ریاضی نهم · فصل ۵: عبارت‌های جبری

حل تمرین صفحه ۸۵ ریاضی نهم

جواب گام‌به‌گام ۵ تمرین صفحهٔ ۸۵ کتاب ریاضی نهم (فصل ۵: عبارت‌های جبری)، پایهٔ نهم؛ ۱ بخش دیگر این صفحه هنوز جوابِ بررسی‌شده ندارد.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۱ آبان ۱۴۰۵

تمرین ۱

عبارت‌های جبری زیر را ساده کنید.

الف) $(-5m)^2(-2m)^3-(\frac{1}{2}m)^2(-2m)^3$

ب) $7a^3-4b^3+5c^3-(a^3-9b^3-11c^3)$

ج) $(x^m-1)(x^m-1)$

د) $x-[(y-x)-(y-1)]$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: الف) ابتدا توان‌ها را حساب می‌کنیم: $(-5m)^2=25m^2$ و $(-2m)^3=-8m^3$ و $(\frac{1}{2}m)^2=\frac{1}{4}m^2$ . پس:

25m^2\cdot(-8m^3)-\frac{1}{4}m^2\cdot(-8m^3)=-200m^5+2m^5=-198m^5

گام ۲: ب) پرانتز را باز می‌کنیم. چون پیش از پرانتز علامت منفی است، علامت همهٔ جمله‌های درون آن عوض می‌شود:

7a^3-4b^3+5c^3-a^3+9b^3+11c^3

حالا جمله‌های متشابه را جمع می‌کنیم:

(7-1)a^3+(-4+9)b^3+(5+11)c^3=6a^3+5b^3+16c^3

گام ۳: ج) این عبارت مربع یک دو جمله‌ای است: $(x^m-1)(x^m-1)=(x^m-1)^2$ . با اتحاد $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ داریم:

(x^m)^2-2x^m+1=x^{2m}-2x^m+1

گام ۴: د) ابتدا درون کروشه را ساده می‌کنیم:

(y-x)-(y-1)=y-x-y+1=-x+1

سپس:

x-(-x+1)=x+x-1=2x-1

جواب نهایی

الف) $-198m^5$
ب) $6a^3+5b^3+16c^3$
ج) $x^{2m}-2x^m+1$
د) $2x-1$

تمرین ۲

محیط و مساحت هر شکل را بیابید.

[شکل الف: $3m^2n$ (بالا)، $2m^2n$ (ضلع چپ بالا)، $2m^2n$ (ضلع راست بالا)، $3m^2n$ (ضلع چپ پایین)، $3m^2n$ (ضلع راست پایین)، $5m^2n$ (پایین)]

[شکل ب: $4xy$ (بالا)، $3xy$ (ضلع چپ)، $5xy$ (ضلع مایل)]

جواب این بخش هنوز بررسی نشده و این‌جا نیامده است. «حل با عکس» آن را گام‌به‌گام حل می‌کند.

حل با عکس، رایگان حل با عکس

تمرین ۳

طرف دیگر عبارت‌های زیر را با استفاده از اتحادها به‌دست آورید.

الف) $(5y-3x)^2=$

ب) $(-3a^2-a)^2=$

ج) $(8x-\frac{1}{3})^2=$

د) $(2.7)^2+2(2.7)(3.3)+(3.3)^2=$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: در بخش‌های (الف) تا (ج) از اتحاد مربع دو جمله‌ای استفاده می‌کنیم: $(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$ .

گام ۲: الف) $a=5y$ و $b=3x$ است:

(5y-3x)^2=(5y)^2-2(5y)(3x)+(3x)^2=25y^2-30xy+9x^2

گام ۳: ب) ابتدا عامل $-1$ را بیرون می‌آوریم: $(-3a^2-a)^2=(3a^2+a)^2$ . پس:

(3a^2)^2+2(3a^2)(a)+a^2=9a^4+6a^3+a^2

گام ۴: ج) $a=8x$ و $b=\frac13$ است:

(8x)^2-2(8x)\left(\frac13\right)+\left(\frac13\right)^2=64x^2-\frac{16}{3}x+\frac19

گام ۵: د) عبارت به شکل $a^2+2ab+b^2$ با $a=2.7$ و $b=3.3$ است، پس برابر $(a+b)^2$ می‌شود:

(2.7+3.3)^2=6^2=36

جواب نهایی

الف) $25y^2-30xy+9x^2$
ب) $9a^4+6a^3+a^2$
ج) $64x^2-\frac{16}{3}x+\frac19$
د) $36$

تمرین ۴

به کمک اتحاد مربع دو جمله‌ای، درستی تساوی‌های زیر را ثابت کنید.

الف) $(x+y)^2-(x-y)^2=4xy$

ب) $a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2-2 \quad (a\neq 0)$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: برای بخش (الف) از اتحادهای $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ و $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ استفاده می‌کنیم و طرف چپ را بسط می‌دهیم:

(x+y)^2-(x-y)^2=(x^2+2xy+y^2)-(x^2-2xy+y^2)

گام ۲: پرانتز دوم را با تغییر علامت باز می‌کنیم و جمله‌های مشابه را ساده می‌کنیم:

=x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2=4xy

پس طرف چپ با طرف راست برابر است. ✓

گام ۳: برای بخش (ب) از اتحاد مربع دو جمله‌ای برای $\left(a+\frac{1}{a}\right)^2$ استفاده می‌کنیم:

\left(a+\frac{1}{a}\right)^2=a^2+2\cdot a\cdot\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}

گام ۴: چون $a\cdot\frac{1}{a}=1$ (به شرط $a\neq 0$ )، داریم:

\left(a+\frac{1}{a}\right)^2=a^2+2+\frac{1}{a^2}

حال ۲ را از دو طرف کم می‌کنیم:

\left(a+\frac{1}{a}\right)^2-2=a^2+\frac{1}{a^2}

که همان تساوی خواسته‌شده است. ✓

جواب نهایی

الف) $(x+y)^2-(x-y)^2=4xy$ ثابت شد.
ب) $\left(a+\frac{1}{a}\right)^2-2=a^2+\frac{1}{a^2}$ ثابت شد.

تمرین ۵

عبارت‌های جبری زیر را تجزیه کنید.

الف) $2x^3+8x^2+8x$

ب) $3a^3b-12ab^3+a^3b^3$

ج) $a(x+1)+b(x+1)^2$

د) $a^3-2a^2+a$

هـ) $x^2y^2-4xy+4$

و) $25x^4+30x^3+9x^2$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: در هر عبارت ابتدا ب.م.م جمله‌ها را بیرون می‌آوریم. سپس اگر عبارت داخل پرانتز سه‌جمله‌ای مربع کامل بود، با اتحاد $a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$ آن را تجزیه می‌کنیم.

گام ۲: الف) ب.م.م برابر $2x$ است:

2x^3+8x^2+8x=2x(x^2+4x+4)=2x(x+2)^2

گام ۳: ب) ب.م.م برابر $ab$ است:

3a^3b-12ab^3+a^3b^3=ab(3a^2-12b^2+a^2b^2)

عبارت داخل پرانتز مربع کامل نیست و بیشتر تجزیه نمی‌شود.

گام ۴: ج) عامل مشترک $(x+1)$ است:

a(x+1)+b(x+1)^2=(x+1)\left[a+b(x+1)\right]=(x+1)(a+bx+b)

گام ۵: د) ب.م.م برابر $a$ است:

a^3-2a^2+a=a(a^2-2a+1)=a(a-1)^2

گام ۶: هـ) این عبارت مربع کامل است، چون $(xy)^2$ و $2(xy)(2)$ و $(2)^2$ را داریم:

x^2y^2-4xy+4=(xy-2)^2

و) ب.م.م برابر $x^2$ است. داخل پرانتز نیز $(5x)^2$ و $2(5x)(3)$ و $(3)^2$ را داریم:

25x^4+30x^3+9x^2=x^2(25x^2+30x+9)=x^2(5x+3)^2

جواب نهایی

الف) $2x(x+2)^2$
ب) $ab(3a^2-12b^2+a^2b^2)$
ج) $(x+1)(a+bx+b)$
د) $a(a-1)^2$
هـ) $(xy-2)^2$
و) $x^2(5x+3)^2$

تمرین ۶

با تبدیل $b$ به $-b$ در اتحاد $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ، طرف دوم تساوی زیر را کامل کنید.

$\underbrace{(a+(-b))^2}_{(a-b)^2}=$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: در اتحاد مربع دو جمله‌ای داریم:

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

گام ۲: به جای $b$ عبارت $-b$ را قرار می‌دهیم:

(a+(-b))^2=a^2+2a(-b)+(-b)^2

گام ۳: ساده می‌کنیم: $2a(-b)=-2ab$ و $(-b)^2=b^2$ . پس:

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

جواب نهایی

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

حل با عکس، رایگان حل با عکس

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

صفحهٔ ۸۵ ریاضی نهم

حل با عکس، رایگان

حل با عکس