حل تمرین صفحه ۶۷ ریاضی نهم

گام ۱ (الف): توان‌های هم‌نمای منفی را در هم ضرب می‌کنیم:

گام ۲ (الف): عبارت را ساده می‌کنیم:

گام ۳ (ب): صورت را حساب می‌کنیم:

گام ۴ (ب): مخرج را حساب می‌کنیم:

گام ۵ (ب): صورت را بر مخرج تقسیم می‌کنیم:

گام ۱: برای $10^{n}$ با $n$ منفی، ممیز را $|n|$ رقم به چپ می‌بریم. برای $n$ مثبت، ممیز را $n$ رقم به راست می‌بریم.

گام ۲: $1.02\times10^{-5}$: ممیز ۵ رقم به چپ می‌رود و حاصل $0.0000102$ می‌شود. عدد داده‌شده $0.00000102$ است که معادل $1.02\times10^{-6}$ است، پس نادرست است.

گام ۳: $5.9\times10^{-1}=0.59$ است، پس درست است.

گام ۴: $4.3\times10^{3}=4300$ است، پس درست است.

گام ۵: $7.004\times10^{-2}$: ممیز ۲ رقم به چپ می‌رود و حاصل $0.07004$ می‌شود، نه $0.7004$. پس نادرست است.

گام ۶: $6.18\times10^{7}$: ممیز ۷ رقم به راست می‌رود و حاصل $61800000$ می‌شود، پس درست است.

گام ۷: $8.2570\times10^{4}=82570$ است، پس درست است.

گام ۱: عدد ۶۹۵۰۰۰ را به صورت $a \times 10^n$ می‌نویسیم که در آن $1 \le a < 10$ است. برای این کار، ممیز را از سمت راست عدد (۶۹۵۰۰۰٫۰) به‌اندازه‌ای به چپ می‌بریم تا فقط یک رقم غیر صفر پیش از آن بماند.

گام ۲: ممیز باید ۵ رقم به چپ برود تا عدد $6.95$ به‌دست آید. پس توان ۱۰ برابر با ۵ است.

گام ۳: بررسی: $6.95 \times 10^5 = 695000$ ✓.

گام ۱: عدد داده‌شده $0/0000005$ است. برای نوشتن در نماد علمی باید عددی بین ۱ و ۱۰ (شامل ۱ و بدون ۱۰) به دست آوریم؛ پس ممیز را آن‌قدر به راست می‌بریم تا بعد از رقم ۵ قرار گیرد.

گام ۲: بعد از اعشار، شش صفر قبل از ۵ داریم و ممیز باید هفت جا به راست حرکت کند تا عدد $5$ به دست آید. چون عدد کوچک است، توان ۱۰ منفی می‌شود: $-7$.

گام ۳: بررسی: $5 \times 10^{-7} = \frac{5}{10\,000\,000} = 0/0000005$ ✓.

گام ۱: برای اینکه بفهمیم قطر خورشید چند برابر قطر زمین است، باید قطر خورشید را بر قطر زمین تقسیم کنیم:

گام ۲: عددهای ضریب و توان‌های ۱۰ را جدا می‌کنیم:

گام ۳: حاصل $\frac{1.4}{1.3} \approx 1.08$ است، پس:

گام ۴: بنابراین قطر خورشید تقریباً ۱۰۸ برابر قطر زمین است (می‌توان گفت حدود ۱۰۰ برابر).

گام ۱: در عبارت اول، ضرایب را جدا از توان‌های ۱۰ ضرب می‌کنیم:

عدد $8$ بین ۱ و ۱۰ است، پس این جواب همان نماد علمی است.

گام ۲: در عبارت دوم، ضرایب را بر هم تقسیم می‌کنیم و توان‌های ۱۰ را با تفریق توان‌ها ساده می‌کنیم:

گام ۳: عدد $0.5$ در بازهٔ $1\le a<10$ نیست. آن را به صورت $5\times10^{-1}$ می‌نویسیم:

گام ۱: دو عدد داده‌شده را می‌نویسیم:
فاصلهٔ مریخ: $9.17 \times 10^7$ و فاصلهٔ کیوان: $6.287 \times 10^8$ کیلومتر.

گام ۲: در نماد علمی، ابتدا توان ۱۰ را مقایسه می‌کنیم. عددی که توان بزرگ‌تری دارد، بزرگ‌تر است:

گام ۳: برای اطمینان، عددها را اعشاری می‌نویسیم:

پس $91700000 < 628700000$.

گام ۴: فاصلهٔ مریخ از زمین کمتر است، بنابراین مریخ به زمین نزدیک‌تر است.

گام ۱: نامساوی اول: $2.7\times10^{n}>0.02$. چون $0.02=2\times10^{-2}$، باید $2.7\times10^{n}>2\times10^{-2}$ باشد. برای $n=-2$ داریم $2.7\times10^{-2}=0.027>0.02$ که درست است. هر $n$ بزرگ‌تر هم درست است.

گام ۲: آزمایش چند مقدار برای نامساوی اول:

• $n=-2$: $0.027>0.02$ ✓
• $n=-1$: $0.27>0.02$ ✓
• $n=0$: $2.7>0.02$ ✓
• $n=-3$: $0.0027>0.02$ ✗

پس مثلاً $-2$، $-1$ و $0$ (یا هر عدد صحیح بزرگ‌تر یا مساوی $-2$) قابل قبول است.

گام ۳: نامساوی دوم: $0.03>0.003\times10^{n}$. دو طرف را بر $0.003$ تقسیم می‌کنیم: $10>10^{n}$، یعنی $n<1$ و در نتیجه $n\le 0$.

گام ۴: آزمایش چند مقدار برای نامساوی دوم:

• $n=0$: $0.003<0.03$ ✓
• $n=-1$: $0.0003<0.03$ ✓
• $n=-2$: $0.00003<0.03$ ✓
• $n=1$: $0.03>0.03$ ✗ (برابر است، پس درست نیست)

جواب‌های دیگر هم ممکن است، به شرط آنکه در شرط‌های بالا صدق کنند.

گام ۱: ابتدا عددهای با توان منفی و مثبت را جدا می‌کنیم. عددهایی که توان آن‌ها منفی است، از نظر مقدار بسیار کوچک‌اند (کمتر از ۱) و عدد $1.2 \times 10^6$ بسیار بزرگ (بیش از یک میلیون) است، پس بزرگ‌ترین عدد $1.2 \times 10^6$ است.

گام ۲: سه عدد دیگر را با توان یکسان می‌نویسیم، مثلاً $10^{-3}$:

$1.5 \times 10^{-2} = 15 \times 10^{-3}$

$3.7 \times 10^{-2} = 37 \times 10^{-3}$

$5.35 \times 10^{-3} = 5.35 \times 10^{-3}$

گام ۳: ضریب‌ها را مقایسه می‌کنیم: $5.35 < 15 < 37$، پس

$5.35 \times 10^{-3} < 1.5 \times 10^{-2} < 3.7 \times 10^{-2}$

گام ۴: با افزودن بزرگ‌ترین عدد، ترتیب نهایی از کوچک به بزرگ به دست می‌آید.