۱۰۰ هزار تومان هدیهٔ ثبت‌نام، تا ۱ میلیونبا ثبت‌نام گردونهٔ هدیه را بچرخان: دست‌کم ۱۰۰٬۰۰۰ تومان و تا ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تومان اعتبار هدیه، بدون کارت بانکیگردونهٔ هدیه۱ میلیون برای تو، ۱ میلیون برای دوستتدوستانت را دعوت کن: برای هر دوستی که فعال شود ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تومان اعتبار هدیه می‌گیری و خودش هم ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تومانجوایز
1xAi
ریاضی نهم · فصل ۳: استدلال و اثبات در هندسه

حل تمرین صفحه ۴۲ ریاضی نهم

جواب گام‌به‌گام ۱ تمرین صفحهٔ ۴۲ کتاب ریاضی نهم (فصل ۳: استدلال و اثبات در هندسه)، پایهٔ نهم؛ ۱ بخش دیگر این صفحه هنوز جوابِ بررسی‌شده ندارد.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۱ آبان ۱۴۰۵

تمرین ۱

آیا اثبات مسئلهٔ زیر معتبر است؟ برای پاسخ خود دلیل بیاورید.

مسئله: در هر مثلث، اندازهٔ زاویهٔ خارجی با مجموع اندازه‌های دو زاویهٔ داخلی غیرمجاور با آن برابر است.

اثبات: مثلث متساوی‌الاضلاع ABCABC را در نظر می‌گیریم. می‌دانیم که مجموع زوایای داخلی هر مثلث 180∘180^\circ است و زوایای A^1\hat{A}_1 و B^\hat{B} و C^\hat{C} هر کدام 60∘60^\circ است؛ بنابراین

[شکل: مثلث ABC با زاویه‌های ۱ و ۲ در رأس A]

A^1+A^2=180∘→A^2=180∘−A^1=180∘−60∘=120∘\hat{A}_1+\hat{A}_2=180^\circ \rightarrow \hat{A}_2=180^\circ-\hat{A}_1=180^\circ-60^\circ=120^\circ
B^+C^=60∘+60∘=120∘}⇒A^2=B^+C^\left.\begin{array}{l} \hat{B}+\hat{C}=60^\circ+60^\circ=120^\circ \end{array}\right\} \Rightarrow \hat{A}_2=\hat{B}+\hat{C}

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: در این اثبات فقط یک مثلث خاص، یعنی مثلث متساوی‌الاضلاع، بررسی شده است؛ در آن هر زاویهٔ داخلی 60∘60^\circ است و زاویهٔ خارجی 120∘120^\circ می‌شود.

گام ۲: مسئله دربارهٔ هر مثلث دلخواه است. برقرار بودن یک حکم در یک حالت خاص (یا چند حالت خاص) دلیل نمی‌شود که برای همهٔ مثلث‌ها هم درست باشد. مثلاً در مثلث متساوی‌الاضلاع زاویه‌های BB و CC برابرند و این ویژگی در مثلث‌های دیگر وجود ندارد. پس این اثبات معتبر نیست، هرچند حکم در واقع درست است.

گام ۳: اثبات درست: مثلث دلخواه ABCABC را در نظر می‌گیریم و زاویهٔ خارجی را در رأس AA با A^2\hat{A}_2 نشان می‌دهیم. می‌دانیم مجموع زاویه‌های داخلی هر مثلث 180∘180^\circ است و زاویه‌های A^1\hat{A}_1 و A^2\hat{A}_2 روی یک خط راست‌اند:

A^1+B^+C^=180∘A^1+A^2=180∘}⇒A^1+B^+C^=A^1+A^2⇒A^2=B^+C^\left.\begin{array}{l}\hat{A}_1+\hat{B}+\hat{C}=180^\circ\\ \hat{A}_1+\hat{A}_2=180^\circ\end{array}\right\}\Rightarrow \hat{A}_1+\hat{B}+\hat{C}=\hat{A}_1+\hat{A}_2\Rightarrow \hat{A}_2=\hat{B}+\hat{C}

این استدلال برای هر مثلثی برقرار است.

جواب نهایی

1) خیر، اثبات معتبر نیست؛ چون فقط برای مثلث متساوی‌الاضلاع (یک حالت خاص) انجام شده و برای مثلث دلخواه نیست. اثبات درست: از A^1+B^+C^=180∘\hat{A}_1+\hat{B}+\hat{C}=180^\circ و A^1+A^2=180∘\hat{A}_1+\hat{A}_2=180^\circ نتیجه می‌شود A^2=B^+C^\hat{A}_2=\hat{B}+\hat{C}.

تمرین ۲

در سال گذشته با تعریف چندضلعی‌های محدب آشنا شدید. تعریف چندضلعی محدب را می‌توان بدین صورت هم آورد: «یک چندضلعی محدب است؛ اگر هر پاره‌خطی که دو نقطهٔ دلخواهِ درون آن چندضلعی را به‌هم وصل می‌کند، به‌طور کامل درون آن چندضلعی قرار بگیرد.» هر چندضلعی که محدب نباشد، مقعر است. آیا تشخیص‌های سه دانش‌آموز در مورد محدب و مقعر بودن چندضلعی‌های زیر و دلایلی که ارائه کرده‌اند، با توجه به تعریف بالا درست است؟ پاسخ خود را توضیح دهید.
[شکل: چندضلعی با نقاط P و Q]

نرگس: چندضلعی مقابل محدب نیست؛ زیرا نقاط PP و QQ درون آن قرار دارد اما پاره‌خطی که آن‌ها را به‌هم وصل می‌کند، به‌طور کامل در آن قرار نمی‌گیرد.

[شکل: چندضلعی با نقاط S و T]

مهدیه: چندضلعی مقابل محدب است؛ زیرا نقاط TT و SS درون آن قرار دارد و پاره‌خطی که آن‌ها را به‌هم وصل می‌کند، نیز به‌طور کامل در آن قرار دارد.

[شکل: چندضلعی با نقاط N و M]

مریم: چندضلعی مقابل محدب است؛ زیرا نقاط MM و NN درون آن قرار دارد و پاره‌خطی که آن‌ها را به‌هم وصل می‌کند، نیز به‌طور کامل در آن قرار دارد.

جواب این بخش هنوز بررسی نشده و این‌جا نیامده است. «حل با عکس» آن را گام‌به‌گام حل می‌کند.

حل با عکس، رایگانحل با عکس

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

حل با عکس، رایگانحل با عکس

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

صفحهٔ ۴۲ ریاضی نهم

حل با عکس، رایگان
حل با عکس