حل تمرین صفحه ۸۹ ریاضی نهم

گام ۱: الف) اتحاد مزدوج: $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ با $A=\frac14$ و $B=x$:

گام ۲: ب) اتحاد جملهٔ مشترک: $(X+a)(X+b)=X^2+(a+b)X+ab$ با $X=5x$، $a=4$ و $b=3$:

گام ۳: ج) اتحاد مزدوج با $A=z$ و $B=\sqrt3$:

گام ۴: د) $3x+y$ را یک جمله بگیرید: $A=3x+y$ و $B=z$. آنگاه:

گام ۵: هـ) ابتدا دو پرانتز اول را با اتحاد مزدوج ضرب می‌کنیم، سپس دوباره از اتحاد مزدوج استفاده می‌کنیم:

گام ۶: و) ابتدا $(x-2)(x+2)=x^2-4$. سپس با اتحاد جملهٔ مشترک و $X=x^2$:

گام ۱: الف) از اتحاد مزدوج $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ با $A=xy$ و $B=z$ استفاده می‌کنیم:

گام ۲: ب) سمت راست $\frac14y^2=\left(\frac12y\right)^2$ است. پس عبارت اول $\frac12y$ است و طبق اتحاد مزدوج باید $B^2=(\sqrt5)^2=5$ را کم کنیم:

گام ۳: ج) از اتحاد جملهٔ مشترک با $b$ به‌جای $-b$ استفاده می‌کنیم:

گام ۴: د) فرض کنیم جای خالی اول $a$ باشد. مجموع $a$ و $-5$ باید برابر ضریب $x^2$ یعنی $2$ شود، پس $a-5=2$ و $a=7$. جای خالی دوم برابر $7\times5=35$ است:

گام ۱: برای $x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$ دو عدد می‌یابیم که حاصل‌ضربشان جملهٔ ثابت و مجموعشان ضریب $x$ باشد.

الف) حاصل‌ضرب $15$ و مجموع $-8$ است، پس اعداد $-3$ و $-5$ هستند: $(a-3)(a-5)$.
ج) حاصل‌ضرب $24$ و مجموع $10$ است، پس اعداد $4$ و $6$ هستند: $(x+4)(x+6)$.
د) حاصل‌ضرب $-8$ و مجموع $-2$ است، پس اعداد $-4$ و $2$ هستند: $(x-4)(x+2)$.
و) حاصل‌ضرب $36$ و مجموع $-13$ است، پس اعداد $-4$ و $-9$ هستند: $(x-4)(x-9)$.

گام ۲: عبارت‌هایی که مربع کامل‌اند:

ب) $x^2+x+\frac14=x^2+2\times\frac12\times x+\left(\frac12\right)^2=\left(x+\frac12\right)^2$

ز) $x^2-12x+36=x^2-2\times6\times x+6^2=(x-6)^2$

گام ۳: عبارت‌هایی که با اتحاد مزدوج تجزیه می‌شوند:

هـ) ابتدا $a$ را فاکتور می‌گیریم: $4ax^2-a=a(4x^2-1)=a(2x-1)(2x+1)$

ح) $(x+y)^2-3^2=(x+y-3)(x+y+3)$

گام ۴: عبارت‌هایی که چند اتحاد را با هم نیاز دارند:

ط) ابتدا $b$ را فاکتور می‌گیریم: $bx^2-5bx-50b=b(x^2-5x-50)$. حاصل‌ضرب $-50$ و مجموع $-5$ است، پس اعداد $-10$ و $5$ هستند: $b(x-10)(x+5)$.

ی) $x^4-5x^2+4=(x^2)^2-5x^2+4$. حاصل‌ضرب $4$ و مجموع $-5$ است، پس اعداد $-1$ و $-4$ هستند: $(x^2-1)(x^2-4)$. هر عامل را با اتحاد مزدوج تجزیه می‌کنیم: $(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$.

گام ۱: اتحاد جملهٔ مشترک این است:

گام ۲: اگر $a=b$ باشد، به‌جای $b$ همان $a$ را می‌گذاریم:

این همان اتحاد مربع دو جمله‌ای است.

گام ۳: اگر $a$ و $b$ قرینه باشند، یعنی $b=-a$، آنگاه $a+b=0$ و $ab=-a^2$. پس:

این همان اتحاد مزدوج است.

گام ۱: شکل مستطیلی به اضلاع $x+a$ و $x+b$ است. طول یک ضلع به دو قسمت $x$ و $a$ و طول ضلع دیگر به دو قسمت $x$ و $b$ تقسیم شده است. پس مساحت کل مستطیل برابر است با $(x+a)(x+b)$.

گام ۲: مستطیل به چهار مستطیل کوچک تقسیم می‌شود که مساحت‌هایشان به‌ترتیب این‌هاست:

• مربع $x\times x$ با مساحت $x^2$
• مستطیل $a\times x$ با مساحت $ax$
• مستطیل $x\times b$ با مساحت $bx$
• مستطیل $a\times b$ با مساحت $ab$

گام ۳: مساحت کل برابر مجموع مساحت‌های چهار قسمت است:

گام ۴: با فاکتورگیری از $x$ در دو جملهٔ میانی:

این همان اتحاد جملهٔ مشترک است.