سوال ۶۱ فیزیک کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

ابتدا گذارهای مجاز را مشخص می‌کنیم. چون الکترون در تراز $n=5$ است و فقط گذار میان ترازهای مجاور مجاز است، مسیر گسیل چنین خواهد بود:
$5\to4\to3\to2\to1$

طبق مدل بور، انرژی ترازهای اتم هیدروژن از رابطهٔ $E_n=-E_R/n^2$ به دست می‌آید و انرژی هر فوتون گسیلی برابر کاهش انرژی اتم است (فیزیک ۳، صفحهٔ ۱۰۵):
$E_\gamma=E_{n_U}-E_{n_L}=E_R\left(\frac{1}{n_L^2}-\frac{1}{n_U^2}\right)$.
در این مسئله، مقدار ریدبرگ برابر $E_R=13.6\,\mathrm{eV}$ است.

۱. تعیین دو فوتون حدی
فاصلهٔ انرژی ترازهای مجاور با افزایش عدد کوانتومی کاهش می‌یابد؛ بنابراین کم‌انرژی‌ترین فوتون مربوط به گذار $5\to4$ و پرانرژی‌ترین فوتون مربوط به گذار $2\to1$ است. از طرف دیگر، طبق رابطهٔ $E_\gamma=hc/\lambda$، فوتون کم‌انرژی‌تر طول موج بیشتری دارد (فیزیک ۳، صفحه‌های ۱۰۶–۱۰۷).

۲. محاسبهٔ بلندترین طول موج
برای گذار $5\to4$ داریم:
$E_{\gamma,\min}=13.6\left(\frac{1}{4^2}-\frac{1}{5^2}\right)=13.6\times\frac{9}{400}=0.306\,\mathrm{eV}$.
پس:
$\lambda_{\max}=\frac{1240}{0.306}\,\mathrm{nm}\approx4052.3\,\mathrm{nm}$.

۳. محاسبهٔ کوتاه‌ترین طول موج
برای گذار $2\to1$ داریم:
$E_{\gamma,\max}=13.6\left(1-\frac{1}{2^2}\right)=10.2\,\mathrm{eV}$.
بنابراین:
$\lambda_{\min}=\frac{1240}{10.2}\,\mathrm{nm}\approx121.6\,\mathrm{nm}$.

۴. محاسبهٔ اختلاف طول موج‌ها
اختلاف خواسته‌شده برابر است با:
$\Delta\lambda=\lambda_{\max}-\lambda_{\min}\approx(4052.3-121.6)\,\mathrm{nm}=3930.7\,\mathrm{nm}\approx3931\,\mathrm{nm}$.

پاسخ: گزینهٔ ۳