حل تمرین صفحه ۲۹ ریاضی نهم

گام ۱: هر جمله را به زبان نمادین ریاضی ترجمه می‌کنیم. «مثبت» یعنی بزرگ‌تر از صفر، «منفی» یعنی کوچک‌تر از صفر.

گام ۲: الف) «دو عدد $a$ و $b$ مثبت است» یعنی $a>0$ و $b>0$؛ این مورد گزینهٔ ۲ است.

گام ۳: ب) «عدد $a$ نامنفی است» یعنی منفی نیست، پس صفر یا مثبت است: $a \geq 0$؛ گزینهٔ ۳.

گام ۴: ج) «دو عدد $a$ و $b$ منفی است» یعنی $a<0$ و $b<0$؛ گزینهٔ ۴.

گام ۵: د) «عدد $a$ مثبت و $b$ منفی است» یعنی $a>0$ و $b<0$؛ گزینهٔ ۱. هـ) «عدد $a$ نامثبت است» یعنی صفر یا منفی است: $a \leq 0$؛ گزینهٔ ۵.

گام ۱: حالت الف) $a>0,\ b>0$: حاصل‌ضرب دو عدد مثبت، مثبت است و مجموع دو عدد مثبت نیز مثبت است؛ پس $ab>0$ و $a+b>0$. مثال: $a=2,\ b=3$ که $ab=6>0$ و $a+b=5>0$.

گام ۲: حالت ب) $a<0,\ b<0$: حاصل‌ضرب دو عدد منفی، مثبت است ولی مجموع دو عدد منفی، منفی است؛ پس $ab>0$ و $a+b<0$. مثال: $a=-2,\ b=-3$ که $ab=6>0$ و $a+b=-5<0$.

گام ۳: حالت ج) $a<0,\ b>0$: حاصل‌ضرب دو عدد با علامت مخالف، منفی است؛ پس $ab<0$. مثال: $a=-2,\ b=3$ که $ab=-6<0$.

گام ۴: پس اتصال‌ها: الف با ۲، ب با ۳ و ج با ۱.

گام ۱: طبق تعریف، اگر $a\ge 0$ باشد، $|a|=a$ است. پس (الف) با (۲) جفت می‌شود.

گام ۲: اگر $a>0$ و $b>0$ باشد، مجموع $a+b$ هم مثبت است و $|a+b|=a+b$ می‌شود. پس (ب) با (۳) جفت می‌شود.

گام ۳: اگر $a<0$ باشد، قدر مطلق $a$ قرینهٔ آن است: $|a|=-a$. پس (ج) با (۱) جفت می‌شود.

گام ۴: اگر $a<0$ و $b<0$ باشد، مجموع $a+b$ منفی است و $|a+b|=-(a+b)$ می‌شود. پس (د) با (۴) جفت می‌شود.

مثال برای بررسی: $a=-2,\ b=-3$ را در (د) می‌گذاریم. $|a+b|=|-5|=5$ و $-(a+b)=5$ است.

گام ۱: قسمت ۱ را با نمادهای ریاضی می‌نویسیم: برای دو عدد دلخواه $a$ و $b$ داریم

گام ۲: مثال برای قسمت ۱: $a=-3$ و $b=5$. سمت چپ: $|(-3)\times 5|=|-15|=15$. سمت راست: $|-3|\times|5|=3\times 5=15$. پس دو طرف برابرند.

گام ۳: قسمت ۲ را با نمادهای ریاضی می‌نویسیم:

گام ۴: مثال اول برای قسمت ۲: $a=-3$ و $b=5$. سمت چپ: $|-3+5|=|2|=2$. سمت راست: $|-3|+|5|=3+5=8$. چون $2\leq 8$ است، رابطه برقرار است.

گام ۵: مثال دوم (حالت تساوی): $a=2$ و $b=4$. $|2+4|=6$ و $|2|+|4|=6$؛ پس $6\leq 6$ برقرار است. (مثال‌های دیگر هم می‌توان انتخاب کرد.)