n\lambda/2$ (فیزیک ۳ ریاضی، صفحه‌های ۱۰۶–۱۰۷). در این سؤال $n=2$ و $L=80\,\mathrm{cm}=0.80\,\mathrm{m}$ است؛ بنابراین:
$\lambda=\frac{2L}{n}=\frac{2\times0.80}{2}=0.80\,\mathrm{m}$

گام دوم ـ محاسبهٔ تندی موج:
از رابطهٔ تندی، بسامد و طول موج استفاده می‌کنیم:
$v=f\lambda=250\times0.80=200\,\mathrm{m/s}$

گام سوم ـ ارتباط سطح مقطع با کشش تار:
طبق رابطهٔ به‌کاررفته در مثال کتاب، تندی موج عرضی در تار برابر $v=\sqrt{F/\mu}$ است که در آن $\mu=m/L$ چگالی خطی جرمی تار است (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۱۰۷، مثال ۴ـ۳).
چگالی داده‌شده در سؤال، چگالی حجمی است. برای تار یکنواخت با سطح مقطع $A$، حجم برابر $AL$ است؛ پس:
$\mu=\frac{m}{L}=\frac{\rho AL}{L}=\rho A$
بنابراین:
$v^2=\frac{F}{\rho A}\quad\Rightarrow\quad A=\frac{F}{\rho v^2}$

گام چهارم ـ جای‌گذاری و تبدیل واحد:
ابتدا چگالی را به دستگاه SI تبدیل می‌کنیم:
$\rho=5\,\mathrm{g/cm^3}=5\times10^3\,\mathrm{kg/m^3}$
اکنون:
$A=\frac{300}{(5\times10^3)(200)^2}=1.5\times10^{-6}\,\mathrm{m^2}$
با توجه به اینکه $1\,\mathrm{mm^2}=10^{-6}\,\mathrm{m^2}$، داریم:
$A=1.5\,\mathrm{mm^2}$

پاسخ: گزینهٔ ۲

در نوشتار صورت سؤال، تابع کار برابر $W_0=2.2\,\mathrm{eV}$ است.

گام اول: محاسبهٔ بیشینهٔ انرژی جنبشی فوتوالکترون‌ها
با استفاده از تندی داده‌شده داریم:
$K_{\max}=\dfrac{1}{2}m_e v_{\max}^{2}=\dfrac{1}{2}\times(9\times10^{-31})\times(8\times10^5)^2\,\mathrm{J}=2.88\times10^{-19}\,\mathrm{J}$.

برای جمع‌کردن این انرژی با تابع کار، باید یکاهای آن‌ها یکسان باشد. با توجه به $1\,\mathrm{eV}=1.6\times10^{-19}\,\mathrm{J}$:
$K_{\max}=\dfrac{2.88\times10^{-19}}{1.6\times10^{-19}}\,\mathrm{eV}=1.8\,\mathrm{eV}$.
این شیوهٔ استفاده از انرژی جنبشی و تبدیل بین ژول و الکترون‌ولت، در مثال اثر فوتوالکتریک کتاب نیز به کار رفته است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۲۰).

گام دوم: تعیین انرژی فوتون فرودی
طبق معادلهٔ فوتوالکتریک اینشتین، انرژی فوتون برابر مجموع تابع کار و بیشینهٔ انرژی جنبشی فوتوالکترون‌هاست (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۳۴):
$K_{\max}=hf-W_0\quad\Rightarrow\quad E_\gamma=hf=W_0+K_{\max}$.
پس:
$E_\gamma=2.2+1.8=4.0\,\mathrm{eV}$.

گام سوم: محاسبهٔ طول موج
با استفاده از $E_\gamma=\dfrac{hc}{\lambda}$، همانند مثال کتاب (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۲۰)، داریم:
$\lambda=\dfrac{hc}{E_\gamma}=\dfrac{1240\,\mathrm{eV\cdot nm}}{4.0\,\mathrm{eV}}=310\,\mathrm{nm}$.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: نوشتن رابطهٔ انرژی فوتون

طبق مدل بور، انرژی ترازهای اتم هیدروژن برابر $E_n=-\frac{E_R}{n^2}$ است که در آن $E_R=13.6\,\mathrm{eV}$. هنگام گسیل، انرژی فوتون برابر کاهش انرژی الکترون است (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۱۲۷). بنابراین، با توجه به $n>n'$ داریم:
$E_\gamma=E_n-E_{n'}=E_R\left(\frac{1}{n'^2}-\frac{1}{n^2}\right)=0.21E_R$
پس:
$\frac{1}{n'^2}-\frac{1}{n^2}=0.21$

گام دوم: تعیین تراز نهایی و رشتهٔ طیفی

اگر تراز نهایی $n'=1$ باشد، کم‌انرژی‌ترین گذار از $n=2$ آغاز می‌شود و انرژی فوتون آن برابر است با:
$E_{\gamma,\min}=E_R\left(1-\frac{1}{2^2}\right)=0.75E_R$
این مقدار از انرژی داده‌شده بیشتر است؛ پس گذار به تراز پایه و در نتیجه رشتهٔ لیمان منتفی است.

همچنین اگر $n'\geq3$ باشد، انرژی فوتون همواره شرط زیر را دارد:
$E_\gamma<\frac{E_R}{n'^2}\leq\frac{E_R}{9}<0.21E_R$
پس تنها تراز نهایی ممکن، $n'=2$ است. با جای‌گذاری:
$\frac{1}{4}-\frac{1}{n^2}=0.21\quad\Rightarrow\quad\frac{1}{n^2}=0.04\quad\Rightarrow\quad n=5$
بنابراین گذار از $n=5$ به $n'=2$ رخ داده و متعلق به رشتهٔ بالمر است.

گام سوم: تعیین ناحیهٔ طیف

انرژی فوتون برابر است با:
$E_\gamma=0.21\times13.6=2.856\,\mathrm{eV}$
با استفاده از رابطهٔ انرژی و طول موج فوتون، همانند روش مثال کتاب (فیزیک ۳ ریاضی، صفحه‌های ۱۲۸–۱۲۹)، داریم:
$\lambda=\frac{hc}{E_\gamma}=\frac{1240\,\mathrm{eV\cdot nm}}{2.856\,\mathrm{eV}}\simeq434\,\mathrm{nm}$
این طول موج در ناحیهٔ مرئی قرار دارد؛ پس گسیل موردنظر از رشتهٔ بالمر و در ناحیهٔ مرئی است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

ضلع مربع را $a$ و مقدار هر یک از بارهای یکسان را $q$ می‌نامیم.

گام اول: نیروهای وارد بر $q_2$ را تعیین می‌کنیم.
طبق اصل برهم‌نهی، نیروی خالص وارد بر یک بار، جمع برداری نیروهایی است که بارهای دیگر به‌طور جداگانه بر آن وارد می‌کنند (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۸).

بارها هم‌نام‌اند؛ بنابراین نیروی $q_1$ بر $q_2$ رو به بالا و نیروی $q_3$ بر $q_2$ رو به چپ است. فاصلهٔ هر یک از این دو بار تا $q_2$ برابر $a$ است؛ پس با استفاده از قانون کولن، اندازهٔ هر دو نیرو برابر است با:
$F_0=k\frac{q^2}{a^2}$
کاربرد قانون کولن برای محاسبهٔ جداگانهٔ نیروها در مثال کتاب نیز آمده است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۹).

گام دوم: اندازهٔ نیروی خالص وارد بر $q_2$ را می‌یابیم.
این دو نیرو عمود برهم‌اند؛ بنابراین مانند روش مثال نیروهای عمود برهم در کتاب، اندازهٔ برایند را با رابطهٔ فیثاغورس حساب می‌کنیم (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحه‌های ۹–۱۰):
$F_{\mathrm{net},2}=\sqrt{F_0^2+F_0^2}=\sqrt{2}F_0=\sqrt{2}\,k\frac{q^2}{a^2}$

گام سوم: نیرویی را که $q_1$ بر $q_3$ وارد می‌کند محاسبه می‌کنیم.
فاصلهٔ این دو بار، قطر مربع است:
$r_{13}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$
پس طبق قانون کولن:
$F_{1\to3}=k\frac{q^2}{(a\sqrt{2})^2}=k\frac{q^2}{2a^2}=\frac{F_0}{2}$

گام چهارم: نسبت خواسته‌شده را تشکیل می‌دهیم.
$\frac{F_{\mathrm{net},2}}{F_{1\to3}}=\frac{\sqrt{2}F_0}{F_0/2}=2\sqrt{2}$

پاسخ: گزینهٔ ۱

خازن پرانرژی‌تر را با زیروند $1$ و خازن دیگر را با زیروند $2$ مشخص می‌کنیم؛ بنابراین $U_1=4U_2$.

گام اول: مقایسهٔ ولتاژها
هنگام شارژ خازن با باتری، شارش بار تا زمانی ادامه می‌یابد که اختلاف پتانسیل خازن با اختلاف پتانسیل باتری برابر شود. پس چون هر دو خازن با یک باتری شارژ شده‌اند، داریم:
$V_1=V_2=V$
(فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۳۲–۳۳).

گام دوم: تعیین نسبت ظرفیت‌ها
انرژی ذخیره‌شده در خازن از رابطهٔ $U=\frac{1}{2}QV$ به دست می‌آید (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۳۸–۳۹). با جای‌گذاری $Q=CV$، نتیجه می‌شود:
$U=\frac{1}{2}CV^2$
بنابراین، در ولتاژ یکسان انرژی با ظرفیت نسبت مستقیم دارد:
$\frac{U_1}{U_2}=\frac{\frac{1}{2}C_1V^2}{\frac{1}{2}C_2V^2}=\frac{C_1}{C_2}=4$
پس ظرفیت خازن پرانرژی‌تر، چهار برابر ظرفیت خازن دیگر است.

گام سوم: تعیین نسبت بارها
طبق تعریف ظرفیت، $C=\frac{Q}{V}$ و در نتیجه $Q=CV$ است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۳۳). پس:
$\frac{Q_1}{Q_2}=\frac{C_1V}{C_2V}=\frac{C_1}{C_2}=4$
بنابراین، ظرفیت و بار خازن پرانرژی‌تر، هر دو چهار برابر مقادیر متناظر در خازن دیگرند.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: مقاومت هر سیم اولیه را پیدا می‌کنیم.
مقاومت هر یک از هشت سیم یکسان را $r$ می‌نامیم. در اتصال موازی، اختلاف پتانسیل دو سر همهٔ سیم‌ها یکسان است و جریان کل برابر مجموع جریان شاخه‌هاست؛ بنابراین با استفاده از قانون اهم، $R=V/I$، داریم (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۴۹):
$\dfrac{1}{R}=8\times\dfrac{1}{r}\quad\Rightarrow\quad r=8R$.
پس مقاومت موردنظر برای سیم جدید، نسبت به مقاومت هر سیم اولیه، برابر است با:
$R_{\text{جدید}}=2R=\dfrac{r}{4}$.

گام دوم: نسبت مساحت مقطع‌ها را به دست می‌آوریم.
طبق رابطهٔ $R=\rho\ell/A$، در دمای یکسان، مقاومت سیم‌های هم‌جنس و هم‌طول با مساحت مقطع نسبت وارون دارد (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۵۲). اگر مساحت مقطع هر سیم اولیه $A$ و مساحت مقطع سیم جدید $A'$ باشد:
$\dfrac{R_{\text{جدید}}}{r}=\dfrac{A}{A'}=\dfrac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad A'=4A$.

گام سوم: نسبت مساحت را به نسبت قطر تبدیل می‌کنیم.
مساحت مقطع دایره‌ای از رابطهٔ $A=\pi d^2/4$ به دست می‌آید (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحه‌های ۵۵–۵۶، مثال ۲ـ۵). بنابراین اگر قطر سیم جدید $D$ باشد:
$\dfrac{A'}{A}=\dfrac{D^2}{d^2}=4\quad\Rightarrow\quad\dfrac{D}{d}=2$.
پس قطر سیم جدید باید $2d$ باشد.

پاسخ: گزینهٔ ۲

برای محاسبهٔ جریان باید مقاومت المنت را در دمای نهایی به دست آوریم، نه اینکه از مقاومت اولیه استفاده کنیم. کتاب نیز تأکید می‌کند که دما یکی از عوامل مؤثر بر مقاومت الکتریکی رساناست (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۴۹).

گام اول: محاسبهٔ افزایش دما
دمای اولیه برحسب کلوین و دمای نهایی برحسب سلسیوس داده شده است. با تبدیل دمای نهایی به کلوین داریم:
$T=307+273=580\,\mathrm{K}$
پس افزایش دما برابر است با:
$\Delta T=T-T_0=580-300=280\,\mathrm{K}$
دقت کنید که در رابطهٔ تغییر مقاومت، «اختلاف دما» وارد می‌شود، نه خود دمای نهایی.

گام دوم: محاسبهٔ مقاومت المنت در دمای نهایی
از رابطهٔ وابستگی مقاومت به دما استفاده می‌کنیم:
$R=R_0(1+\alpha\Delta T)$
با جای‌گذاری داده‌ها:
$R=25[1+(2\times10^{-3})\times280]=25(1+0.56)=39\,\Omega$
مثبت بودن ضریب دمایی مقاومت باعث می‌شود مقاومت المنت با گرم‌شدن افزایش یابد.

گام سوم: محاسبهٔ جریان
طبق تعریف مقاومت، $R=V/I$ و در نتیجه $I=V/R$ است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۴۹). بنابراین:
$I=\frac{234}{39}=6\,\mathrm{A}$

پاسخ: گزینهٔ ۱

برای تشخیص ماده، باید سه ویژگی صورت سؤال را هم‌زمان بررسی کنیم: خاصیت مغناطیسی «ضعیف» باشد، «موقت» باشد و «در جهت میدان خارجی» ایجاد شود.

۱. در مواد پارامغناطیسی، ذرات سازنده دارای دوقطبی مغناطیسی‌اند، ولی در نبود میدان خارجی، جهت‌گیری این دوقطبی‌ها کاتوره‌ای است؛ بنابراین اثر مغناطیسی آن‌ها در مجموع یکدیگر را خنثی می‌کند. در حضور میدان قوی، دوقطبی‌ها تا حدی به همسویی با میدان گرایش پیدا می‌کنند و ماده مغناطشی ضعیف در جهت میدان به دست می‌آورد. با حذف میدان، این نظم نسبی از بین می‌رود؛ پس خاصیت ایجادشده موقت است. کتاب نیز این ویژگی را برای مواد پارامغناطیسی بیان می‌کند (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۰۲).

۲. مواد دیامغناطیسی مناسب نیستند؛ زیرا دوقطبی‌های القاشده در آن‌ها خلاف جهت میدان خارجی قرار می‌گیرند، در حالی که سؤال بر هم‌جهت بودن تأکید دارد (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۰۲).

۳. در مواد فرومغناطیسی، میدان خارجی باعث رشد حوزه‌های همسو با میدان می‌شود و ماده به‌خوبی خاصیت آهنربایی پیدا می‌کند؛ بنابراین توصیف «پاسخ ضعیف در حضور میدان قوی» مشخصهٔ این گروه نیست (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحه‌های ۱۰۲–۱۰۳).

پس هر سه ویژگی سؤال با مواد پارامغناطیسی مطابقت دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: رابطهٔ مناسب را بنویسیم.
طبق تعریف شار مغناطیسی، $\Phi=BA\cos\theta$ است و $\theta$ زاویهٔ میدان با خط عمود بر سطح حلقه است (فیزیک ۲ ریاضی، صفحهٔ ۱۱۱). بنابراین در این سؤال $\theta=60^\circ$ است و نیازی به گرفتن زاویهٔ مکمل نداریم.

از قانون فاراده برای یک حلقه، بزرگی نیروی محرکهٔ القایی متوسط برابر است با $|\mathcal{E}_{\mathrm{av}}|=\dfrac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}$ (فیزیک ۲ ریاضی، صفحهٔ ۱۱۵). چون مساحت و زاویه ثابت‌اند، داریم:
$|\mathcal{E}_{\mathrm{av}}|=\dfrac{A|\cos\theta|\,|\Delta B|}{\Delta t}$.

گام دوم: مساحت حلقه و داده‌ها را در یکاهای SI به دست آوریم.
قطر حلقه $d=10\,\mathrm{cm}$ است؛ پس شعاع آن برابر است با:
$r=\dfrac{d}{2}=5\,\mathrm{cm}=5\times10^{-2}\,\mathrm{m}$.
بنابراین:
$A=\pi r^2=\pi(5\times10^{-2})^2=2.5\pi\times10^{-3}\,\mathrm{m^2}$.

با توجه به $1\,\mathrm{G}=10^{-4}\,\mathrm{T}$ و صفر بودن میدان اولیه:
$\Delta B=400\times10^{-4}=4\times10^{-2}\,\mathrm{T}$.
بازهٔ زمانی نیز برابر است با:
$\Delta t=50\,\mu\mathrm{s}=5\times10^{-5}\,\mathrm{s}$.

گام سوم: جای‌گذاری کنیم.
با استفاده از $\cos60^\circ=\tfrac12$ داریم:
$|\mathcal{E}_{\mathrm{av}}|=\dfrac{(2.5\pi\times10^{-3})(\tfrac12)(4\times10^{-2})}{5\times10^{-5}}\,\mathrm{V}=\pi\,\mathrm{V}\simeq3.14\,\mathrm{V}$.

در نگارش گزینه‌ها، ممیز با علامت «/» نمایش داده شده است؛ بنابراین مقدار به‌دست‌آمده با گزینهٔ چهارم مطابقت دارد. مسی بودن حلقه در محاسبهٔ نیروی محرکه نقشی ندارد؛ برای محاسبهٔ جریان القایی است که مقاومت حلقه اهمیت پیدا می‌کند.

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. ابتدا دو نوع جاذبه را مشخص می‌کنیم: «هم‌چسبی» جاذبهٔ میان مولکول‌های همسان، مانند مولکول‌های خودِ مایع، و «دگرچسبی» جاذبهٔ میان مولکول‌های ناهمسان، مانند مولکول‌های مایع و جامد، است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۳۰).

۲. هنگام تماس مایع با جامد، باید دگرچسبیِ مایع و جامد را با هم‌چسبیِ مولکول‌های مایع مقایسه کنیم. اگر دگرچسبی قوی‌تر باشد، جاذبهٔ مایع به سطح بر تمایل مولکول‌های مایع به کنار هم ماندن غلبه می‌کند؛ در نتیجه مایع روی سطح پهن می‌شود و آن را تر می‌کند. پس شرط ترشوندگی چنین است:
$F_{\text{دگرچسبیِ مایع و جامد}}>F_{\text{هم‌چسبیِ مایع}}$
این همان مقایسه‌ای است که در گزینهٔ چهارم آمده است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۳۰).

۳. نمونهٔ کتاب، آب روی شیشهٔ تمیز است که سطح را خیس می‌کند. در مقابل، برای جیوه روی شیشه، هم‌چسبیِ جیوه قوی‌تر است و سطح شیشه تر نمی‌شود. بنابراین، مقایسهٔ هم‌چسبی جامد و مایع در دو گزینهٔ نخست معیار مناسبی نیست و گزینهٔ سوم نیز شرط ترنشدن را بیان می‌کند.

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: تعیین عامل تغییر انرژی جنبشی

طبق قضیهٔ کار ــ انرژی جنبشی، تغییر انرژی جنبشی جسم برابر کار کل نیروهای وارد بر آن است؛ این قضیه برای مسیر خمیده نیز برقرار است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحه‌های ۶۱–۶۲):
$\Delta K=W_{\mathrm{t}}$.

در این حرکت، کشش نخ در راستای شعاع و جابه‌جایی لحظه‌ای وزنه در راستای مماس است؛ پس کشش نخ کاری انجام نمی‌دهد. با ناچیز بودن مقاومت هوا، تنها کار وزن باعث تغییر انرژی جنبشی می‌شود. بنابراین برای هر بخش نزولی مسیر داریم:
$\Delta K=mg\Delta h$،
که در آن $\Delta h$ مقدار افت ارتفاع است. این افزایش انرژی جنبشی با کاهش انرژی پتانسیل گرانشی سازگار است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۶۴).

گام دوم: محاسبهٔ افت ارتفاع دو بخش

طول نخ را $R$ می‌نامیم. نقطهٔ $A$ هم‌سطح مرکز دایره است و شعاع $OB$ با افق زاویهٔ $30^\circ$ می‌سازد؛ پس افت ارتفاع از $A$ تا $B$ برابر است با:
$\Delta h_{AB}=R\sin 30^\circ=\frac{R}{2}$.

از طرف دیگر، نقطهٔ $C$ به‌اندازهٔ $R$ پایین‌تر از $A$ است؛ بنابراین افت ارتفاع از $B$ تا $C$ می‌شود:
$\Delta h_{BC}=R-\frac{R}{2}=\frac{R}{2}$.

گام سوم: تشکیل نسبت

پس تغییر انرژی جنبشی در دو بخش برابر است:
$\Delta k_1=mg\frac{R}{2}$،
$\Delta k_2=mg\frac{R}{2}$.

در نتیجه:
$\frac{\Delta k_1}{\Delta k_2}=\frac{mgR/2}{mgR/2}=1$.

نکتهٔ اصلی این است که با وجود متفاوت بودن زاویه‌ها و طول دو کمان، افت ارتفاع آن‌ها برابر است؛ بنابراین کار وزن و تغییر انرژی جنبشی نیز در آن‌ها برابر خواهد بود.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: ارتباط انرژی گرانشی و انرژی الکتریکی را بنویسیم.
با سقوط آب، انرژی پتانسیل گرانشی آن کاهش می‌یابد و به شکل‌های دیگر انرژی تبدیل می‌شود (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۶۴). اگر جرم آبِ سقوط‌کرده در یک دقیقه $m$ باشد، انرژی آزادشده در سقوط از ارتفاع $h$ برابر است با:
$E_{\text{ورودی}}=mgh$
طبق تعریف بازده، نسبت انرژی مفید خروجی به انرژی ورودی برابر بازده است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۷۵). بنابراین:
$\eta=\dfrac{40}{100}=0.40$
$E_{\text{الکتریکی}}=\eta mgh$

گام دوم: انرژی الکتریکی تولیدشده در یک دقیقه را محاسبه کنیم.
طبق رابطهٔ توان، انرژی منتقل‌شده برابر حاصل‌ضرب توان در زمان است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحه‌های ۷۵–۷۶):
$E_{\text{الکتریکی}}=P_{\text{خروجی}}\Delta t$
با تبدیل واحدها داریم:
$P_{\text{خروجی}}=60\,\mathrm{MW}=60\times10^6\,\mathrm{W}$
$\Delta t=1\,\mathrm{min}=60\,\mathrm{s}$
پس:
$E_{\text{الکتریکی}}=(60\times10^6)(60)=3.6\times10^9\,\mathrm{J}$

گام سوم: جرم و سپس حجم آب را به دست آوریم.
از رابطهٔ بازده و انرژی گرانشی:
$m=\dfrac{E_{\text{الکتریکی}}}{\eta gh}=\dfrac{3.6\times10^9}{0.40\times10\times90}=10^7\,\mathrm{kg}$
با استفاده از تعریف چگالی، $\rho=\dfrac{m}{V}$، حجم آب برابر می‌شود با:
$V=\dfrac{m}{\rho}=\dfrac{10^7}{1000}=10^4\,\mathrm{m^3}$
این حجم مربوط به آبِ سقوط‌کرده در یک دقیقه است، زیرا زمان محاسبه را یک دقیقه در نظر گرفتیم.

پاسخ: گزینهٔ ۲

قرارداد علامت کتاب را به کار می‌بریم: در رابطهٔ $\Delta U=Q+W$، نماد $W$ کارِ انجام‌شده روی گاز است؛ بنابراین در انبساط منفی و در تراکم مثبت است.

گام اول: بررسی مسیر هم‌حجم $B\to C$
در فرایند هم‌حجم، کار صفر است و تغییر انرژی درونی برابر گرمای مبادله‌شده است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۳۱–۱۳۲):
$W_{BC}=0,\qquad \Delta U_{BC}=Q_{BC}$.
در نمودار، فشار گاز در حجم ثابت افزایش می‌یابد؛ پس طبق رابطهٔ $PV=nRT$، دما افزایش یافته و گاز گرما گرفته است. بنابراین:
$Q_{BC}=+350\,\mathrm{J}\quad\Rightarrow\quad U_C-U_B=+350\,\mathrm{J}$.

گام دوم: تعیین کار مسیر بی‌دررو $A\to B$
انرژی درونی گاز آرمانی فقط تابع دماست (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۳۸). چون مسیر $C\to A$ هم‌دماست، داریم:
$T_A=T_C\quad\Rightarrow\quad U_A=U_C$.
پس تغییر انرژی درونی مسیر نخست برابر است با:
$\Delta U_{AB}=U_B-U_A=U_B-U_C=-350\,\mathrm{J}$.
در فرایند بی‌دررو گرمایی مبادله نمی‌شود؛ بنابراین از قانون اول ترمودینامیک:
$Q_{AB}=0\quad\Rightarrow\quad W_{AB}=\Delta U_{AB}=-350\,\mathrm{J}$.
این علامت منفی با انبساط گاز سازگار است.

گام سوم: جمع جبری کارها در چرخه
در مسیر $C\to A$ حجم کاهش می‌یابد، پس فرایند تراکم است و کارِ انجام‌شده روی گاز مثبت خواهد بود:
$W_{CA}=+600\,\mathrm{J}$.
در نتیجه:
$W_{\text{چرخه}}=W_{AB}+W_{BC}+W_{CA}=(-350)+0+600=+250\,\mathrm{J}$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: فشار مطلق و دمای کلوین را محاسبه می‌کنیم.
در قوانین گازها، فشار باید مطلق باشد. فشار پیمانه‌ای اختلاف فشار مطلق و فشار جو است؛ بنابراین باید فشار جو را به فشار داده‌شده اضافه کنیم. این نکته در مثال فشار لاستیک کتاب نیز تأکید شده است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۱۸–۱۱۹).
با در نظر گرفتن فشار جو برابر $1\,\mathrm{atm}$ داریم:
$P=P_{\text{پیمانه‌ای}}+P_{\text{جو}}=3+1=4\,\mathrm{atm}=4\times10^5\,\mathrm{Pa}$
همچنین:
$T=(52+273)\,\mathrm{K}=325\,\mathrm{K}$
$V=26\,\mathrm{L}=26\times10^{-3}\,\mathrm{m^3}$