سوال ۲ ریاضی کنکور ریاضی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

سوال ۲ دفترچهٔ اختصاصی کنکور ریاضی ۱۴۰۴ نوبت اول، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۲ · ریاضی

کنکور ریاضی ۱۴۰۴ نوبت اول · سوال ۲ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری

اگر $x^2+\frac{10}{x^2+1}=9$ باشد، مقدار $(x^2+1)^2+\frac{100}{(x^2+1)^2}$ کدام است؟

گزینهٔ ۱: ۹۸
گزینهٔ ۲: ۹۰
گزینهٔ ۳: ۸۸
گزینهٔ ۴: ۸۰

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۴ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

برای محاسبهٔ عبارت خواسته‌شده نیازی به یافتن خودِ $x$ نداریم؛ کافی است از اتحاد مربع مجموع استفاده کنیم. به‌کارگیری اتحادها برای محاسبه و ساده‌سازی عبارت‌ها در تمرین‌های درس عبارت‌های جبری نیز مطرح شده است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۶۶ تا ۶۸).

ابتدا به دو طرف تساوی داده‌شده یک واحد اضافه می‌کنیم:
$x^2+\frac{10}{x^2+1}=9\quad\Longrightarrow\quad (x^2+1)+\frac{10}{x^2+1}=10$ .

اکنون قرار می‌دهیم:
$a=x^2+1,\qquad b=\frac{10}{x^2+1}$ .
چون $x^2+1>0$ ، مخرج صفر نیست و داریم:
$a+b=10,\qquad ab=(x^2+1)\frac{10}{x^2+1}=10$ .

از اتحاد مربع مجموع، رابطهٔ زیر به دست می‌آید:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\quad\Longrightarrow\quad a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ .

عبارت خواسته‌شده دقیقاً برابر با $a^2+b^2$ است؛ بنابراین:
$(x^2+1)^2+\frac{100}{(x^2+1)^2}=10^2-2\times10=100-20=80$ .

پاسخ: گزینهٔ ۴

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: ممکن است حاصل‌ضرب دو جمله را به‌اشتباه برابر با $1$ بگیرید و به $100-2=98$ برسید؛ درحالی‌که حاصل‌ضرب $x^2+1$ در $\frac{10}{x^2+1}$ برابر با $10$ است.
گزینهٔ ۲: اگر در اتحاد مربع مجموع، ضریب $2$ در جملهٔ میانی فراموش شود، حاصل به‌اشتباه $100-10=90$ خواهد شد. باید دو برابر حاصل‌ضرب دو جمله را کم کرد.
گزینهٔ ۳: این انتخاب می‌تواند ناشی از خطای محاسباتی در جملهٔ میانی یا تفریق نهایی باشد؛ مربع مجموع برابر با $100$ و جمله‌ای که باید از آن کم شود دقیقاً $20$ است، پس $88$ به دست نمی‌آید.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

اتحاد مربع مجموع را به یاد بیاورید؛ در این سؤال، استفاده از اتحادها در مبحث عبارت‌های جبری، از پیدا کردن خودِ مجهول کوتاه‌تر است.
به دو طرف تساوی داده‌شده یک واحد اضافه کنید تا یکی از جمله‌های سمت چپ دقیقاً با مخرج کسر یکسان شود.
اگر $a=x^2+1$ و $b=\frac{10}{x^2+1}$ بگیرید، مجموع و حاصل‌ضرب آن‌ها معلوم است. اکنون از رابطهٔ $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ استفاده کنید.

فصل «توان‌های گویا و عبارت‌های جبری» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.