سوال ۵۸ فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

گام اول: نوشتن رابطهٔ انرژی فوتون

طبق مدل بور، انرژی ترازهای اتم هیدروژن برابر $E_n=-\frac{E_R}{n^2}$ است که در آن $E_R=13.6\,\mathrm{eV}$. هنگام گسیل، انرژی فوتون برابر کاهش انرژی الکترون است (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۱۲۷). بنابراین، با توجه به $n>n'$ داریم:
$E_\gamma=E_n-E_{n'}=E_R\left(\frac{1}{n'^2}-\frac{1}{n^2}\right)=0.21E_R$
پس:
$\frac{1}{n'^2}-\frac{1}{n^2}=0.21$

گام دوم: تعیین تراز نهایی و رشتهٔ طیفی

اگر تراز نهایی $n'=1$ باشد، کم‌انرژی‌ترین گذار از $n=2$ آغاز می‌شود و انرژی فوتون آن برابر است با:
$E_{\gamma,\min}=E_R\left(1-\frac{1}{2^2}\right)=0.75E_R$
این مقدار از انرژی داده‌شده بیشتر است؛ پس گذار به تراز پایه و در نتیجه رشتهٔ لیمان منتفی است.

همچنین اگر $n'\geq3$ باشد، انرژی فوتون همواره شرط زیر را دارد:
$E_\gamma<\frac{E_R}{n'^2}\leq\frac{E_R}{9}<0.21E_R$
پس تنها تراز نهایی ممکن، $n'=2$ است. با جای‌گذاری:
$\frac{1}{4}-\frac{1}{n^2}=0.21\quad\Rightarrow\quad\frac{1}{n^2}=0.04\quad\Rightarrow\quad n=5$
بنابراین گذار از $n=5$ به $n'=2$ رخ داده و متعلق به رشتهٔ بالمر است.

گام سوم: تعیین ناحیهٔ طیف

انرژی فوتون برابر است با:
$E_\gamma=0.21\times13.6=2.856\,\mathrm{eV}$
با استفاده از رابطهٔ انرژی و طول موج فوتون، همانند روش مثال کتاب (فیزیک ۳ ریاضی، صفحه‌های ۱۲۸–۱۲۹)، داریم:
$\lambda=\frac{hc}{E_\gamma}=\frac{1240\,\mathrm{eV\cdot nm}}{2.856\,\mathrm{eV}}\simeq434\,\mathrm{nm}$
این طول موج در ناحیهٔ مرئی قرار دارد؛ پس گسیل موردنظر از رشتهٔ بالمر و در ناحیهٔ مرئی است.

پاسخ: گزینهٔ ۴