خلاصه درس فصل ۷ ریاضی نهم؛ درسنامه و نکات مهم

برای نوشتن نسبت عرض به طول یک مستطیل، می‌توانیم دو عبارت جبری را به صورت کسر بنویسیم. اگر عرض $x$ و طول $x+4$ باشد، نسبت آن‌ها $\frac{x}{x+4}$ است. صورت و مخرج این کسر هر دو چندجمله‌ای‌اند؛ چنین کسری را عبارت گویا می‌نامیم.

برای تشخیص عبارت گویا، فقط ظاهرِ کسری کافی نیست؛ باید صورت و مخرج را بررسی کنیم. در چندجمله‌ای، توان متغیرها عدد صحیح نامنفی است. بنابراین $\frac{\sqrt{x}}{x+1}$ گویا نیست، اما $\frac{\sqrt{3}+x}{5}$ گویاست: رادیکالِ یک عدد ثابت اشکالی ندارد، ولی متغیر زیر رادیکال چندجمله‌ای نمی‌سازد.

حتی یک چندجمله‌ای مثل $x^2+2x-7$ هم عبارت گویاست؛ چون می‌توان آن را با مخرج $1$ نوشت. پس برای گویا بودن لازم نیست متغیر حتماً در مخرج دیده شود.

گویا بودن یک عبارت به این معنی نیست که بتوانیم هر عددی را در آن جای‌گذاری کنیم. تقسیم بر صفر تعریف نشده است؛ بنابراین باید پیش از محاسبه، مخرج را بررسی کنیم.

راه پیدا کردن مقدارهای ممنوع این است: مخرج را برابر صفر قرار بده و معادله را حل کن. اگر مخرج حاصل‌ضرب چند عامل باشد، صفر شدن هر عامل می‌تواند مخرج را صفر کند. برای مخرج $(x-1)(x+2)$ باید هر دو عامل را جداگانه بررسی کنیم، نه اینکه فقط یکی را در نظر بگیریم.

صفر شدن صورت به‌تنهایی اشکالی ندارد؛ صفر تقسیم بر یک عدد ناصفر، تعریف شده است. همچنین بعضی عبارت‌ها هیچ مقدار ممنوعی در عددهای حقیقی ندارند؛ مثلاً مخرج $x^2+4$ همیشه مثبت است. پس لازم نیست هر عبارت گویا حتماً یک مقدار ممنوع داشته باشد.

ساده‌کردن عبارت گویا شبیه ساده‌کردن کسرهای عددی است: صورت و مخرج را بر یک عامل مشترکِ ناصفر تقسیم می‌کنیم. قانون کلی این است: $\frac{AC}{BC}=\frac{A}{B}$، به شرط $B\neq0$ و $C\neq0$.

نکتهٔ مهم این است که «عامل» را حذف می‌کنیم، نه یک جمله از جمع یا تفریق را. پس ابتدا، هرجا لازم بود، صورت و مخرج را تجزیه کن. اتحاد مربع دوجمله‌ای و اتحاد مزدوج در این کار به کمکت می‌آیند. اگر عبارتی به شکل جمع نوشته شده، خط زدن یک قسمت از آن بدون تجزیه مجاز نیست.

به علامت‌ها هم دقت کن: $5-b=-(b-5)$؛ پس این دو عبارت قرینهٔ یکدیگرند، نه برابر. در پایان، مقدارهای ممنوعِ مخرج اولیه را نگه دار؛ حتی اگر عامل مربوط به آن‌ها حذف شده باشد. ساده‌کردن فقط شکل عبارت را عوض می‌کند، نه شرط‌های اولیه‌اش را.

خبر خوب این است که برای ضرب و تقسیم عبارت‌های گویا، قانون تازه‌ای لازم نداری؛ همان روش کسرهای عددی را به کار می‌بریم.

در ضرب، صورت‌ها را در هم و مخرج‌ها را در هم ضرب می‌کنیم: $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$. بهتر است پیش از ضرب‌کردن، چندجمله‌ای‌ها را تجزیه کنیم تا عامل‌های مشترک دیده شوند.

در تقسیم، کسر دوم را وارونه می‌کنیم و سپس ضرب می‌کنیم: $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$. فقط کسر دوم وارونه می‌شود، نه هر دو کسر!

دو نکتهٔ مهم: تنها عامل مشترک را می‌توان از صورت و مخرج حذف کرد، نه جمله‌های یک جمع را. همچنین مخرج‌های اولیه و خودِ عبارتی که بر آن تقسیم می‌کنیم نباید صفر باشند؛ این شرط‌ها پس از ساده‌کردن هم باقی می‌مانند.

برای جمع‌کردن دو مقدار، باید واحدهای هم‌اندازه داشته باشیم؛ مثلاً نصف‌های یک کیک را می‌توان با نصف‌های همان کیک جمع کرد. در عبارت‌های گویا هم مخرج مشترک همین نقش را دارد.

اگر مخرج‌ها برابر باشند، صورت‌ها را جمع یا تفریق می‌کنیم و مخرج را نگه می‌داریم: $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$.

اگر مخرج‌ها متفاوت باشند، ابتدا آن‌ها را تجزیه کن. مخرج مشترک باید همهٔ عامل‌های لازم را داشته باشد؛ لازم نیست همیشه حاصل‌ضرب کامل دو مخرج باشد. برای تغییر مخرج هر کسر، صورت و مخرجش را در یک عامل یکسان ضرب کن.

در تفریق، تمام صورت کسر دوم کم می‌شود؛ پس آن را داخل پرانتز بگذار. علامت منفیِ پیش از پرانتز، علامت همهٔ جمله‌های داخل آن را عوض می‌کند. در پایان، صورت را مرتب کن و اگر عامل مشترکی وجود داشت، ساده کن.

عبارت گویای مرکب، کسری است که در صورت یا مخرجش کسرهای دیگری دیده می‌شود. برای اینکه بین خط‌های کسر گم نشوی، اول خط کسر اصلی را پیدا کن؛ این خط، صورت بزرگ را از مخرج بزرگ جدا می‌کند.

دو راه در اختیار داری. در راه اول، صورت بزرگ و مخرج بزرگ را جداگانه به یک کسر تبدیل می‌کنی؛ سپس صورت را بر مخرج تقسیم می‌کنی. در راه دوم، یک مضرب مشترک برای مخرج‌های داخلی پیدا می‌کنی و تمام صورت و تمام مخرج کسر بزرگ را در آن ضرب می‌کنی. این عامل باید به همهٔ جمله‌ها برسد.

راه دوم اغلب کوتاه‌تر است، اما هر دو راه باید به یک نتیجه برسند. یادت باشد علاوه بر مخرج‌های داخلی، مخرج بزرگ نیز نباید صفر شود؛ پس تنها بررسی کسرهای کوچک کافی نیست.

گاهی عبارت گویا از یک مسئلهٔ هندسی به دست می‌آید. در فعالیت پایانی، طول و عرض مستطیل با عبارت‌های جبری داده شده‌اند و ضلع مربع، نصف عرض مستطیل است. پیش از هر محاسبه، بهتر است یک نقشهٔ کوتاه بنویسی: ضلع مربع ← مساحت مربع ← نسبت مساحت‌ها.

اگر عرض مستطیل $x+5$ باشد، نصف آن را باید به صورت $\frac{x+5}{2}$ بنویسی؛ پرانتز ذهنی دور کل عرض را فراموش نکن. برای مساحت مربع، کل عبارتِ ضلع به توان دو می‌رسد. مساحت مستطیل هم حاصل‌ضرب طول و عرض آن است.

حالا نسبت مساحت مربع به مساحت مستطیل را به شکل یک کسر می‌نویسی، ساده می‌کنی و با نسبت داده‌شده برابر قرار می‌دهی. پس از حل معادله نیز باید بررسی کنی که طول‌ها مثبت و مخرج‌ها غیرصفر باشند.

گاهی صورت و مخرج یک کسر، خودشان عبارت‌های کسری‌اند. برای ساده‌کردن چنین عبارتی، دو راه داری: صورت و مخرج را جداگانه هم‌مخرج کنی، یا هر دو را در یک مخرج مشترک مناسب ضرب کنی تا کسرهای داخلی از بین بروند. راه دوم شبیه این است که برای مقایسهٔ چند قیمت، همه را با یک واحد پول بنویسی؛ ظاهرشان ساده‌تر می‌شود، اما نسبتشان تغییر نمی‌کند.

مثلاً وقتی مخرج‌های داخلی $a$ و $a+1$ هستند، عامل $a(a+1)$ انتخاب مناسبی است. حواست باشد این عامل باید در تمام جمله‌های صورت و مخرج ضرب شود. همچنین مخرج‌های داخلی و کل عبارتِ مخرج نباید صفر باشند؛ ساده‌شدن ظاهر عبارت، این شرط‌ها را از بین نمی‌برد.

در مسئله‌های هندسی، اول جمله‌های مسئله را به زبان جبر ترجمه کن. در فعالیت کتاب، عرض مستطیل $x+5$ و طول آن $2x+3$ است. چون ضلع مربع نصف عرض مستطیل است، ضلع آن را با $\frac{x+5}{2}$ نشان می‌دهیم. برای مساحت مربع باید تمام این عبارت را به توان دو برسانیم؛ پس مخرج هم به توان دو می‌رسد.

اکنون نسبت مساحت‌ها یعنی «مساحت مربع تقسیم بر مساحت مستطیل». این نسبت یک عبارت گویا می‌سازد که می‌توان آن را ساده کرد و برابر نسبت داده‌شده قرار داد. مثل زمانی که سهم یک باغچه از کل حیاط را حساب می‌کنی، باید مساحت‌ها را مقایسه کنی، نه فقط طول‌ها را. در پایان نیز اندازه‌های به‌دست‌آمده باید مثبت باشند.

تمرین‌های عبارت‌های گویا یک نکتهٔ مشترک دارند: پیش از انجام عمل، ساختار عبارت را ببین. در جمع و تفریق، مخرج مشترک لازم داریم؛ در ضرب و تقسیم، تجزیهٔ صورت‌ها و مخرج‌ها کمک می‌کند. برای تقسیم نیز کسر دوم را معکوس می‌کنیم و سپس ضرب می‌کنیم، به شرط آنکه مقسوم‌علیه صفر نباشد.

قانون مهم این است: عامل مشترک حذف می‌شود، نه جملهٔ مشترک. در $\frac{a(a-5)}{a}$، صورت یک حاصل‌ضرب است؛ اما در $\frac{a^2+5}{a^2}$، نمی‌توان بخشی از صورت را با مخرج خط زد. در تفریق هم علامت منفی باید بر تمام صورتِ کسرِ دوم اثر کند. مثل بازکردن بسته‌هاست: ابتدا باید بدانی هر بسته چه اجزایی دارد، بعد آن‌ها را ترکیب کنی.

عبارت گویا فقط برای تمرین‌های نمادی نیست؛ می‌تواند رابطهٔ دو کمیت هندسی را نشان دهد. اگر عرض مستطیلی را $x$ بگیریم و طولش یک واحد کمتر از دو برابر عرض باشد، طول آن $2x-1$ است. برای ساختن نسبت محیط به مساحت، ابتدا محیط و مساحت را جداگانه می‌نویسیم و سپس اولی را بر دومی تقسیم می‌کنیم. ترتیب نسبت مهم است؛ «محیط به مساحت» با «مساحت به محیط» فرق دارد.

در مسئلهٔ پیدا کردن عرض نیز از رابطهٔ $\text{عرض}=\frac{\text{مساحت}}{\text{طول}}$ استفاده می‌کنیم. اگر طول خودش یک کسر گویا باشد، دوباره به تقسیم عبارت‌های گویا می‌رسیم. در همهٔ این مسئله‌ها، علاوه بر صفرنبودن مخرج‌ها، مثبت‌بودن اندازه‌های هندسی را بررسی کن.

در تقسیم تک‌جمله‌ای‌ها، ضریب‌ها را تقسیم می‌کنیم و برای توان‌های هم‌پایه، توان مخرج را از توان صورت کم می‌کنیم: $\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$، با شرط $x\neq0$. اگر توان باقی‌مانده منفی شد، می‌توان آن عامل را با توان مثبت در مخرج نوشت.

برای تقسیم یک چندجمله‌ای بر یک تک‌جمله‌ای، هر جملهٔ صورت را جداگانه بر همان مخرج تقسیم کن: $\frac{A+B-C}{D}=\frac{A}{D}+\frac{B}{D}-\frac{C}{D}$، به شرط $D\neq0$. سپس هر کسر را ساده کن. این کار شبیه تقسیم چند نوع خوراکی میان تعداد ثابتی از افراد است؛ سهم هر نوع را جدا حساب می‌کنی. اگر مخرج منفی باشد، علامت حاصلِ تقسیم هر جمله را هم جداگانه بررسی کن.

از ساده‌ترین حالت شروع کنیم: تقسیم یک تک‌جمله‌ای بر یک تک‌جمله‌ای. ضریب‌های عددی را مثل کسرهای معمولی ساده کن؛ سپس سراغ متغیرها برو. برای توان‌های یک متغیر در صورت و مخرج، توان مخرج را از توان صورت کم می‌کنیم: $\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$، به شرط $x\ne0$.

اگر از یک متغیر، عامل‌های بیشتری در مخرج باقی بماند، آن‌ها را در مخرج نگه دار؛ لازم نیست حتماً همه‌چیز به صورت منتقل شود. علامت ضریب‌ها را هم جداگانه بررسی کن. مثل ساده‌کردن یک کسر، فقط عامل‌های مشترک حذف می‌شوند. در تمام این درس، مخرج‌ها را ناصفر فرض می‌کنیم.

اگر صورت چند جمله داشته باشد و مخرج یک تک‌جمله‌ای باشد، تقسیم را بین همهٔ جمله‌های صورت پخش می‌کنیم. یعنی هر جمله، همراه با علامت خودش، جداگانه بر همان مخرج تقسیم می‌شود. بعد هر کسر را با روشی که یاد گرفتی ساده می‌کنیم.

تصور کن هزینهٔ چند خرید را بین چند نفر به‌طور مساوی تقسیم می‌کنی؛ می‌توانی سهم هر خرید را جدا حساب کنی و سپس سهم‌ها را جمع بزنی. اینجا هم همین منطق برقرار است. مراقب باش مخرج برای همهٔ جمله‌ها تکرار شود، نه فقط جملهٔ اول. اگر مخرج منفی باشد، علامت حاصلِ تقسیم هر جمله را نیز جداگانه تعیین کن.

وقتی مقسوم‌علیه هم چندجمله‌ای است، از روشی شبیه تقسیم طولانی عددها استفاده می‌کنیم. ابتدا هر دو عبارت را برحسب توان‌های نزولی مرتب کن. اگر توانی در میان عبارت وجود ندارد، جای آن را خالی در نظر بگیر یا جمله‌ای با ضریب صفر بنویس تا جمله‌های هم‌درجه درست زیر هم قرار بگیرند.

حالا جملهٔ اولِ مقسوم را بر جملهٔ اولِ مقسوم‌علیه تقسیم کن؛ نتیجه، جملهٔ بعدیِ خارج‌قسمت است. آن را در تمام مقسوم‌علیه ضرب کن و حاصل را از عبارت فعلی کم کن. هنگام کم‌کردن، علامت همهٔ جمله‌های حاصل‌ضرب تغییر می‌کند، نه فقط جملهٔ اول. همین چرخهٔ «تقسیم، ضرب، تفریق» را تکرار می‌کنیم.

پس از هر تفریق، به عبارت باقی‌مانده نگاه کن. اگر صفر شده، کار تمام است و مقسوم بر مقسوم‌علیه بخش‌پذیر است. اگر صفر نشده، بزرگ‌ترین توان متغیرش را با بزرگ‌ترین توان متغیر در مقسوم‌علیه مقایسه کن. وقتی درجهٔ باقی‌مانده کمتر باشد، دیگر تقسیم را ادامه نمی‌دهیم. یک عدد ثابتِ ناصفر درجهٔ صفر دارد.

برای بررسی جواب، از این رابطه استفاده کن: $\text{مقسوم}=\text{مقسوم‌علیه}\times\text{خارج‌قسمت}+\text{باقی‌مانده}$. این همان بازسازی مقدار اولیه در تقسیم عددی است. هم این رابطه باید برقرار باشد و هم شرط پایان تقسیم؛ درست‌بودن یکی به‌تنهایی کافی نیست.