سوال ۷۱ فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

گام اول: تعیین عامل تغییر انرژی جنبشی

طبق قضیهٔ کار ــ انرژی جنبشی، تغییر انرژی جنبشی جسم برابر کار کل نیروهای وارد بر آن است؛ این قضیه برای مسیر خمیده نیز برقرار است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحه‌های ۶۱–۶۲):
$\Delta K=W_{\mathrm{t}}$.

در این حرکت، کشش نخ در راستای شعاع و جابه‌جایی لحظه‌ای وزنه در راستای مماس است؛ پس کشش نخ کاری انجام نمی‌دهد. با ناچیز بودن مقاومت هوا، تنها کار وزن باعث تغییر انرژی جنبشی می‌شود. بنابراین برای هر بخش نزولی مسیر داریم:
$\Delta K=mg\Delta h$،
که در آن $\Delta h$ مقدار افت ارتفاع است. این افزایش انرژی جنبشی با کاهش انرژی پتانسیل گرانشی سازگار است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۶۴).

گام دوم: محاسبهٔ افت ارتفاع دو بخش

طول نخ را $R$ می‌نامیم. نقطهٔ $A$ هم‌سطح مرکز دایره است و شعاع $OB$ با افق زاویهٔ $30^\circ$ می‌سازد؛ پس افت ارتفاع از $A$ تا $B$ برابر است با:
$\Delta h_{AB}=R\sin 30^\circ=\frac{R}{2}$.

از طرف دیگر، نقطهٔ $C$ به‌اندازهٔ $R$ پایین‌تر از $A$ است؛ بنابراین افت ارتفاع از $B$ تا $C$ می‌شود:
$\Delta h_{BC}=R-\frac{R}{2}=\frac{R}{2}$.

گام سوم: تشکیل نسبت

پس تغییر انرژی جنبشی در دو بخش برابر است:
$\Delta k_1=mg\frac{R}{2}$،
$\Delta k_2=mg\frac{R}{2}$.

در نتیجه:
$\frac{\Delta k_1}{\Delta k_2}=\frac{mgR/2}{mgR/2}=1$.

نکتهٔ اصلی این است که با وجود متفاوت بودن زاویه‌ها و طول دو کمان، افت ارتفاع آن‌ها برابر است؛ بنابراین کار وزن و تغییر انرژی جنبشی نیز در آن‌ها برابر خواهد بود.

پاسخ: گزینهٔ ۱