۱۰۰ هزار تومان هدیهٔ ثبت‌نام، تا ۱ میلیونبا ثبت‌نام گردونهٔ هدیه را بچرخان: دست‌کم ۱۰۰٬۰۰۰ تومان و تا ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تومان اعتبار هدیه، بدون کارت بانکیگردونهٔ هدیه۱ میلیون برای تو، ۱ میلیون برای دوستتدوستانت را دعوت کن: برای هر دوستی که فعال شود ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تومان اعتبار هدیه می‌گیری و خودش هم ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تومانجوایز
1xAi
ریاضی نهم · فصل ۳: استدلال و اثبات در هندسه

حل تمرین صفحه ۴۳ ریاضی نهم

جواب گام‌به‌گام ۲ تمرین صفحهٔ ۴۳ کتاب ریاضی نهم (فصل ۳: استدلال و اثبات در هندسه)، پایهٔ نهم.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۱ آبان ۱۴۰۵

تمرین ۳

ادامه از صفحهٔ ۴۲

آیا استدلال‌های زیر درست است؟ پاسخ خود را توضیح دهید.

الف)

هر مستطیل یک متوازی‌الاضلاع است.چهارضلعی ABCD متوازی‌الاضلاع است.}⇐ABCD مستطیل است.\left.\begin{array}{l} \text{هر مستطیل یک متوازی‌الاضلاع است.} \\ \text{چهارضلعی } ABCD \text{ متوازی‌الاضلاع است.} \end{array}\right\} \Leftarrow ABCD \text{ مستطیل است.}

ب)

در هر مربع، ضلع‌ها با هم برابرند.ABCD مربع نیست.}⇐همهٔ ضلع‌های ABCD، با هم برابر نیستند.\left.\begin{array}{l} \text{در هر مربع، ضلع‌ها با هم برابرند.} \\ ABCD \text{ مربع نیست.} \end{array}\right\} \Leftarrow \text{همهٔ ضلع‌های } ABCD \text{، با هم برابر نیستند.}

ج)

در هر مربع، ضلع‌ها با هم برابرند.در چهارضلعی ABCD ضلع‌ها برابر نیستند.}⇐ABCD مربع نیست.\left.\begin{array}{l} \text{در هر مربع، ضلع‌ها با هم برابرند.} \\ \text{در چهارضلعی } ABCD \text{ ضلع‌ها برابر نیستند.} \end{array}\right\} \Leftarrow ABCD \text{ مربع نیست.}

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: در هر سه قسمت باید ببینیم نتیجه حتماً از دو مقدمه به دست می‌آید یا نه. برای رد یک استدلال، یک مثال نقض کافی است.

گام ۲ (الف): مقدمه می‌گوید «هر مستطیل متوازی‌الاضلاع است»، یعنی مستطیل بودن، متوازی‌الاضلاع بودن را نتیجه می‌دهد. عکس این جمله لزوماً درست نیست. ABCD متوازی‌الاضلاع است، اما می‌تواند مستطیل نباشد؛ مثلاً لوزی یا متوازی‌الاضلاعی با زاویه‌های غیرقائمه. پس استدلال نادرست است.

گام ۳ (ب): مقدمه می‌گوید «هر مربع ضلع‌های برابر دارد». این جمله نمی‌گوید فقط مربع‌ها ضلع‌های برابر دارند. مربع نبودن ABCD نتیجه نمی‌دهد که ضلع‌هایش برابر نیستند. مثال نقض: لوزی که زاویه‌هایش قائمه نیست مربع نیست، ولی چهار ضلع آن برابرند. پس استدلال نادرست است.

گام ۴ (ج): هر مربع ضلع‌های برابر دارد. اگر ضلع‌های ABCD برابر نباشند، ABCD نمی‌تواند مربع باشد، چون اگر مربع بود ضلع‌هایش برابر می‌شد و این با فرض در تناقض است. پس استدلال درست است.

جواب نهایی

الف) نادرست است؛ متوازی‌الاضلاع بودن مستلزم مستطیل بودن نیست (مثال نقض: لوزی غیرمستطیل).
ب) نادرست است؛ مربع نبودن مستلزم نابرابر بودن ضلع‌ها نیست (مثال نقض: لوزی غیرمربع).
ج) درست است؛ چون اگر ABCD مربع بود، ضلع‌هایش برابر می‌شد.

تمرین ۴

ادامه از صفحهٔ ۴۲

ثابت کنید هر نقطه که روی نیمساز زاویه قرار دارد، از دو ضلع زاویه به یک فاصله است.

یادآوری: فاصلهٔ یک نقطه از یک خط برابر است با طول پاره‌خطی که از آن نقطه بر خط عمود می‌شود.

راهنمایی: یک زاویهٔ دلخواه بکشید و نیمساز آن را رسم، و یک نقطه روی این نیمساز مشخص کنید. ثابت کنید فاصلهٔ این نقطه از دو ضلع زاویه با هم برابر است و سپس دلیل آن‌را که این نتیجه برای همهٔ نقاطِ روی نیمساز درست است، بیان کنید.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: زاویهٔ دلخواه xOy^\widehat{xOy} را می‌کشیم و نیمساز آن، OzOz، را رسم می‌کنیم؛ پس O^1=O^2\hat{O}_1=\hat{O}_2. نقطهٔ دلخواه MM را روی نیمساز (غیر از OO) می‌گیریم. از MM بر ضلع OxOx عمود MHMH و بر ضلع OyOy عمود MKMK را رسم می‌کنیم. طبق یادآوری، MHMH و MKMK فاصلهٔ MM از دو ضلع زاویه‌اند و باید ثابت کنیم MH=MKMH=MK.

گام ۲: دو مثلث OHMOHM و OKMOKM را مقایسه می‌کنیم:

  • O^1=O^2\hat{O}_1=\hat{O}_2 (چون OzOz نیمساز است)
  • H^=K^=90∘\hat{H}=\hat{K}=90^\circ (چون MHMH و MKMK عمودند)

گام ۳: مجموع زاویه‌های هر مثلث 180∘180^\circ است، پس زاویهٔ سوم دو مثلث هم برابر است:

OMH^=180∘−90∘−O^1=180∘−90∘−O^2=OMK^\widehat{OMH}=180^\circ-90^\circ-\hat{O}_1=180^\circ-90^\circ-\hat{O}_2=\widehat{OMK}

گام ۴: ضلع OMOM در دو مثلث مشترک است. پس دو مثلث طبق حالت (زاویه، ضلع، زاویه) هم‌نهشت‌اند:

△OHM≅△OKM\triangle OHM\cong\triangle OKM

در مثلث‌های هم‌نهشت، ضلع‌های روبه‌رو به زاویه‌های برابر با هم برابرند. ضلع‌های MHMH و MKMK روبه‌روی زاویه‌های برابر O^1\hat{O}_1 و O^2\hat{O}_2 هستند، پس MH=MKMH=MK.

گام ۵: چرا برای همهٔ نقاط نیمساز درست است؟ در استدلال، زاویه و نقطهٔ MM کاملاً دلخواه بودند و فقط از نیمساز بودن OMOM و عمودها استفاده کردیم. پس همین استدلال برای هر زاویه و هر نقطهٔ روی نیمساز آن تکرار می‌شود. اگر M=OM=O باشد، فاصلهٔ آن از دو ضلع صفر و برابر است.

جواب نهایی

4) هر نقطهٔ MM روی نیمساز، با هم‌نهشتی دو مثلث OHMOHM و OKMOKM (ز ض ز)، از دو ضلع زاویه به یک فاصله است: MH=MKMH=MK. چون زاویه و نقطه دلخواه بودند، این نتیجه برای همهٔ نقاط نیمساز درست است.

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

حل با عکس، رایگانحل با عکس

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

صفحهٔ ۴۳ ریاضی نهم

حل با عکس، رایگان
حل با عکس