حل تمرین صفحه ۹۹ ریاضی نهم

گام ۱: برای رسم هر خط، دو نقطه کافی است (نقطهٔ سوم برای کنترل). برای خط $y=-x+3$ جدول می‌سازیم:

گام ۲: نقطه‌های $\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}$، $\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$، $\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$ و $\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix}$ را روی دستگاه مختصات اول علامت می‌زنیم و با خط‌کش از آن‌ها خطی می‌گذرانیم. این خط محور $y$ها را در ۳ و محور $x$ها را در ۳ قطع می‌کند و از چپ به راست پایین می‌آید.

گام ۳: برای خط $y=\frac{3}{2}x$ مقدارهای زوج $x$ را انتخاب می‌کنیم تا $y$ عدد صحیح شود:

گام ۴: نقطه‌های $\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$، $\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}$، $\begin{bmatrix}4\\6\end{bmatrix}$ و $\begin{bmatrix}-2\\-3\end{bmatrix}$ را روی دستگاه مختصات دوم علامت می‌زنیم و از آن‌ها خطی می‌گذرانیم. این خط از مبدأ مختصات می‌گذرد و از چپ به راست بالا می‌رود. (هر ۲ واحد حرکت به راست، ۳ واحد بالا می‌رویم.)

گام ۱: برای اینکه بررسی کنیم خطی از مبدأ مختصات یعنی نقطهٔ $\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$ می‌گذرد، باید ببینیم مختصات مبدأ در معادلهٔ خط صدق می‌کند یا نه.

گام ۲: در معادلهٔ $y=3x$ به‌جای $x$ مقدار $0$ را قرار می‌دهیم:

گام ۳: پس وقتی $x=0$ است، $y=0$ می‌شود؛ یعنی نقطهٔ $\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$ در معادله صدق می‌کند و روی خط قرار دارد.

گام ۴: به‌طور کلی چون معادله به‌صورت $y=ax$ است (در اینجا $a=3$ و $b=0$)، با قرار دادن $x=0$ همیشه $y=0$ به‌دست می‌آید.

گام ۱: معادلهٔ $y=ax$ را در نظر می‌گیریم. برای بررسی اینکه خط از مبدأ می‌گذرد یا نه، مختصات مبدأ یعنی $x=0$ و $y=0$ را در معادله قرار می‌دهیم.

گام ۲: با قرار دادن $x=0$ داریم:

یعنی به‌ازای هر عدد $a$، وقتی $x=0$ باشد، $y=0$ می‌شود و نقطهٔ $\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$ همیشه روی خط قرار دارد.

گام ۳: برای نمونه در $y=3x$، $y=-x$ و $y=2x$ هم با قرار دادن $x=0$ مقدار $y=0$ به‌دست می‌آید. پس همهٔ این خط‌ها از مبدأ مختصات می‌گذرند.

گام ۱: در هر دو مورد، یکی از نقطه‌ها مبدأ مختصات $\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$ است. پس خط از مبدأ می‌گذرد و معادلهٔ آن به شکل $y=ax$ است.

گام ۲: الف) دو نقطهٔ $\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$ و $\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$ را روی دستگاه مختصات علامت می‌زنیم و با خط‌کش از آن‌ها خط می‌کشیم. این خط از ناحیهٔ دوم و چهارم می‌گذرد. در نقطهٔ $\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$ عرض نقطه قرینهٔ طول آن است، یعنی $y=-1\times x$.

گام ۳: ب) دو نقطهٔ $\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}$ و $\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$ را علامت می‌زنیم و از آن‌ها خط می‌کشیم. این خط از ناحیهٔ اول و سوم می‌گذرد. عرض نقطه یک‌سوم طول آن است، یعنی $1=a\times 3$ و در نتیجه $a=\frac{1}{3}$.

گام ۴: بررسی: در (الف) برای $x=1$ داریم $y=-1$ و در (ب) برای $x=3$ داریم $y=\frac{1}{3}\times 3=1$. هر دو معادله با نقطه‌های داده‌شده می‌خوانند.

گام ۱: ابتدا معادلهٔ هر خط را از فعالیت ۱ به‌دست می‌آوریم. خط‌ها از مبدأ می‌گذرند، پس معادلهٔ هر یک به شکل $y=ax$ است.

گام ۲: در قسمت (الف) نقطهٔ $\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$ روی خط است. عرض نقطه قرینهٔ طول آن است، پس $y=-x$.

گام ۳: برای یافتن نقطه‌های دیگر، به $x$ مقدار دلخواه می‌دهیم و $y=-x$ را حساب می‌کنیم:

• اگر $x=2$ باشد، $y=-2$ و نقطه $\begin{bmatrix}2\\-2\end{bmatrix}$ است.
• اگر $x=-3$ باشد، $y=3$ و نقطه $\begin{bmatrix}-3\\3\end{bmatrix}$ است.

گام ۴: در قسمت (ب) نقطهٔ $\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}$ روی خط است. عرض نقطه یک‌سوم طول آن است، پس $y=\frac{1}{3}x$.

گام ۵: حالا برای $x$ مقدار دلخواه می‌گذاریم و $y=\frac{1}{3}x$ را حساب می‌کنیم:

• اگر $x=6$ باشد، $y=2$ و نقطه $\begin{bmatrix}6\\2\end{bmatrix}$ است.
• اگر $x=-3$ باشد، $y=-1$ و نقطه $\begin{bmatrix}-3\\-1\end{bmatrix}$ است.

نقطه‌های دیگری هم می‌توان انتخاب کرد، به شرط آنکه در معادلهٔ خط صدق کنند.