حل تمرین صفحه ۴۰ ریاضی نهم

گام ۱: طبق نکتهٔ کتاب، یک خاصیت را وقتی می‌توان تعمیم داد که همهٔ ویژگی‌هایی که در استدلال به کار رفته‌اند، در سایر عضوها هم برقرار باشند.

گام ۲ (فعالیت ۲): در اثبات از برابری دو ساق، یعنی $AB=AC$، استفاده کردیم. این برابری فقط برای دو ضلعی است که از رأس A (رأس بین دو ساق) خارج می‌شوند. برای نیمساز زاویهٔ B باید دو ضلع کنار زاویهٔ B، یعنی $BA$ و $BC$، برابر باشند. ولی در مثلث متساوی‌الساقین $BC$ (قاعده) با $BA$ (ساق) لزوماً برابر نیست. پس ویژگی به‌کاررفته در استدلال برای نیمساز B برقرار نیست و تعمیم درست نیست.

گام ۳ (فعالیت ۳): در اثبات فقط از هم‌نهشتی به حالت سه ضلع استفاده شد، یعنی از برابری چهار ضلع مربع و ضلع مشترک (قطر). برای قطر دیگر هم همین ویژگی‌ها برقرارند: در مثلث‌های $ABD$ و $CBD$ داریم $AB=CB$ و $AD=CD$ و $BD=BD$. پس این دو مثلث هم‌نهشت‌اند و زاویه‌های متناظرشان برابرند. بنابراین $BD$ هم نیمساز زاویه‌های B و D است.

گام ۴: در فعالیت ۲ ویژگی لازم برای استدلال، یعنی برابری دو ضلع کنار زاویه، در نیمسازهای دیگر وجود ندارد. در فعالیت ۳ ویژگی لازم، یعنی برابری همهٔ ضلع‌ها، برای هر دو قطر برقرار است.