ریاضی نهم · فصل ۴: توان و ریشه

حل تمرین صفحه ۷۵ ریاضی نهم

جواب گام‌به‌گام ۶ تمرین صفحهٔ ۷۵ کتاب ریاضی نهم (فصل ۴: توان و ریشه)، پایهٔ نهم.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۱ آبان ۱۴۰۵

کار در کلاس، سؤال ۱

حاصل عبارت‌های زیر را ساده کنید.

$\sqrt{98}-\sqrt{50}+\sqrt{128}$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: هر رادیکال را به‌صورت ضرب یک مربع کامل در عددی ساده می‌نویسیم:

$\sqrt{98}=\sqrt{7^2\times 2}=7\sqrt{2}$

گام ۲: برای دو رادیکال دیگر:

$\sqrt{50}=\sqrt{5^2\times 2}=5\sqrt{2}$

$\sqrt{128}=\sqrt{8^2\times 2}=8\sqrt{2}$

گام ۳: حالا رادیکال‌های هم‌نوع را با هم جمع و تفریق می‌کنیم:

\sqrt{98}-\sqrt{50}+\sqrt{128}=7\sqrt{2}-5\sqrt{2}+8\sqrt{2}=(7-5+8)\sqrt{2}=10\sqrt{2}

جواب نهایی

1) $10\sqrt{2}$

کار در کلاس، سؤال ۲

$\sqrt{27}-\sqrt{12}-\sqrt{75}+\sqrt{48}$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: هر رادیکال را به صورت ضرب یک مربع کامل در عددی ساده می‌نویسیم:

$\sqrt{27}=\sqrt{3^2\times 3}=3\sqrt{3}$

$\sqrt{12}=\sqrt{2^2\times 3}=2\sqrt{3}$

گام ۲: ادامهٔ تبدیل‌ها:

$\sqrt{75}=\sqrt{5^2\times 3}=5\sqrt{3}$

$\sqrt{48}=\sqrt{4^2\times 3}=4\sqrt{3}$

گام ۳: حالا در عبارت جای‌گذاری می‌کنیم و چون رادیکال‌ها مشابه‌اند، ضریب‌ها را جمع و تفریق می‌کنیم:

3\sqrt{3}-2\sqrt{3}-5\sqrt{3}+4\sqrt{3}=(3-2-5+4)\sqrt{3}=0\times\sqrt{3}=0

جواب نهایی

2) $0$

کار در کلاس، سؤال ۳

$5\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{54}-4\sqrt[3]{128}$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: رادیکال‌های داخل عبارت را به شکل ضرب یک مکعب کامل در عددی دیگر می‌نویسیم تا هر سه جمله بر حسب $\sqrt[3]{2}$ درآیند.

گام ۲: $\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{3^3\times 2}=3\sqrt[3]{2}$

گام ۳: $\sqrt[3]{128}=\sqrt[3]{4^3\times 2}=4\sqrt[3]{2}$

گام ۴: این مقدارها را در عبارت جایگذاری می‌کنیم:

5\sqrt[3]{2}+3\times 3\sqrt[3]{2}-4\times 4\sqrt[3]{2}=5\sqrt[3]{2}+9\sqrt[3]{2}-16\sqrt[3]{2}

گام ۵: ضریب‌های رادیکال‌های هم‌نوع را جمع می‌کنیم: $(5+9-16)\sqrt[3]{2}=-2\sqrt[3]{2}$

جواب نهایی

3) $-2\sqrt[3]{2}$

کار در کلاس، سؤال ۴

$\sqrt{4+\frac{1}{81}+\frac{4}{9}}$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: عددهای زیر رادیکال را با مخرج مشترک ۸۱ جمع می‌کنیم:

4+\frac{1}{81}+\frac{4}{9}=\frac{324}{81}+\frac{1}{81}+\frac{36}{81}=\frac{361}{81}

گام ۲: صورت و مخرج مربع کامل‌اند: $361=19^2$ و $81=9^2$ . پس:

\sqrt{\frac{361}{81}}=\sqrt{\left(\frac{19}{9}\right)^2}=\frac{19}{9}

گام ۳: بررسی: $4+\frac{1}{81}+\frac{4}{9}=\left(2+\frac{1}{9}\right)^2$ است، چون $2\times2\times\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$ . بنابراین $2+\frac{1}{9}=\frac{19}{9}$ و پاسخ درست است.

جواب نهایی

4) $\frac{19}{9}$

کار در کلاس، سؤال ۵

$(\sqrt{2}+\sqrt{3})(3\sqrt{2}-\sqrt{3})$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: عبارت را مانند ضرب دو جمله‌ای‌ها (توزیع‌پذیری) باز می‌کنیم:

(\sqrt{2}+\sqrt{3})(3\sqrt{2}-\sqrt{3}) = \sqrt{2}\times 3\sqrt{2} - \sqrt{2}\times\sqrt{3} + \sqrt{3}\times 3\sqrt{2} - \sqrt{3}\times\sqrt{3}

گام ۲: هر ضرب را حساب می‌کنیم:

\sqrt{2}\times 3\sqrt{2} = 3\times 2 = 6 ,\qquad \sqrt{3}\times\sqrt{3} = 3

-\sqrt{2}\times\sqrt{3} = -\sqrt{6} ,\qquad 3\sqrt{3}\times\sqrt{2} = 3\sqrt{6}

گام ۳: جمله‌های مشابه را با هم جمع می‌کنیم:

6 - \sqrt{6} + 3\sqrt{6} - 3 = 3 + 2\sqrt{6}

جواب نهایی

5) $3+2\sqrt{6}$

فعالیت

توضیح دهید که مخرج هر یک از کسرهای زیر چگونه گویا شده است. هرجا لازم است، راه‌حل را کامل کنید.

الف) $\frac{5}{2\sqrt{3}}=\frac{5}{2\sqrt{3}}\times\frac{\ }{\ }=\frac{5\sqrt{3}}{6}$

ب) $\frac{2}{\sqrt[3]{5}}=\frac{2}{\sqrt[3]{5}}\times\frac{\sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5^2}}=\frac{\ }{5}$

ج) $\frac{4}{\sqrt{\frac{2}{3}}}=\frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\times\frac{\ }{\ }=\frac{\ }{\ }$

د) $\frac{2\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{2^2}}\times\frac{\ }{\ }=\frac{2\sqrt[3]{14}}{2}=\frac{\ }{\ }$

هـ) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}\times\frac{\ }{\ }=\frac{\sqrt{2x}}{x}$ $(x>0)$

و) $\frac{5}{\sqrt[3]{z^2}}\times\frac{\sqrt[3]{\ }}{\sqrt[3]{\ }}=\frac{\ }{\ }$ $(z\neq 0)$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: الف) برای گویا کردن مخرج $2\sqrt{3}$ ، صورت و مخرج را در $\sqrt{3}$ ضرب می‌کنیم:

\frac{5}{2\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{2\times 3}=\frac{5\sqrt{3}}{6}

گام ۲: ب) برای اینکه زیر رادیکال مخرج توان ۳ پیدا کند، $\sqrt[3]{5}\times\sqrt[3]{5^2}=\sqrt[3]{5^3}=5$ می‌شود. پس:

\frac{2}{\sqrt[3]{5}}\times\frac{\sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5^2}}=\frac{2\sqrt[3]{25}}{5}

گام ۳: ج) مخرج $\sqrt{2}$ است، پس در $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ ضرب می‌کنیم:

\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{6}}{2}=2\sqrt{6}

گام ۴: د) برای مخرج $\sqrt[3]{2^2}$ باید در $\sqrt[3]{2}$ ضرب کنیم تا مخرج $\sqrt[3]{2^3}=2$ شود:

\frac{2\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{2^2}}\times\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}=\frac{2\sqrt[3]{14}}{2}=\sqrt[3]{14}

گام ۵: هـ) صورت و مخرج را در $\sqrt{x}$ ضرب می‌کنیم (چون $x>0$ و $\sqrt{x}\times\sqrt{x}=x$ ):

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}\times\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{2x}}{x}

گام ۶: و) برای مخرج $\sqrt[3]{z^2}$ در $\sqrt[3]{z}$ ضرب می‌کنیم تا مخرج $\sqrt[3]{z^3}=z$ شود:

\frac{5}{\sqrt[3]{z^2}}\times\frac{\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{z}}=\frac{5\sqrt[3]{z}}{z}

جواب نهایی

الف) کسر ضرب‌شده: $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ و حاصل $\frac{5\sqrt{3}}{6}$
ب) $\frac{2\sqrt[3]{25}}{5}$
ج) کسر ضرب‌شده: $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ و حاصل $2\sqrt{6}$
د) کسر ضرب‌شده: $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}$ و حاصل $\sqrt[3]{14}$
هـ) کسر ضرب‌شده: $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$
و) کسر ضرب‌شده: $\frac{\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{z}}$ و حاصل $\frac{5\sqrt[3]{z}}{z}$

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

حل با عکس، رایگان حل با عکس

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

صفحهٔ ۷۵ ریاضی نهم

حل با عکس، رایگان

حل با عکس