حل تمرین صفحه ۴۶ ریاضی نهم

گام ۱: در لوزی چهار ضلع با هم برابرند، پس $AD = AB = BC = CD$.

گام ۲: $N$ وسط $BC$ و $M$ وسط $CD$ است. بنابراین $BN=\dfrac{BC}{2}$ و $DM=\dfrac{CD}{2}$.

گام ۳: چون $BC=CD$، نصف‌هایشان هم برابرند: $DM = \dfrac{CD}{2} = \dfrac{BC}{2} = BN$.

گام ۴: در لوزی زاویه‌های روبه‌رو برابرند: $\hat{A}=\hat{C}$ و $\hat{B}=\hat{D}$.

گام ۵: حالا جاهای خالی را پر می‌کنیم:

از این تساوی‌ها، برای دو مثلث $ADM$ و $ABN$ داریم: $AD=AB$ و $\hat{D}=\hat{B}$ و $DM=BN$. این‌ها در قسمت بعد برای اثبات هم‌نهشتی به کار می‌روند.

گام ۱: چون $ABCD$ لوزی است، هر چهار ضلع آن برابرند: $AD=AB=BC=CD$.

گام ۲: $M$ وسط $CD$ و $N$ وسط $CB$ است، پس $DM=\dfrac{CD}{2}$ و $BN=\dfrac{CB}{2}$. چون $CD=CB$، نتیجه می‌شود $DM=BN$.

گام ۳: در لوزی (که متوازی‌الاضلاع است) زاویه‌های روبه‌رو برابرند، پس $\hat{D}=\hat{B}$. این زاویه‌ها در دو مثلث، بین دو ضلع برابر قرار دارند: $\hat D$ بین $AD$ و $DM$، و $\hat B$ بین $AB$ و $BN$.

گام ۴: در دو مثلث $ADM$ و $ABN$ داریم:

گام ۱: هم‌نهشتی را با ترتیب رأس‌ها می‌خوانیم: $\overset{\triangle}{ADM}\cong\overset{\triangle}{ABN}$. پس رأس‌های متناظر این‌هاست: $A\leftrightarrow A$ ، $D\leftrightarrow B$ ، $M\leftrightarrow N$.

گام ۲: ضلع‌های متناظر (روبه‌روی زاویه‌های برابر) برابرند:

دو تساوی اول از فرض‌ها (ضلع‌های لوزی و نصف ضلع‌های برابر) آمده‌اند. تساوی $AM=AN$ نتیجهٔ هم‌نهشتی است.

گام ۳: زاویه‌های متناظر نیز برابرند:

تساوی $\hat D=\hat B$ از فرض (زاویه‌های روبه‌رو در لوزی) آمده است. دو تساوی دیگر نتیجهٔ هم‌نهشتی‌اند.