ریاضی نهم · فصل ۴: توان و ریشه

حل تمرین صفحه ۷۶ ریاضی نهم

جواب گام‌به‌گام ۶ تمرین صفحهٔ ۷۶ کتاب ریاضی نهم (فصل ۴: توان و ریشه)، پایهٔ نهم.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۱ آبان ۱۴۰۵

کار در کلاس

مخرج کسرهای زیر را گویا کنید.

الف) $\frac{6}{\sqrt[3]{2}}$

ب) $\frac{2}{\sqrt{32}}$

ج) $\frac{12}{\sqrt{6}}$

د) $\frac{5}{\sqrt[3]{3x}}$ $(x \neq 0)$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: برای الف، مخرج $\sqrt[3]{2}$ است. برای رسیدن به $\sqrt[3]{2^3}=2$ صورت و مخرج را در $\sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]{4}$ ضرب می‌کنیم:

\frac{6}{\sqrt[3]{2}}\times\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}}=\frac{6\sqrt[3]{4}}{2}=3\sqrt[3]{4}

گام ۲: برای ب، ابتدا $\sqrt{32}=4\sqrt{2}$ را ساده می‌کنیم، سپس صورت و مخرج را در $\sqrt{2}$ ضرب می‌کنیم:

\frac{2}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}

گام ۳: برای ج، صورت و مخرج را در $\sqrt{6}$ ضرب می‌کنیم:

\frac{12}{\sqrt{6}}\times\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=\frac{12\sqrt{6}}{6}=2\sqrt{6}

گام ۴: برای د، برای رسیدن به $\sqrt[3]{27x^3}=3x$ صورت و مخرج را در $\sqrt[3]{9x^2}$ ضرب می‌کنیم:

\frac{5}{\sqrt[3]{3x}}\times\frac{\sqrt[3]{9x^2}}{\sqrt[3]{9x^2}}=\frac{5\sqrt[3]{9x^2}}{\sqrt[3]{27x^3}}=\frac{5\sqrt[3]{9x^2}}{3x}

جواب نهایی

الف) $3\sqrt[3]{4}$
ب) $\frac{\sqrt{2}}{4}$
ج) $2\sqrt{6}$
د) $\frac{5\sqrt[3]{9x^2}}{3x}$

تمرین ۱

عبارت‌های زیر را ساده کنید.

الف) $2\sqrt{50}+\sqrt{32}+2\sqrt{72}$

ب) $\sqrt{8}+\sqrt{128}-\sqrt{50}$

ج) $\sqrt[3]{27^2}$

د) $\sqrt[3]{\frac{-27}{64}}$

هـ) $(\sqrt{2}-\sqrt{5})(\sqrt{10}+\sqrt{2})$

و) $2\sqrt{48}-3\sqrt{27}$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: در رادیکال‌های فرجه دوم، عدد زیر رادیکال را به‌صورت حاصل‌ضرب یک مربع کامل در عددی دیگر می‌نویسیم تا جمله‌ها هم‌نوع شوند.

گام ۲: الف) داریم $2\sqrt{50}=2\times5\sqrt2=10\sqrt2$ و $\sqrt{32}=4\sqrt2$ و $2\sqrt{72}=2\times6\sqrt2=12\sqrt2$ . پس:

10\sqrt2+4\sqrt2+12\sqrt2=26\sqrt2

گام ۳: ب) داریم $\sqrt8=2\sqrt2$ و $\sqrt{128}=8\sqrt2$ و $\sqrt{50}=5\sqrt2$ . پس:

2\sqrt2+8\sqrt2-5\sqrt2=5\sqrt2

گام ۴: ج) چون $27=3^3$ ، داریم $27^2=3^6$ . پس:

\sqrt[3]{27^2}=\sqrt[3]{3^6}=3^2=9

د) چون $-27=(-3)^3$ و $64=4^3$ ، داریم:

\sqrt[3]{\frac{-27}{64}}=\frac{-3}{4}

گام ۵: هـ) عبارت را با خاصیت پخشی ضرب می‌کنیم:

\sqrt{20}+\sqrt{4}-\sqrt{50}-\sqrt{10}=2\sqrt5+2-5\sqrt2-\sqrt{10}

این جمله‌ها هم‌نوع نیستند، پس بیشتر ساده نمی‌شوند.

گام ۶: و) داریم $2\sqrt{48}=2\times4\sqrt3=8\sqrt3$ و $3\sqrt{27}=3\times3\sqrt3=9\sqrt3$ . پس:

8\sqrt3-9\sqrt3=-\sqrt3

جواب نهایی

الف) $26\sqrt2$
ب) $5\sqrt2$
ج) $9$
د) $-\dfrac{3}{4}$
هـ) $2\sqrt5+2-5\sqrt2-\sqrt{10}$
و) $-\sqrt3$

تمرین ۲

اگر $x<0$ باشد، حاصل عبارت مقابل را به‌دست آورید. $2\sqrt{x^2}-x$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: چون $x<0$ است، $\sqrt{x^2}=|x|=-x$ (زیرا قدرمطلق عدد منفی، قرینهٔ آن است).

گام ۲: در عبارت جای‌گذاری می‌کنیم:

2\sqrt{x^2}-x = 2(-x)-x

گام ۳: ساده می‌کنیم:

-2x-x=-3x

گام ۴: بررسی: برای $x=-1$ داریم $2\sqrt{1}-(-1)=2+1=3$ و $-3(-1)=3$ ✓.

جواب نهایی

$-3x$

تمرین ۳

محیط و مساحت مربعی به ضلع $3\sqrt{5}$ سانتی‌متر را به‌دست آورید.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: برای مربعی به ضلع $a$ داریم: محیط $=4a$ و مساحت $=a^2$ . اینجا $a=3\sqrt{5}$ سانتی‌متر است.

گام ۲: محیط را حساب می‌کنیم:

4\times 3\sqrt{5}=12\sqrt{5}\ \text{cm}

گام ۳: مساحت را حساب می‌کنیم:

(3\sqrt{5})^2=9\times 5=45\ \text{cm}^2

گام ۴: بررسی: $\sqrt{5}\approx 2/24$ ، پس ضلع $\approx 6/7$ ؛ محیط $\approx 26/8$ و مساحت $\approx 44/9$ که با $12\sqrt5\approx 26/83$ و $45$ سازگار است.

جواب نهایی

محیط $=12\sqrt{5}$ سانتی‌متر و مساحت $=45$ سانتی‌متر مربع

تمرین ۴

شکل مقابل یک مثلث متساوی‌الاضلاع را به ضلع $a$ نشان می‌دهد. اندازهٔ ارتفاع $h$ را برحسب $a$ به‌دست آورید؛ سپس مساحت آن‌را برحسب $a$ بنویسید.

[شکل: مثلث متساوی‌الاضلاع با ضلع‌های $a$ ، ارتفاع $h$ و قاعده‌ای که به دو قسمت $\frac{a}{2}$ و $\frac{a}{2}$ تقسیم شده است]

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: ارتفاع $h$ مثلث متساوی‌الاضلاع، قاعده را نصف می‌کند و مثلث قائم‌الزاویه‌ای می‌سازد که وتر آن $a$ و دو ضلع قائمه‌اش $h$ و $\frac{a}{2}$ است.

گام ۲: طبق رابطهٔ فیثاغورس:

h^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2=a^2

h^2=a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}

گام ۳: چون $h>0$ است:

h=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a

گام ۴: مساحت مثلث برابر است با $\frac{1}{2}\times$ قاعده $\times$ ارتفاع:

S=\frac{1}{2}\times a\times\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2

جواب نهایی

ارتفاع: $h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$ ؛ مساحت: $S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$

تمرین ۵

نقاط $M$ ، $N$ ، $P$ و $Q$ وسط‌های اضلاع مربع $ABCD$ هستند. اگر مساحت مربع $ABCD$ ، 100 مترمربع باشد، محیط مربع $MNPQ$ چقدر است؟

[شکل: مربع $ABCD$ با نقاط $M$ و $N$ و $P$ و $Q$ به‌عنوان وسط اضلاع و مربع $MNPQ$ درون آن]

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: مساحت مربع $ABCD$ برابر ۱۰۰ مترمربع است، پس طول ضلع آن $\sqrt{100}=10$ متر است.

گام ۲: نقاط $M$ ، $N$ ، $P$ و $Q$ وسط ضلع‌ها هستند، پس هر ضلع مربع بزرگ به دو قسمت ۵ متری تقسیم می‌شود.

گام ۳: هر ضلع مربع $MNPQ$ وتر مثلث قائم‌الزاویه‌ای است که دو ضلع قائمه‌اش ۵ و ۵ متر است:

MN=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}

گام ۴: محیط مربع $MNPQ$ چهار برابر ضلع آن است:

4\times 5\sqrt{2}=20\sqrt{2}

که تقریباً برابر $28/3$ متر است.

جواب نهایی

محیط مربع $MNPQ$ برابر $20\sqrt{2}$ متر (حدود $28/3$ متر) است.

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

حل با عکس، رایگان حل با عکس

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

صفحهٔ ۷۶ ریاضی نهم

حل با عکس، رایگان

حل با عکس