سوال ۲ ریاضی کنکور ریاضی ۱۴۰۴ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

برای پرهیز از محاسبهٔ مستقیم توان‌های ریشه، ابتدا عبارت جبری را با اتحادها ساده می‌کنیم؛ استفاده از اتحادها برای تجزیه و محاسبهٔ عبارت‌ها در تمرین‌های کتاب نیز مطرح شده است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۶۶–۶۸).

گام اول: تجزیهٔ صورت و مخرج

با اتحاد مکعب دوجمله‌ای داریم:
$3(2x+1)^3=3(8x^3+12x^2+6x+1)=24x^3+36x^2+18x+3$.

همچنین از اتحاد مربع دوجمله‌ای:
$4x^2+4x+1=(2x+1)^2$.

بنابراین، چون $x$ مثبت است و $2x+1\ne0$، عبارت داده‌شده برابر است با:
$\frac{3(2x+1)^3}{\big((2x+1)^2\big)^2}=\frac{3(2x+1)^3}{(2x+1)^4}=\frac{3}{2x+1}$.

گام دوم: استفاده از معادلهٔ داده‌شده

از $x^2+x=1$ نتیجه می‌گیریم:
$(2x+1)^2=4(x^2+x)+1=4\times1+1=5$.

چون $x>0$، عبارت $2x+1$ مثبت است؛ پس ریشهٔ مثبت را انتخاب می‌کنیم:
$2x+1=\sqrt{5}$.

این انتخاب علامت، مطابق مفهوم ریشه‌های دومِ عدد مثبت است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۵۵–۵۶).

گام سوم: گویا کردن مخرج

طبق روش گویا کردن مخرج، صورت و مخرج را در رادیکال مناسب ضرب می‌کنیم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۶۵–۶۶):
$\frac{3}{2x+1}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}=0.6\sqrt{5}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴