ریاضی نهم · فصل ۳: استدلال و اثبات در هندسه

حل تمرین صفحه ۳۹ ریاضی نهم

جواب گام‌به‌گام ۳ تمرین صفحهٔ ۳۹ کتاب ریاضی نهم (فصل ۳: استدلال و اثبات در هندسه)، پایهٔ نهم.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۱ آبان ۱۴۰۵

فعالیت، سؤال ۱

در مسئلهٔ زیر، فرض و حکم را بنویسید و اشکال استدلال داده شده را بیابید، سپس استدلال درستی برای آن بنویسید.

[شکل: چهارضلعی ABCD با پاره‌خط AC؛ برچسب‌ها: A، B، C، D و شماره‌های ۱ و ۲ در رأس‌های A و C]

مسئله: در شکل مقابل پاره‌خط AC نیمساز زاویهٔ A است و اضلاع AB و AD برابرند. ثابت کنید مثلث‌های ABC و ADC هم‌نهشت‌اند.

فرض:

حکم:

استدلال: چون AC نیمساز است، داریم $\hat{A}_1 = \hat{A}_2$ و $\hat{C}_1 = \hat{C}_2$ و از طرفی AC نیز ضلع مشترک در هر دو مثلث است، لذا دو مثلث ABC و ADC به حالت دو زاویه و ضلع بین (زضز) هم‌نهشت‌اند.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: فرض و حکم را از متن مسئله جدا می‌کنیم. در فرض آمده است که AC نیمساز زاویهٔ A است و $AB = AD$ است.

فرض: $\hat{A}_1 = \hat{A}_2$ (چون AC نیمساز زاویهٔ A است) و $AB = AD$

حکم: $\triangle ABC \cong \triangle ADC$

گام ۲: اشکال استدلال داده‌شده این است که نوشته‌اند $\hat{C}_1 = \hat{C}_2$ . در مسئله فقط گفته شده AC نیمساز زاویهٔ A است، نه نیمساز زاویهٔ C. پس برابری $\hat{C}_1 = \hat{C}_2$ در فرض نیست و از جای دیگری هم نتیجه نمی‌شود. استدلال بر یک چیز اثبات‌نشده تکیه کرده است.

گام ۳: استدلال درست از همان دانسته‌های فرض استفاده می‌کند:

\left.\begin{array}{ll} AB = AD & (\text{فرض}) \\ \hat{A}_1 = \hat{A}_2 & (\text{AC نیمساز زاویهٔ A است}) \\ AC = AC & (\text{ضلع مشترک}) \end{array}\right\} \Rightarrow \triangle ABC \cong \triangle ADC

گام ۴: زاویهٔ $\hat{A}$ بین دو ضلع $AB$ و $AC$ در مثلث اول، و بین دو ضلع $AD$ و $AC$ در مثلث دوم قرار دارد. پس هم‌نهشتی به حالت دو ضلع و زاویهٔ بین (ض ز ض) برقرار است.

جواب نهایی

1) فرض: $\hat{A}_1=\hat{A}_2$ و $AB=AD$ ؛ حکم: $\triangle ABC\cong\triangle ADC$ ؛ اشکال: برابری $\hat{C}_1=\hat{C}_2$ بدون دلیل فرض شده است، چون AC نیمساز زاویهٔ C نیست؛ استدلال درست: $AB=AD$ ، $\hat{A}_1=\hat{A}_2$ و $AC$ مشترک است، پس به حالت (ض ز ض) هم‌نهشت‌اند.

فعالیت، سؤال ۲

مثلث زیر متساوی‌الساقین و AD نیمساز وارد بر قاعدهٔ آن است. با استدلال زیر نشان داده‌ایم که نیمساز وارد بر قاعده، میانه نیز می‌باشد.

[شکل: مثلث متساوی‌الساقین ABC با نیمساز AD؛ برچسب‌ها: A، B، C، D و شماره‌های ۱ و ۲]

\left.\begin{array}{ll} AB = AC & (\text{ساق‌های برابر}) \\ \hat{A}_1 = \hat{A}_2 & (\text{نیمساز است } AD) \\ AD = AD & (\text{ضلع مشترک}) \end{array}\right\} \Rightarrow ABD \cong ACD \Rightarrow BD = CD

(ض ز ض)

لذا نقطهٔ D وسط BC است و AD میانه است.

آیا در مثلث ABC می‌توان نتیجه گرفت که نیمساز زاویهٔ B نیز میانهٔ ضلع مقابل آن است؟ به عبارتی، آیا می‌توان خاصیت اثبات شده برای نیمساز A را به نیمساز دیگر تعمیم داد؟

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: در اثبات داده‌شده برای نیمساز $A$ از سه برابری استفاده شده است: $AB=AC$ (ساق‌های برابر)، $\hat A_1=\hat A_2$ و $AD=AD$ . زاویهٔ $A$ بین دو ضلع برابر $AB$ و $AC$ است، پس حالت (ض ز ض) برقرار می‌شود.

گام ۲: برای نیمساز زاویهٔ $B$ فرض کنید این نیمساز ضلع $AC$ را در $E$ قطع کند. برای اثبات میانه بودن باید $AE=EC$ را نتیجه بگیریم و دو مثلث $ABE$ و $CBE$ را هم‌نهشت کنیم. در این دو مثلث فقط $\hat B_1=\hat B_2$ و ضلع مشترک $BE$ را داریم. دو ضلع $BA$ و $BC$ که زاویهٔ $B$ بین آن‌هاست، در حالت کلی برابر نیستند، چون فقط $AB=AC$ است. پس شرط (ض ز ض) برقرار نیست.

گام ۳: با یک مثال نقض هم می‌توان این را دید. در مثلث متساوی‌الساقین با $\hat A=20^\circ$ و $AB=AC=1$ داریم $BC=2\sin 10^\circ\approx 0/35$ . طبق قضیهٔ نیمساز، $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AB}{BC}\approx 2/9\neq 1$ . پس $E$ وسط $AC$ نیست.

گام ۴: پس این خاصیت را نمی‌توان به نیمساز زاویهٔ $B$ تعمیم داد. استدلال مربوط به $A$ فقط به‌دلیل برابری دو ضلع کنار زاویهٔ $A$ درست بود. (فقط در مثلث متساوی‌الاضلاع، که هر سه ضلع برابرند، این خاصیت برای همهٔ نیمسازها برقرار است.)

جواب نهایی

2) خیر؛ در مثلث متساوی‌الساقین، نیمساز زاویهٔ $B$ در حالت کلی میانه نیست، چون $BA\neq BC$ است و شرط (ض ز ض) برای $B$ برقرار نمی‌شود. (فقط در مثلث متساوی‌الاضلاع برقرار است.)

فعالیت، سؤال ۳

با استدلال زیر به سادگی می‌توان نتیجه‌گیری کرد که قطر AC از مربع ABCD نیمساز زاویه‌های A و C است. چون دو مثلث ABC و ADC به حالت سه ضلع هم‌نهشت‌اند و زوایای متناظر با هم برابرند؛ بنابراین $\hat{A}_1 = \hat{A}_2$ و $\hat{C}_1 = \hat{C}_2$ و لذا AC نیمساز است.

[شکل: مربع ABCD با قطر AC؛ برچسب‌ها: A، B، C، D و شماره‌های ۱ و ۲ در رأس‌های A و C]

آیا می‌توان با استدلالی مشابه، این خاصیت را به قطر دیگر نیز تعمیم داد و گفت به‌طور کلی در مربع هر قطر نیمساز زاویه‌های دو سر آن قطر است؟

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: بله، می‌توان تعمیم داد. در مربع ABCD قطر دیگر BD است و باید نشان دهیم BD نیمساز زاویه‌های B و D است. نام‌گذاری را مانند قبل می‌گیریم: $\hat{B}_1$ و $\hat{B}_2$ زاویه‌هایی‌اند که BD در رأس B می‌سازد، و $\hat{D}_1$ و $\hat{D}_2$ همین‌طور در رأس D.

گام ۲: دو مثلث ABD و CBD را در نظر می‌گیریم. چون همهٔ ضلع‌های مربع برابرند، داریم:

\left.\begin{array}{ll} AB = CB & (\text{اضلاع مربع}) \\ AD = CD & (\text{اضلاع مربع}) \\ BD = BD & (\text{ضلع مشترک}) \end{array}\right\} \Rightarrow ABD \cong CBD \quad (\text{ض ض ض})

گام ۳: در دو مثلث هم‌نهشت، زاویه‌های متناظر برابرند. پس $\hat{B}_1 = \hat{B}_2$ و $\hat{D}_1 = \hat{D}_2$ و در نتیجه BD نیمساز زاویه‌های B و D است.

گام ۴: استدلال برای قطر AC فقط از برابری چهار ضلع مربع استفاده کرد. این شرط برای هر دو قطر برقرار است، پس همین استدلال برای هر قطر درست است. بنابراین در مربع هر قطر نیمساز زاویه‌های دو سر آن قطر است.

جواب نهایی

3) بله؛ با هم‌نهشتی مثلث‌های ABD و CBD به حالت (ض ض ض) نتیجه می‌شود $\hat{B}_1=\hat{B}_2$ و $\hat{D}_1=\hat{D}_2$ . پس در مربع هر قطر نیمساز زاویه‌های دو سر خود است.

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

حل با عکس، رایگان حل با عکس

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

صفحهٔ ۳۹ ریاضی نهم

حل با عکس، رایگان

حل با عکس