خلاصه درس فصل ۵ ریاضی نهم؛ درسنامه و نکات مهم

تک‌جمله‌ای را مثل یک بستهٔ ضربی ببین: یک ضریب عددی داریم و متغیرهایی که توانشان صحیح و نامنفی است. برای نمونه، $-3x^2y$ تک‌جمله‌ای است و توان نوشته‌نشدهٔ $y$ برابر $1$ است. عدد ثابت، مثل $7$، هم تک‌جمله‌ای به حساب می‌آید.

وجود رادیکال در ضریب اشکالی ندارد؛ پس $\sqrt{3}x^2$ تک‌جمله‌ای است، اما $\sqrt{x}$ نیست. همچنین $\frac{1}{x}=x^{-1}$ به‌دلیل توان منفی، تک‌جمله‌ای نیست.

دو تک‌جمله‌ای وقتی متشابه‌اند که قسمت حرفی و توان‌هایشان دقیقاً یکسان باشد؛ ضرایب می‌توانند فرق کنند. در جمع و تفریق فقط جمله‌های متشابه را با هم یکی می‌کنیم. در ضرب، ضرایب را ضرب و توان‌های پایه‌های یکسان را جمع می‌کنیم: $x^m x^n=x^{m+n}$. در توانِ یک حاصل‌ضرب نیز توان به همهٔ عامل‌ها می‌رسد و توانِ توان‌ها در هم ضرب می‌شود: $(x^m)^n=x^{mn}$.

درجهٔ یک تک‌جمله‌ای نسبت به یک متغیر، همان توان آن متغیر است. در $5x^2y^3$ درجه نسبت به $x$ برابر $2$ و نسبت به $y$ برابر $3$ است؛ درجه نسبت به هر دو، از جمع این توان‌ها به دست می‌آید. متغیری که در جمله حضور ندارد، درجه‌اش در آن جمله صفر است.

از جمع یا تفریق تک‌جمله‌ای‌ها، چندجمله‌ای ساخته می‌شود. برای درجهٔ چندجمله‌ای، بزرگ‌ترین درجهٔ جمله‌ها را نسبت به متغیرهای خواسته‌شده انتخاب می‌کنیم. مراقب باش: برای درجه نسبت به چند متغیر، ابتدا مجموع توان‌ها را در هر جمله پیدا می‌کنیم؛ توان‌های جمله‌های جدا را به هم نمی‌چسبانیم.

برای ساده‌سازی، پرانتزها را باز و جمله‌های متشابه را جمع کن؛ منفیِ پشت پرانتز علامت همهٔ جمله‌های آن را عوض می‌کند. در ضرب دو چندجمله‌ای نیز هر جملهٔ اول باید در هر جملهٔ دوم ضرب شود. در پایان، مرتب کردن برحسب توان‌های نزولی $x$، عبارت را خواناتر می‌کند؛ این کار مقدار عبارت را تغییر نمی‌دهد.

دو عبارت ممکن است ظاهر متفاوتی داشته باشند، ولی برای هر مقدار متغیر، نتیجهٔ یکسان بدهند. برابریِ این دو عبارت یک اتحاد است. واژهٔ مهم اینجا «هر» است: اتحاد یک برابری همیشگی است، نه برابری‌ای که فقط با بعضی جای‌گذاری‌ها درست شود.

جای‌گذاری چند عدد می‌تواند به ما ایده بدهد، اما برای اثبات اتحاد کافی نیست؛ چون هنوز همهٔ مقدارها را بررسی نکرده‌ایم. راه مطمئن این است که با قواعد جبری، یک طرف را به طرف دیگر تبدیل کنیم. برعکس، برای رد کردن اتحاد بودن، پیدا کردن حتی یک مقدار که دو طرف را نابرابر کند کافی است.

معادله معمولاً از ما می‌خواهد مقدارهایی را پیدا کنیم که تساوی را برقرار می‌کنند. پس وقتی یک تساوی دیدی، بپرس: «آیا این برابری همیشه درست است یا فقط برای مقدارهای خاص؟» این پرسش، مرز اصلی مفهوم اتحاد را روشن می‌کند.

مربع یک دوجمله‌ای یعنی آن دوجمله‌ای را در خودش ضرب کنیم، نه اینکه فقط هر جمله را جداگانه به توان دو برسانیم. با پخش کردن ضرب، دو حاصل‌ضرب میانی یکسان به دست می‌آید و همین، دلیل وجود جملهٔ میانی در اتحاد است:

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

برای تفاضل نیز داریم:

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

در هر دو حالت، جملهٔ اول و آخر مربع‌اند؛ علامت جملهٔ میانی فرق می‌کند. این دو رابطه برای همهٔ عددهای حقیقی برقرارند.

برای دیدن معنای هندسی حالت جمع، مربعی با ضلع $a+b$ تصور کن که $a$ و $b$ مثبت‌اند. اگر هر ضلع را به دو قسمت تقسیم کنیم، داخل شکل دو مربع با مساحت‌های $a^2$ و $b^2$ و دو مستطیل، هرکدام با مساحت $ab$، داریم. پس جملهٔ میانی را نمی‌توان حذف کرد؛ آن دو مستطیل هم بخشی از مساحت کل هستند.

تا اینجا از یک ضرب به جمع چند جمله رسیدیم. تجزیه مسیر برعکس است: می‌خواهیم عبارت را به شکل حاصل‌ضرب بنویسیم. این کار مثل دسته‌بندی چیزهای مشترک است؛ به‌جای تکرار یک عامل، آن را بیرون پرانتز می‌گذاریم.

نخست دنبال عامل مشترک همهٔ جمله‌ها بگرد. در بخش حرفیِ عامل مشترک، کمترین توان موجود در همهٔ جمله‌ها را انتخاب کن. پس از بیرون آوردن عامل، هر جملهٔ داخل پرانتز باید حاصل تقسیم جملهٔ قبلی بر آن عامل باشد. رابطهٔ کلی این کار $ab+ac=a(b+c)$ است.

سپس بررسی کن آیا عبارت باقی‌مانده مربع کامل است. وجود دو جملهٔ مربعی به‌تنهایی کافی نیست؛ جملهٔ میانی هم باید مثبت یا منفیِ دو برابر حاصل‌ضرب پایه‌های آن مربع‌ها باشد. اگر این شرط برقرار بود، از اتحاد در جهت معکوس استفاده کن. در پایان، با ضرب کردن عامل‌ها می‌توانی درستی تجزیه‌ات را بررسی کنی.

مربع یک مجموع یعنی آن مجموع را در خودش ضرب کنیم؛ نه اینکه فقط تک‌تک جمله‌ها را به توان دو برسانیم. برای سه جمله، هر جمله در خودش و در دو جملهٔ دیگر ضرب می‌شود. حاصل‌ضرب هر جفت جمله دو بار ظاهر می‌شود، پس داریم:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

برای به خاطر سپردن آن بگو: مربع هر جمله، به‌اضافهٔ دو برابر حاصل‌ضرب هر جفت جمله. این رابطه مثلاً برای نوشتن مساحت مربعی کاربرد دارد که ضلعش از سه بخش تشکیل شده است.

اگر یکی از جمله‌ها منفی باشد، همین قانون برقرار است؛ فقط باید علامت‌ها را همراه جمله‌ها ببریم. در $(a+b-c)^2$، مربعِ $-c$ مثبت است، ولی حاصل‌ضرب آن در $a$ و $b$ علامت منفی دارد. پس پیش از ساده‌کردن، علامت هر حاصل‌ضرب را جداگانه بررسی کن.

دو پرانتز را تصور کن که جمله‌های یکسان دارند، اما علامت بین جمله‌هایشان متفاوت است. این دو پرانتز «مزدوج» یکدیگرند:

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

چرا فقط دو مربع باقی می‌ماند؟ با ضرب‌کردن، دو جملهٔ میانی $-ab$ و $+ab$ به دست می‌آیند که همدیگر را خنثی می‌کنند. بنابراین حاصل، مربع جملهٔ مشترک منهای مربع جمله‌ای است که علامتش عوض شده.

تفسیر هندسی هم کمک می‌کند: از مساحت مربعی به ضلع $a$، مربع کوچکی به ضلع $b$ را کم کن. اگر $a>b>0$ باشد، بخش باقی‌مانده را می‌توان به مستطیلی با ضلع‌های $a+b$ و $a-b$ تبدیل کرد. البته خود اتحاد برای همهٔ عددهای حقیقی درست است.

در محاسبه‌های ذهنی، دو عدد با فاصلهٔ برابر از یک عدد ساده، فرصت خوبی برای استفاده از این اتحادند. همچنین پیش از تشخیص اتحاد می‌توانی ترتیب جمله‌های هر پرانتز را جابه‌جا کنی.

تا اینجا از ضرب دو پرانتز به یک عبارت ساده‌تر رسیدیم. تجزیه یعنی مسیر برعکس را برویم و یک عبارت را به حاصل‌ضرب تبدیل کنیم. اتحاد مزدوج در این جهت چنین خوانده می‌شود:

$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$

برای تشخیص آن، ابتدا بپرس: «آیا عبارت من تفاضل دو مربع است؟» سپس خودِ $A$ و $B$ را پیدا کن، نه مربعشان را. این دو می‌توانند یک عدد، یک تک‌جمله‌ای یا حتی یک پرانتز کامل باشند.

وقتی $B$ یک عبارت چندجمله‌ای است، در عامل $A-B$ باید تمام آن داخل پرانتز بماند. اگر بعداً پرانتز را باز کنی، منفیِ قبل از آن علامت همهٔ جمله‌هایش را تغییر می‌دهد.

گاهی تجزیه با یک بار استفاده از اتحاد تمام نمی‌شود؛ یکی از عامل‌ها خودش دوباره تفاضل دو مربع است. همچنین همیشه پیش از انتخاب اتحاد، عامل مشترک جمله‌ها را بررسی کن؛ بیرون کشیدن آن ممکن است شکل آشنای اتحاد را آشکار کند.

حالا دو پرانتز را در نظر بگیر که یک جملهٔ مشترک، مثل $x$، دارند:

$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

با ضرب جمله‌ها می‌بینیم که ضریب $x$ از جمع دو عدد و جملهٔ ثابت از حاصل‌ضرب آن‌ها به دست می‌آید. این همان اتحاد جملهٔ مشترک است.

برای تجزیهٔ $x^2+px+q$، دنبال دو عدد بگرد که هم‌زمان مجموعشان $p$ و حاصل‌ضربشان $q$ باشد. روش منظم این است: جفت‌های عاملِ جملهٔ ثابت را پیدا کن، سپس مجموع هر جفت را بررسی کن. تنها درست‌بودن حاصل‌ضرب کافی نیست!

علامت‌ها راهنما هستند: اگر حاصل‌ضرب مثبت باشد، دو عدد هم‌علامت‌اند و علامت مجموع مشخص می‌کند هر دو مثبت‌اند یا منفی. اگر حاصل‌ضرب منفی باشد، دو عدد مختلف‌علامت‌اند؛ علامت مجموع متعلق به عددی است که قدرمطلق بزرگ‌تری دارد.

این الگو را وقتی مستقیماً به کار می‌بریم که ضریب جملهٔ مربعی برابر $1$ باشد. در پایان، با جمع و ضرب دو عدد انتخابی، پاسخ خودت را کنترل کن.

نابرابری به ما می‌گوید دو مقدار چه نسبتی با هم دارند. اگر $a>b$ باشد، یعنی مقدار $a$ بیشتر است؛ مثل کفهٔ سنگین‌تر ترازو. همچنین اختلاف آن‌ها مثبت است: $a-b>0$.

علامت $\geq$ دو حالت را با هم در بر می‌گیرد: بزرگ‌تر بودن یا برابر بودن. پس «منفی نیست» یعنی $a\geq 0$، نه فقط $a>0$.

برای نشان‌دادن یک بازه می‌توانیم بنویسیم $2\leq x<5$؛ یعنی عدد موردنظر از دو کمتر نیست و از پنج کوچک‌تر است. روی محور، سرِ دو توپر است چون پذیرفته می‌شود، اما سرِ پنج توخالی است چون پذیرفته نمی‌شود.

برای تبدیل جمله به عبارت جبری، اول عدد نامعلوم را با حرفی مثل $x$ نشان بده. بعد به واژه‌های مقایسه دقت کن: «بیشتر از» با $>$، «کمتر از» با $<$، «حداقل» با $\geq$ و «حداکثر» با $\leq$ بیان می‌شود. مثلاً «سه برابر عددی منهای یک، از هفت بیشتر است» می‌شود $3x-1>7$.

در بررسی علامت‌ها هم باید دلیل داشته باشیم. مثبت‌بودن مجموع دو عدد الزاماً به معنی مثبت‌بودن هر دو نیست؛ یک عدد منفی هم ممکن است در آن مجموع باشد. اما مثبت‌بودن حاصل‌ضرب دو عدد نشان می‌دهد آن دو هم‌علامت‌اند: یا هر دو مثبت‌اند یا هر دو منفی.

در حل نامعادله، باید یک عمل یکسان را روی هر دو طرف انجام بدهیم؛ اما همهٔ عمل‌ها اثر یکسانی بر جهت علامت ندارند.

• جمع یا تفریق یک عدد از دو طرف، جهت را حفظ می‌کند: اگر $a<b$، آن‌گاه $a+c<b+c$.
• ضرب یا تقسیم دو طرف در عدد مثبت، جهت را حفظ می‌کند.
• ضرب یا تقسیم دو طرف در عدد منفی، جهت را برعکس می‌کند.

برای یادآوریِ قانون آخر، قرینه‌کردن عددها روی محور را تصور کن: راست و چپ جابه‌جا می‌شوند. مثلاً از $-7>-9$ با ضرب در منفی یک، به $7<9$ می‌رسیم. ضرب در صفر مناسب حل نیست؛ چون هر دو طرف صفر می‌شوند و اطلاعات مقایسه از بین می‌رود. تقسیم بر صفر هم تعریف ندارد.

نابرابری‌ای مثل $2x+1>7$ که مجهول دارد، یک نامعادله است. چون یک مجهول دارد و توان آن یک است، آن را نامعادلهٔ یک‌مجهولی درجهٔ اول می‌نامیم. هدف فقط پیداکردن یک عدد مناسب نیست؛ باید همهٔ عددهایی را پیدا کنیم که با جایگذاری آن‌ها، نابرابری درست شود.

این عددها «مجموعهٔ جواب» را می‌سازند. برای رسیدن به آن، پرانتزها را باز می‌کنیم، اگر لازم باشد کسرها را با ضرب در یک مخرج مشترکِ مثبت کنار می‌گذاریم، و با انجام عمل یکسان روی دو طرف، مجهول را تنها می‌کنیم.

در پایان، مرز جواب را بررسی کن: در $x>3$ خودِ سه جواب نیست، ولی در $x\geq 3$ هست. مجموعهٔ اول را می‌توان به شکل $D=\{x\in\mathbb{R}\mid x>3\}$ نوشت.