خلاصه درس فصل ۶ ریاضی نهم؛ درسنامه و نکات مهم

فرض کن دوچرخه‌سواری در هر ثانیه دو متر جلو می‌رود. اگر زمان را $x$ و مسافت طی‌شده از آغاز حرکت را $y$ بگیریم، رابطهٔ آن‌ها $y=2x$ است. در جدول، هر مقدار زمان با یک مقدار مسافت همراه می‌شود؛ این جفت را به صورت نقطهٔ $(x,y)$ روی دستگاه مختصات نشان می‌دهیم. مؤلفهٔ اول طول و مؤلفهٔ دوم عرض نقطه است.

نقطه‌های این رابطه روی یک خط راست قرار می‌گیرند. اما هر رابطه‌ای چنین نیست: محیط مربع با ضلع آن رابطهٔ $y=4x$ دارد، در حالی که رابطهٔ مساحت مربع $y=x^2$ است و نقطه‌هایش روی یک خط راست قرار نمی‌گیرند.

در معادله‌ای مانند $x+y=10$، پاسخ فقط یک عدد نیست؛ باید یک جفت مقدار برای $x$ و $y$ پیدا کنیم که تساوی را درست کند. می‌توانیم یک مقدار برای $x$ انتخاب کنیم و مقدار $y$ را از رابطهٔ $y=10-x$ به دست آوریم. چون انتخاب‌های بی‌شماری داریم، این معادله هم بی‌شمار پاسخ دارد.

اما «بی‌شمار پاسخ» با «درست بودن برای هر جفت عدد» فرق دارد. اتحاد برای همهٔ مقدارهای مجاز متغیرها درست است، ولی این معادله فقط برای جفت‌هایی درست است که مجموعشان ده شود. برای بررسی هر پاسخ پیشنهادی، هر دو مقدار را هم‌زمان جای‌گذاری کن.

وقتی $a$ و $b$ عددهایی ثابت باشند، رابطهٔ $y=ax+b$ معادلهٔ یک خط است. هر پاسخ آن، یک نقطه روی خط را مشخص می‌کند و هر نقطهٔ روی خط، پاسخی برای معادله است. برای ساختن پاسخ‌ها، کافی است مقداری برای $x$ انتخاب کنیم و $y$ را به دست آوریم.

برای رسم خط، دو نقطهٔ متمایز کافی است: دو مقدار متفاوت برای $x$ انتخاب کن، عرض‌های متناظر را پیدا کن و نقطه‌ها را با خط راست به هم وصل کن. انتخاب یک نقطهٔ سوم و بررسی هم‌خط بودن آن، راه خوبی برای کنترل محاسبه‌ها و رسم توست.

در خانوادهٔ خط‌های $y=ax$، جملهٔ ثابت وجود ندارد؛ یعنی در شکل کلی $y=ax+b$، مقدار $b$ صفر است. اگر $x=0$ بگذاریم، $y$ هم صفر می‌شود. پس مبدأ مختصات، یعنی $(0,0)$، روی همهٔ این خط‌ها قرار دارد.

اگر بدانیم خطی از مبدأ می‌گذرد و یک نقطهٔ دیگرش را هم داشته باشیم، می‌توانیم معادلهٔ آن را به شکل $y=ax$ جست‌وجو کنیم. مختصات نقطهٔ دیگر را جای‌گذاری می‌کنیم تا $a$ معلوم شود. توجه کن که فقط گذشتن از مبدأ، خط را به‌تنهایی مشخص نمی‌کند؛ خط‌های فراوانی از مبدأ می‌گذرند.

معادلهٔ خط کمک می‌کند نقطه‌های آن را بدون خواندن نمودار پیدا کنیم. اگر طول نقطه داده شده، مقدار $x$ را جای‌گذاری کن و $y$ را به دست آور. اگر عرض داده شده، مقدار $y$ را بگذار و معادله را برای $x$ حل کن. برای تشخیص اینکه نقطه‌ای روی خط هست یا نه، هر دو مختصاتش را جای‌گذاری کن؛ تساوی باید برقرار باشد.

برای برخورد با محورها هم همین روش را داریم: روی محور طول‌ها، $y=0$ است؛ روی محور عرض‌ها، $x=0$ است. پیش از محاسبه، نام محور و مؤلفه‌ای را که باید صفر شود مشخص کن تا این دو حالت جابه‌جا نشوند.

در معادلهٔ $y=ax+b$، دو عدد نقش‌های متفاوتی دارند. عدد $a$ شیب است: اگر $x$ یک واحد زیاد شود، $y$ به اندازهٔ $a$ تغییر می‌کند. اگر $a>0$ باشد، خط از چپ به راست بالا می‌رود؛ اگر $a<0$ باشد، پایین می‌آید. بین شیب‌های مثبت، شیب بزرگ‌تر یعنی خط تندتر است و زاویهٔ بزرگ‌تری با جهت مثبت محور طول‌ها می‌سازد.

عدد $b$ عرض از مبدأ است. با گذاشتن $x=0$، به $y=b$ می‌رسیم؛ پس خط محور عرض‌ها را در $(0,b)$ قطع می‌کند. خط‌های دارای شیب برابر و عرض از مبدأ متفاوت، موازی‌اند: جای شروعشان فرق دارد، اما آهنگ تغییرشان یکی است.

برای نوشتن معادلهٔ یک خط، باید شیب و عرض از مبدأ آن را پیدا کنیم. اگر هر دو داده شده باشند، کافی است آن‌ها را در $y=ax+b$ بگذاریم. اگر فقط شیب و یک نقطه را داشته باشیم، هنوز راه بسته نیست!

ابتدا شیب را جای $a$ می‌نویسیم. سپس طول نقطه را جای $x$ و عرض آن را جای $y$ می‌گذاریم؛ چون نقطه روی خط است، باید معادله را درست کند. حالا تنها مجهول، $b$ است. پس از پیدا کردن آن، معادله را با متغیرهای $x$ و $y$ می‌نویسیم. اگر گفته شود خط با خط دیگری موازی است، شیب را از آن خط می‌گیریم، نه عرض از مبدأ را.

شیب را می‌توان از حرکت بین دو نقطهٔ خط هم فهمید: تغییر عرض تقسیم بر تغییر طول. برای دو نقطه با طول‌های متفاوت داریم: $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$. مهم است که ترتیب تفریق در صورت و مخرج یکسان باشد. روی یک خط راست، هر دو نقطهٔ مناسب را انتخاب کنی، همین نسبت به دست می‌آید.

اگر به سمت راست بروی و پایین بیایی، تغییر عرض منفی و شیب هم منفی می‌شود. برای رسم خط نیز می‌توانی از $(0,b)$ شروع کنی و با کمک شیب، نقطهٔ دوم را پیدا کنی. مثلاً در شیب $\frac{2}{3}$، سه واحد به راست و دو واحد به بالا می‌روی؛ سپس خط گذرنده از دو نقطه را رسم می‌کنی.

آیا همهٔ خط‌ها به شکل $y=ax+b$ نوشته می‌شوند؟ خط قائم یک استثناست. در خط $x=2$، طول همهٔ نقطه‌ها برابر است، اما عرض آن‌ها می‌تواند هر عددی باشد. این خط موازی محور عرض‌هاست. چون تغییر طول بین دو نقطهٔ آن صفر است، شیب آن تعریف نمی‌شود؛ تقسیم بر صفر مجاز نیست.

در مقابل، خط $y=k$ افقی است: عرض همهٔ نقطه‌هایش ثابت و شیبش صفر است. شکل کلی $ax+by=c$ می‌تواند خط‌های قائم و افقی را هم نشان دهد؛ فقط $a$ و $b$ نباید هم‌زمان صفر باشند. دقت کن که در این شکل کلی، $a$ لزوماً شیب و $b$ عرض از مبدأ نیست؛ حروف را باید با توجه به شکل معادله تفسیر کرد.

گاهی معادلهٔ خط از ابتدا به شکل $y=ax+b$ نیست. برای خواندن شیب و عرض از مبدأ، اول $y$ را تنها کن: جمله‌های دارای $x$ را به طرف دیگر ببر و بعد تمام جمله‌های دو طرف را بر ضریب $y$ تقسیم کن. پس از این کار، ضریب $x$ شیب و جملهٔ ثابت عرض از مبدأ خواهد بود.

حواست باشد فقط یکی از جمله‌ها را تقسیم نکنی؛ تقسیم باید روی همهٔ جمله‌ها انجام شود. اگر پس از مرتب کردن، جملهٔ دارای $y$ وجود نداشت و معادله به شکل $x=k$ درآمد، با خط قائم روبه‌رو هستی. برای بررسی موازی بودن دو خط غیرقائم نیز اول هر دو را به شکل شیب و عرض از مبدأ بنویس و سپس شیب‌ها را مقایسه کن.

یک معادلهٔ خطی با دو مجهول، مثل $y=2x-1$، بی‌شمار جواب دارد؛ هر نقطهٔ روی خط آن یک جواب است. اما وقتی دو معادله را کنار هم می‌گذاریم، دنبال یک زوج مرتب مثل $(x,y)$ هستیم که هر دو معادله را هم‌زمان درست کند. به این مجموعه، دستگاه معادله‌ها می‌گوییم.

در روش ترسیمی، هر دو خط را در یک دستگاه مختصات رسم می‌کنیم. اگر خط‌ها همدیگر را قطع کنند، مختصات نقطهٔ برخورد جواب دستگاه است: مؤلفهٔ افقی مقدار $x$ و مؤلفهٔ عمودی مقدار $y$ است. در مثال اینترنت، این نقطه یعنی یک زمان یکسان با هزینهٔ یکسان. برای اطمینان، مختصات خوانده‌شده از نمودار را در هر دو معادله قرار می‌دهیم؛ خواندن تقریبی نمودار ممکن است خطا داشته باشد.

گاهی دو معادله ظاهر متفاوتی دارند، ولی دقیقاً یک خط را نشان می‌دهند. اگر همهٔ جمله‌های دو طرف یک معادله را در یک عدد ناصفر ضرب کنیم، جواب‌های آن تغییر نمی‌کنند. مثلاً معادله‌های $2x-3y=4$ و $4x-6y=8$ همان نقطه‌ها را روی صفحه نشان می‌دهند؛ دومی از دو برابر کردن تمام جمله‌های اولی ساخته شده است.

در این حالت، خط‌ها روی هم می‌افتند و هر نقطهٔ آن خط، جواب هر دو معادله است؛ پس دستگاه بی‌شمار جواب دارد. دقت کن که باید طرف راست معادله هم ضرب شود. همچنین عدد ضرب‌کننده نباید صفر باشد، چون ضرب در صفر اطلاعات معادله را از بین می‌برد و دیگر همان شرط قبلی را بیان نمی‌کند.

برای پیدا کردن جواب، همیشه لازم نیست نمودار بکشیم. در روش حذفی کاری می‌کنیم که با جمع کردن دو معادله، یکی از مجهول‌ها حذف شود. پشتوانهٔ این کار ساده است: اگر دو تساوی درست باشند، جمع طرف‌های چپ با جمع طرف‌های راست برابر است.

اگر ضریب‌های یک مجهول قرینه باشند، مثل $+y$ و $-y$، جمع آن‌ها صفر می‌شود. اگر قرینه نباشند، می‌توانیم همهٔ جمله‌های یک معادله یا هر دو معادله را در عددهای مناسب ضرب کنیم تا ضریب‌ها قرینه شوند. بعد از حل معادلهٔ یک‌مجهولی، مقدار پیدا‌شده را در یکی از معادله‌های اصلی می‌گذاریم تا مجهول دیگر به دست آید. در پایان، زوج جواب را در هر دو معادله بررسی می‌کنیم؛ پیدا کردن فقط یک مجهول پایان کار نیست.

در روش جایگزینی، از یکی از معادله‌ها یک مجهول را برحسب دیگری می‌نویسیم. سپس در معادلهٔ دیگر، به جای آن مجهول، عبارت برابر با آن را قرار می‌دهیم. به این ترتیب فقط یک مجهول باقی می‌ماند. اگر یکی از معادله‌ها از قبل به صورت $y=\cdots$ یا $x=\cdots$ باشد، این روش معمولاً راحت‌تر است.

هنگام جایگزینی، عبارت را داخل پرانتز بگذار، به‌ویژه وقتی ضریب منفی دارد. پس از پیدا کردن یک مجهول، با یکی از رابطه‌های اصلی مجهول دوم را به دست بیاور.

برای مسئله‌های متنی هم ابتدا معنی مجهول‌ها را مشخص کن و هر شرط را به یک معادله تبدیل کن. مثلاً در مسئلهٔ مستطیل، رابطهٔ طول و عرض یک شرط است و محیط شرط دیگر؛ جایگزینی این دو شرط را به یک معادلهٔ یک‌مجهولی وصل می‌کند.

حالا حالت سوم را بشناس: ممکن است دو خط موازی و متمایز باشند؛ یعنی هیچ نقطهٔ مشترکی نداشته باشند. در این صورت دستگاه هیچ جوابی ندارد. در حل جبری چنین دستگاهی، ممکن است پس از حذف مجهول‌ها به یک تساوی ناممکن مثل $0=5$ برسیم. این نشانهٔ بی‌جواب بودن دستگاه است، نه مقداری برای مجهول‌ها.

پس دستگاه دو معادلهٔ خطیِ دو خط می‌تواند یک جواب، بی‌شمار جواب یا هیچ جواب داشته باشد. اگر هنگام حذف به تساوی همواره درست مثل $0=0$ رسیدی، معادله‌ها وابسته‌اند و همان خط را نشان می‌دهند؛ البته باید رابطهٔ خط باقی‌مانده را نگه داری. تفاوت مهم همین است: در حالت منطبق، همهٔ نقطه‌های یک خط مشترک‌اند؛ در حالت موازیِ متمایز، هیچ نقطه‌ای مشترک نیست.