حل تمرین صفحه ۵۱ ریاضی نهم

گام ۱: در شکل، وترهای $AB$ و $CD$ از یک دایره‌اند و فرض مسئله $AB=CD$ است.

گام ۲: در «فعالیت ۱» همین صفحه نشان دادیم که در یک دایره، دو وتر برابر، کمان‌های نظیر خود را هم برابر می‌کنند. این کار با هم‌نهشتی مثلث‌ها انجام شد.

گام ۳: طبق همین نتیجهٔ کتاب، از $AB=CD$ نتیجه می‌شود:

گام ۱: نقطه‌های A، B، C، D به همین ترتیب روی دایره قرار دارند و AC و BD وترهای شکل‌اند. پس کمان $\widehat{BC}$ بین دو کمان $\widehat{AB}$ و $\widehat{CD}$ قرار می‌گیرد.

گام ۲: از قسمت ۱ داریم $\widehat{AB}=\widehat{CD}$. کمان $\widehat{BC}$ هم با خودش برابر است. اگر دو طرف را با کمان مشترک $\widehat{BC}$ جمع کنیم، تساوی حفظ می‌شود:

گام ۳: سمت چپ برابر است با $\widehat{AB}+\widehat{BC}=\widehat{AC}$ و سمت راست برابر است با $\widehat{CD}+\widehat{BC}=\widehat{BD}$. پس:

گام ۱: در بند ۲ به دست آوردیم که $\widehat{AB}+\widehat{BC}=\widehat{CD}+\widehat{BC}$. نقاط روی دایره به ترتیب $A$، $B$، $C$، $D$ قرار دارند.

گام ۲: پس $\widehat{AB}+\widehat{BC}=\widehat{AC}$ و $\widehat{CD}+\widehat{BC}=\widehat{BD}$. بنابراین:

گام ۳: طبق قاعدهٔ درس، در یک دایره اگر دو کمان برابر باشند، وترهای نظیر آنها نیز برابرند. کمان‌های $\widehat{AC}$ و $\widehat{BD}$ برابرند، پس وترهای نظیرشان یعنی $AC$ و $BD$ هم برابرند:

گام ۱: فرض: مثلث $ABC$ متساوی‌الساقین است ($AB=AC$) و $BM=NC$. حکم: $AM=AN$ (تا مثلث $AMN$ متساوی‌الساقین شود).

گام ۲: چون $AB=AC$، زاویه‌های قاعده برابرند: $\hat{B}=\hat{C}$.

گام ۳: دو مثلث $ABM$ و $ACN$ را در نظر می‌گیریم:

گام ۴: از تساوی اجزای متناظر دو مثلث هم‌نهشت نتیجه می‌شود $AM=AN$. پس مثلث $AMN$ دو ضلع مساوی دارد و متساوی‌الساقین است.