حل تمرین صفحه ۸۷ ریاضی نهم

گام ۱: در اتحاد مزدوج $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$ باید یک جمله در دو پرانتز یکسان و جملهٔ دیگر قرینه باشد. پس ابتدا جمله‌ها را مرتب می‌کنیم.

گام ۲: مورد ۲: $(-y-2z)(-2z+y)=(-2z-y)(-2z+y)$. اینجا $A=-2z$ و $B=y$ است، پس حاصل $(-2z)^2-y^2=4z^2-y^2$ می‌شود. جای خالی اول $-2z$ و جای خالی دوم $y^2$ است.

گام ۳: مورد ۳: $(-7y+t)(t+7y)=(t-7y)(t+7y)$. اینجا $A=t$ و $B=7y$ است، پس حاصل $t^2-49y^2$ می‌شود.

گام ۴: مورد ۴: $(-4y-2z)(2z-4y)=(-4y-2z)(-4y+2z)$. اینجا $A=-4y$ و $B=2z$ است، پس حاصل $16y^2-4z^2$ می‌شود.

گام ۵: مورد ۵: $(x-2y+5)(x+2y-5)=[x-(2y-5)][x+(2y-5)]=x^2-(2y-5)^2$. حال $(2y-5)^2=4y^2-20y+25$ را جای‌گذاری می‌کنیم:

گام ۱: از اتحاد مزدوج استفاده می‌کنیم: $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$.

گام ۲: عبارت $x^2-9$ را به صورت اختلاف دو مربع می‌نویسیم: $x^2-9=x^2-3^2$. پس $A=x$ و $B=3$.

گام ۳: طبق اتحاد، $x^2-3^2=(x+3)(x-3)$. بنابراین در جای خالی، اول $x$ و بعد $3$ قرار می‌گیرد.

گام ۴: بررسی: $(x+3)(x-3)=x^2-3x+3x-9=x^2-9$ ✓

گام ۱: عبارت را به شکل $A^2-B^2$ می‌نویسیم. جمله‌ها را به‌صورت مربع کامل درمی‌آوریم:

گام ۲: پس $A=2y$ و $B=\frac{1}{2}z^2$ است. طبق اتحاد مزدوج $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$ داریم:

گام ۳: بررسی: $(2y)^2-\left(\frac{1}{2}z^2\right)^2=4y^2-\frac{1}{4}z^4$ که با عبارت اولیه برابر است.

گام ۱: عبارت به شکل $A^2-B^2$ است که در آن $A=2x+1$ و $B=y$ می‌باشد.

گام ۲: طبق اتحاد مزدوج داریم:

گام ۳: با جای‌گذاری $A$ و $B$:

گام ۴: در قالب داده‌شدهٔ کتاب، جای خالی اول (در کروشهٔ اول) برابر $y$ و جای خالی دوم (در کروشهٔ دوم) برابر $2x+1$ است:

گام ۱: عبارت $1-(3a+z)^2$ به شکل $A^2-B^2$ است که در آن $A=1$ و $B=3a+z$ است. طبق اتحاد مزدوج داریم:

گام ۲: پس جاهای خالی اول، عبارت $B$ یعنی $3a+z$ است:

گام ۳: پرانتز اول را ساده می‌کنیم؛ علامت منفی را در پرانتز توزیع می‌کنیم:

گام ۴: پرانتز دوم بدون تغییر است: $1+(3a+z)=1+3a+z$. بنابراین:

گام ۱: عبارت به شکل $A^2-B^2$ است که در آن $A=2x+1$ و $B=3x+4$ است.

گام ۲: طبق اتحاد مزدوج $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$ می‌نویسیم:

گام ۳: داخل کروشه‌ها را ساده می‌کنیم:
$(2x+1)-(3x+4)=2x+1-3x-4=-x-3$
$(2x+1)+(3x+4)=5x+5$

گام ۴: پس خط دوم به این صورت کامل می‌شود:

گام ۵: بررسی: برای $x=0$ سمت چپ $1-16=-15$ و سمت راست $(-3)(5)=-15$ است، پس جواب درست است.

گام ۱: عبارت $x^4-y^4$ را به صورت اختلاف مربعات می‌نویسیم: $x^4=(x^2)^2$ و $y^4=(y^2)^2$. پس با اتحاد مزدوج:

بنابراین جاهای خالی خط اول: $x^2$ و $y^2$.

گام ۲: عامل $x^2-y^2$ باز هم اختلاف مربعات است، پس دوباره اتحاد مزدوج را به کار می‌بریم:

گام ۳: در خط دوم داریم:

بنابراین جاهای خالی خط دوم: $x$ و $y$.

گام ۱: عبارت به شکل $A^2-B^2$ است، چون $4x^2=(2x)^2$. پس $A=2x$ و $B=7-3y$.

گام ۲: اتحاد مزدوج را به کار می‌بریم:

گام ۳: پرانتزهای داخلی را باز می‌کنیم. علامت منفی جلوی $(7-3y)$ علامت جمله‌ها را عوض می‌کند:

گام ۴: این همان تجزیهٔ محسن است، پس کار او درست است. برای بررسی، آن را به شکل $(2x+(3y-7))(2x-(3y-7))=4x^2-(3y-7)^2$ می‌نویسیم. چون $(3y-7)^2=(7-3y)^2$، به عبارت اولیه می‌رسیم. هر دو عامل درجهٔ اول هستند و تجزیه کامل است.