حل تمرین صفحه ۵۷ ریاضی نهم

گام ۱: دو شکل را متشابه می‌گوییم هرگاه زاویه‌های متناظرشان برابر و نسبت ضلع‌های متناظرشان برابر (نسبت تشابه) باشد.

گام ۲: اگر دو شکل همنهشت باشند، همهٔ زاویه‌های متناظر آن‌ها با هم برابر است و ضلع‌های متناظرشان نیز با هم برابرند.

گام ۳: پس نسبت هر دو ضلع متناظر برابر است با:

یعنی نسبت‌های ضلع‌های متناظر همه برابر و مساوی ۱ است. بنابراین دو شکل همنهشت، متشابه‌اند و نسبت تشابه آن‌ها ۱ است.

گام ۴: عکس این مطلب درست نیست: هر دو شکل متشابه لزوماً همنهشت نیستند (مثلاً دو مربع با ضلع‌های ۱ و ۲ متشابه‌اند ولی همنهشت نیستند).

گام ۱: دو شکل وقتی متشابه‌اند که زاویه‌های متناظرشان برابر و نسبت ضلع‌های متناظرشان برابر باشد.

گام ۲: در هر لوزی چهار ضلع با هم برابرند؛ پس اگر دو لوزی داشته باشیم، نسبت ضلع‌های متناظر آن‌ها همواره برابر است (مثلاً $\frac{a}{b}$ برای چهار ضلع).

گام ۳: اما زاویه‌ها در لوزی‌ها لزوماً برابر نیستند. مثلاً لوزی اول را مربع (زاویه‌ها $90^\circ$) و لوزی دوم را با زاویه‌های $60^\circ$ و $120^\circ$ در نظر می‌گیریم؛ هر دو ضلع $2$ دارند، ولی زاویه‌هایشان برابر نیست.

گام ۴: پس شرط برابری زاویه‌های متناظر برقرار نیست و این دو لوزی متشابه نیستند. بنابراین هر دو لوزی دلخواه لزوماً متشابه نیستند؛ فقط وقتی متشابه‌اند که زاویه‌هایشان برابر باشد.

گام ۱: مقیاس $1:200$ یعنی هر $1$ سانتی‌متر روی نقشه، برابر $200$ سانتی‌متر در اندازهٔ واقعی است.

گام ۲: نسبت فاصلهٔ روی نقشه به فاصلهٔ واقعی را برابر مقیاس می‌گذاریم و فاصلهٔ واقعی را $x$ می‌نامیم:

گام ۳: از تناسب داریم:

گام ۴: تبدیل به متر: $700\text{ cm}=7\text{ m}$.

گام ۵: بررسی: $\frac{3/5}{700}=\frac{1}{200}$ درست است.

گام ۱: دو شکل وقتی متشابه‌اند که زاویه‌های متناظرشان برابر و نسبت ضلع‌های متناظرشان برابر باشد.

گام ۲: هر مثلث متساوی‌الاضلاع سه زاویهٔ برابر دارد و مجموع زاویه‌ها $180^\circ$ است، پس هر زاویه $\frac{180^\circ}{3}=60^\circ$ است. بنابراین زاویه‌های متناظر دو مثلث متساوی‌الاضلاع با هم برابرند.

گام ۳: فرض کنیم ضلع یک مثلث $a$ و ضلع مثلث دیگر $b$ باشد. نسبت ضلع‌های متناظر برابر است با:

یعنی سه نسبت برابرند و نسبت تشابه $\frac{a}{b}$ است.

گام ۴: هر دو شرط تشابه (برابری زاویه‌های متناظر و تناسب ضلع‌های متناظر) برقرار است، پس هر دو مثلث متساوی‌الاضلاع با هم متشابه‌اند.

گام ۱: دو مثلث متشابه‌اند وقتی زاویه‌های متناظرشان برابر و نسبت ضلع‌های متناظرشان برابر باشد. پس باید ببینیم هر دو مثلث متساوی‌الساقین این شرایط را دارند یا نه.

گام ۲: مثلث متساوی‌الساقین فقط دو ضلع (و دو زاویهٔ مجاور قاعده) برابر دارد و اندازهٔ زاویهٔ رأس می‌تواند هر مقداری باشد. مثلاً مثلث اول را با زاویه‌های $50^\circ$، $50^\circ$ و $80^\circ$ و مثلث دوم را با زاویه‌های $70^\circ$، $70^\circ$ و $40^\circ$ در نظر می‌گیریم؛ هر دو متساوی‌الساقین‌اند.

گام ۳: زاویه‌های این دو مثلث با هم برابر نیستند. مثلاً مثلث اول زاویهٔ $80^\circ$ دارد ولی مثلث دوم ندارد. پس این دو مثلث متشابه نیستند.

گام ۴: با مثال نقض ثابت شد که هر دو مثلث متساوی‌الساقین لزوماً متشابه نیستند. (فقط اگر زاویهٔ رأس دو مثلث برابر باشد، متشابه می‌شوند.)

گام ۱: چون اندازهٔ ضلع‌ها از کوچک به بزرگ نوشته شده‌اند، ضلع‌های متناظر عبارت‌اند از $4 \leftrightarrow x-1$، $5 \leftrightarrow 10$ و $8 \leftrightarrow x+7$.

گام ۲: نسبت تشابه را از ضلع‌های معلوم به دست می‌آوریم:

گام ۳: نسبت ضلع‌های متناظر دیگر هم باید ۲ باشد:

گام ۴: درستی را با ضلع سوم بررسی می‌کنیم:

ضلع‌های مثلث $DEF$ برابر ۸ و ۱۰ و ۱۶ می‌شوند که ترتیب کوچک به بزرگ را دارند. پس $x=9$ درست است.