حل تمرین صفحه ۴۸ ریاضی نهم

گام ۱: متوازی‌الاضلاع $ABCD$ را در نظر می‌گیریم که قطرهای $AC$ و $BD$ در نقطهٔ $O$ یکدیگر را قطع کرده‌اند. می‌خواهیم نشان دهیم $OA=OC$ و $OB=OD$. برای این کار هم‌نهشتی دو مثلث $OAB$ و $OCD$ را ثابت می‌کنیم.

گام ۲: چون $AB \parallel CD$ و $AC$ مورب است، زاویه‌های برابر داریم: $\hat{A}_1=\hat{C}_1$ (یعنی $\widehat{OAB}=\widehat{OCD}$). همچنین چون $AB \parallel CD$ و $BD$ مورب است: $\hat{B}_1=\hat{D}_1$ (یعنی $\widehat{OBA}=\widehat{ODC}$).

گام ۳: در متوازی‌الاضلاع ضلع‌های روبه‌رو برابرند (درس همین صفحه): $AB=CD$.

گام ۴: پس در مثلث‌های $OAB$ و $OCD$ داریم:

گام ۵: از هم‌نهشتی دو مثلث، ضلع‌های متناظر برابرند: ضلع روبه‌رو به زاویهٔ $\widehat{OBA}$ برابر است با ضلع روبه‌رو به زاویهٔ $\widehat{ODC}$، یعنی $OA=OC$؛ و ضلع روبه‌رو به $\widehat{OAB}$ برابر است با ضلع روبه‌رو به $\widehat{OCD}$، یعنی $OB=OD$. پس قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند.

گام ۱: مستطیل $ABCD$ را در نظر می‌گیریم و قطرهای $AC$ و $BD$ را رسم می‌کنیم. باید ثابت کنیم $AC = BD$.

گام ۲: دو مثلث $ABC$ و $DCB$ را در نظر می‌گیریم. این دو مثلث، قطرها را به‌عنوان ضلع دارند.

گام ۳: چون مستطیل نوعی متوازی‌الاضلاع است، ضلع‌های روبه‌رو برابرند: $AB = DC$.

گام ۴: ضلع $BC$ در هر دو مثلث مشترک است: $BC = CB$.

گام ۵: زاویه‌های مستطیل قائمه‌اند، پس $\hat{B} = \hat{C} = 90^\circ$. بنابراین دو مثلث به حالت (ض ز ض) هم‌نهشت‌اند:

گام ۶: در مثلث‌های هم‌نهشت، ضلع‌های متناظر برابرند. ضلع $AC$ مقابل زاویهٔ $\hat{B}$ در مثلث اول است و ضلع $DB$ مقابل زاویهٔ $\hat{C}$ در مثلث دوم. پس $AC = BD$.

گام ۱: در مثلث متساوی‌الساقین $ABC$ داریم $AB = AC$. چون $AM$ میانه است، $M$ وسط $BC$ است، پس $BM = CM$. ضلع $AM$ هم در هر دو مثلث $AMB$ و $AMC$ مشترک است.

گام ۲: در دو مثلث $AMB$ و $AMC$ سه ضلع نظیر برابرند:

پس مثلث‌ها به حالت (ض ض ض) هم‌نهشت‌اند: $\triangle AMB \cong \triangle AMC$.

گام ۳: از هم‌نهشتی دو مثلث، زاویه‌های نظیر برابرند: $\hat{A}_1 = \hat{A}_2$ (یعنی $B\hat{A}M = C\hat{A}M$). چون $AM$ زاویهٔ $\hat{A}$ را به دو زاویهٔ برابر تقسیم می‌کند، نیم‌ساز زاویهٔ $\hat{A}$ است.

گام ۴: از هم‌نهشتی همچنین $\hat{M}_1 = \hat{M}_2$ است (یعنی $A\hat{M}B = A\hat{M}C$). این دو زاویه مجاورند و روی خط $BC$ کنار هم قرار دارند، پس مجموع آن‌ها $180^\circ$ است:

بنابراین $AM \perp BC$.

گام ۱: دایره‌ای به مرکز $O$ رسم می‌کنیم و از نقطهٔ $M$ بیرون دایره دو مماس $MA$ و $MB$ را رسم می‌کنیم ($A$ و $B$ نقاط تماس‌اند). مطابق راهنمایی، $O$ را به $M$، $A$ و $B$ وصل می‌کنیم تا دو مثلث $OAM$ و $OBM$ پدید آیند.

گام ۲: شعاع بر مماس در نقطهٔ تماس عمود است؛ پس

یعنی دو مثلث $OAM$ و $OBM$ قائم‌الزاویه‌اند.

گام ۳: مقایسهٔ اضلاع دو مثلث قائم‌الزاویه:

• $OA = OB$ (هر دو شعاع دایره‌اند)
• $OM = OM$ (ضلع مشترک، و وتر هر دو مثلث)
• $\hat{A}=\hat{B}=90^\circ$

پس دو مثلث به حالت «وتر و یک ضلع زاویهٔ قائمه» (در قائم‌الزاویه‌ها) هم‌نهشت‌اند:

(اگر بخواهیم فقط از حالت‌های ض ض ض استفاده کنیم: با قضیهٔ فیثاغورس داریم $MA^2 = OM^2 - OA^2$ و $MB^2 = OM^2 - OB^2$، و چون $OA=OB$ نتیجه می‌شود $MA^2=MB^2$.)

گام ۴: از هم‌نهشتی دو مثلث، ضلع‌های متناظر برابرند:

پس اندازهٔ دو مماس رسم‌شده از یک نقطهٔ خارج دایره برابر است.