حل تمرین صفحه ۳۱ ریاضی نهم

گام ۱: در بخش (الف) هر دو طرف را حساب می‌کنیم: $|(-7)^2| = |49| = 49$ و $|-7|^2 = 7^2 = 49$. دو طرف برابرند.

گام ۲: در بخش (ب) سمت چپ برابر است با $|-8+5| = |-3| = 3$. سمت راست برابر است با $|-8| + |5| = 8 + 5 = 13$. چون $3 < 13$، سمت چپ کوچک‌تر است.

گام ۳: در بخش (ج) سمت چپ برابر است با $|3-9| = |-6| = 6$. سمت راست برابر است با $|9| - |3| = 9 - 3 = 6$. دو طرف برابرند.

گام ۱: قدرمطلق عدد صفر برابر صفر است: $|0| = 0$.

گام ۲: عدد داخل قدرمطلق منفی است، پس قدرمطلق آن قرینهٔ آن عدد می‌شود:

گام ۳: چون $7^3 < 7^4$، عبارت $7^3 - 7^4$ منفی است. پس قرینهٔ آن را می‌نویسیم:

مقدار عددی: $2401 - 343 = 2058$.

گام ۴: چون $0.25 < 0.26$، عبارت $0.25 - 0.26$ منفی است. پس:

گام ۱: از رابطهٔ $\sqrt{a^2}=|a|$ استفاده می‌کنیم؛ یعنی ریشهٔ دوم مربع هر عدد، برابر قدرمطلق همان عدد است.

گام ۲: الف) $\sqrt{(-2595)^2}=|-2595|=2595$

گام ۳: ب) $\sqrt{(1394)^2}=|1394|=1394$

گام ۴: ج) $\sqrt{(-3+\sqrt{10})^2}=|-3+\sqrt{10}|$. چون $\sqrt{10}\simeq 3.16$ است، $-3+\sqrt{10}$ عددی مثبت است (چون $\sqrt{10}>3$). پس:

گام ۵: د) $\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=|2-\sqrt{5}|$. چون $\sqrt{5}\simeq 2.2$ است، $2-\sqrt{5}$ عددی منفی است. پس:

گام ۱: مقدارها را هم‌شکل می‌کنیم: $a = 0.25$، $b = -\frac{1}{4} = -0.25$ و $c = 2\frac{1}{2} = 2.5$.

گام ۲: مقدار $a + b$ را حساب می‌کنیم:

گام ۳: مقدار $a - b - c$ را حساب می‌کنیم:

چون این عدد منفی است، قدرمطلق آن قرینهٔ آن است: $|-2| = 2$.

گام ۴: مقدارها را در عبارت جایگذاری می‌کنیم:

گام ۱: برای حذف قدرمطلق، ابتدا علامت عبارت داخل آن را مشخص می‌کنیم: اگر مثبت باشد همان عبارت و اگر منفی باشد قرینهٔ آن را می‌نویسیم.

گام ۲ (الف): $-3\sqrt{5}$ عددی منفی است، پس

گام ۳ (ب): $5\sqrt{3} = \sqrt{75}$ و $\sqrt{75} > \sqrt{49} = 7$ (تقریباً $5\sqrt{3}\simeq 8.6$). پس $7 - 5\sqrt{3}$ منفی است و

گام ۴ (ج): $0 + \sqrt{5} = \sqrt{5}$ عددی مثبت است، پس

گام ۱: ابتدا مقدار سمت چپ را حساب می‌کنیم:

گام ۲: پس باید عددی در جای خالی بگذاریم که نامساوی $7 > 1 + \square$ برقرار شود، یعنی:

گام ۳: هر عددی کوچک‌تر از ۶ جواب است. برای مثال $\square = 4$:

پس نامساوی درست است. (اگر عدد ۶ یا بزرگ‌تر بگذاریم، مثلاً ۶، داریم $7 > 7$ که نادرست است.) جواب‌های دیگر مانند ۰، ۱، ۵ یا $-2$ هم قابل قبول است.

گام ۱: برای $a=-2$ داریم $|a|=|-2|=2$ پس:

گام ۲: برای $a=0$ داریم $|0|=0$ پس:

گام ۳: برای $a=2$ داریم $|2|=2$ پس:

گام ۴: اگر $a\ge 0$ باشد، $|a|=a$ و حاصل $2a$ است که منفی نیست. اگر $a<0$ باشد، $|a|=-a$ و حاصل $a+(-a)=0$ است. پس در هیچ حالتی $a+|a|$ منفی نمی‌شود و عدد حقیقی‌ای که حاصل را منفی کند وجود ندارد.

گام ۱: می‌دانیم $\sqrt{a^2}=|a|$. بنابراین تساوی $\sqrt{a^2}=a$ فقط وقتی درست است که $a\ge 0$ باشد. برای نشان دادن نادرستی کافی است یک عدد منفی انتخاب کنیم.

گام ۲: مثلاً $a=-3$ را قرار می‌دهیم. سمت چپ:

گام ۳: سمت راست برابر $a=-3$ است. چون $3\ne -3$، تساوی $\sqrt{a^2}=a$ برای $a=-3$ برقرار نیست؛ پس این تساوی همیشه درست نیست. (مثال‌های منفی دیگر هم جواب می‌دهند.)

گام ۱: از رابطهٔ $\sqrt{a^2}=|a|$ استفاده می‌کنیم. پس برای عبارت اول:

گام ۲: چون $\sqrt{10}\simeq 3.1$ است، عدد $1-\sqrt{10}$ منفی است. پس قدرمطلق آن برابر قرینهٔ آن است:

گام ۳: برای عبارت دوم:

گام ۴: چون $\sqrt{2}\simeq 1.4$ است، عدد $\sqrt{2}-1\simeq 0.4$ مثبت است. پس قدرمطلق آن خودش است: