حل تمرین صفحه ۳۶ ریاضی نهم

گام ۱: استدلال داده‌شده از چند مشاهدهٔ گذشته («تا به‌حال هیچ‌وقت تصادف نکرده‌ام») نتیجه می‌گیرد که در آینده هم همین اتفاق می‌افتد. این استدلال از نوع استقرایی (تعمیم از چند مثال) است و قطعی نیست.

گام ۲: گزینه‌ها را بررسی می‌کنیم:

• الف) از اینکه «برخی» مثلث‌ها قائم‌الزاویه‌اند، دربارهٔ مثلث‌های متساوی‌الاضلاع نتیجه گرفته شده است. این با استدلال صورت تمرین فرق دارد، چون در آن از مشاهدهٔ گذشته به مورد بعدی رسیده‌ایم.
• ب) از «فیلم جنگی جذاب است» نتیجه گرفته شده که «هر فیلم جذاب، جنگی است». این جابه‌جا کردن شرط و نتیجه است.
• ج) از اینکه همهٔ بچه‌های خاله‌ها تا حالا دختر بوده‌اند، نتیجه گرفته شده که بچهٔ بعدی هم دختر است. این دقیقاً مانند استدلال صورت تمرین است، یعنی از چند مورد گذشته به مورد آینده تعمیم داده شده است.
• د) از خواب‌آور بودن همهٔ قرص‌های مسکن، وجود ماده‌ای خواب‌آور در آنها نتیجه گرفته شده است. این استدلال دربارهٔ علت است و پیش‌بینی آینده نیست.

گام ۳: پس استدلال تمرین مشابه گزینهٔ «ج» است.

گام ۱: اطلاعات مسئله را مرتب می‌کنیم: علی از حسین بزرگ‌تر است و حسن از حسین کوچک‌تر است. یعنی سن حسن < سن حسین < سن علی.

گام ۲: استدلال حمید بر چند خانوادهٔ دیگر تکیه دارد: «در خانواده‌های دیگر علی بزرگ‌تر از حسن بوده، پس اینجا هم همین‌طور است.» این نتیجه‌گیری از چند مورد خاص به حالت کلی است (استدلال استقرایی/تجربی). هیچ تضمینی نیست که در این خانواده هم برقرار باشد. ممکن است خانواده‌ای باشد که حسن بزرگ‌تر از علی است. بنابراین این استدلال قابل اعتماد نیست، حتی اگر نتیجه اتفاقاً درست باشد.

گام ۳: استدلال وحید فقط از اطلاعات همین مسئله استفاده می‌کند:

این استدلال منطقی (استنتاجی) است و هر کس مقدمات را بپذیرد، ناچار نتیجه را هم می‌پذیرد.

گام ۴: نتیجه: استدلال وحید درست است، چون از داده‌های مسئله به‌طور منطقی نتیجه گرفته است. استدلال حمید درست نیست، چون بر مثال‌های دیگر تکیه دارد و نتیجه‌اش قطعی نیست.

گام ۱: در این تمرین از ما خواسته شده با «استدلال ریاضی» ثابت کنیم که در مثلث متساوی‌الساقین زاویه‌های مجاور به قاعده برابرند. احمد فقط چند زاویه را با نقاله اندازه گرفته و نتیجه گرفته است.

گام ۲: اندازه‌گیری فقط برای همان مثلث (یا مثلث‌های) خاصی که اندازه گرفته‌ایم نتیجه می‌دهد؛ اما برای اثبات باید نشان دهیم حکم برای همهٔ مثلث‌های متساوی‌الساقین (با هر اندازه و شکلی) درست است. چند مثال خاص، حتی اگر زیاد باشند، همهٔ حالت‌ها را پوشش نمی‌دهند. (این همان استدلال «تجربی» است، نه استدلال ریاضی.)

گام ۳: اندازه‌گیری مناسب نیست، زیرا دقت ندارد: نقاله و چشم ما خطا دارند و اندازه‌ها معمولاً تقریبی‌اند. ممکن است دو زاویه مثلاً $50^\circ$ و $50{,}5^\circ$ باشند ولی با نقاله برابر بخوانیم. همچنین شکل رسم‌شده ممکن است دقیق نباشد و اندازه‌گیری نمی‌تواند برابری دقیق را نشان دهد.

گام ۴: درست‌تر آن است که با استدلال منطقی (مثلاً رسم نیم‌ساز زاویهٔ رأس و استفاده از هم‌نهشتی دو مثلث ایجادشده یا استفاده از تقارن) نشان دهیم این برابری برای هر مثلث متساوی‌الساقین برقرار است.