ریاضی نهم · فصل ۲: عددهای حقیقی

حل تمرین صفحه ۲۷ ریاضی نهم

جواب گام‌به‌گام ۷ تمرین صفحهٔ ۲۷ کتاب ریاضی نهم (فصل ۲: عددهای حقیقی)، پایهٔ نهم.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۱ آبان ۱۴۰۵

تمرین ۱

با توجه به مجموعه‌های داده شده، سایر سطرها را مانند سطر اوّل کامل کنید:

مجموعهٔ اعداد	$\sqrt{3.2}$	$\frac{1}{2}$	0	$\pi$	$-\frac{3}{4}$	0.292292229....	$-10$	$\frac{6}{2}$
$\mathbb{N}$ طبیعی	×	×	×	×	×	×	×	✓
$W$ حسابی
$\mathbb{Z}$ صحیح
$Q$ گویا
$Q'$ گنگ
$\mathbb{R}$ حقیقی

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: هر عدد را ساده و نوعش را مشخص می‌کنیم:

$\frac{6}{2}=3$ عدد طبیعی است.
$0$ عدد حسابی است، طبیعی نیست.
$-10$ صحیح است، حسابی نیست.
$\frac12$ و $-\frac34$ کسری‌اند، پس گویا هستند و صحیح نیستند.

گام ۲: سه عدد $\sqrt{3.2}$ و $\pi$ و $0.292292229\ldots$ گنگ‌اند. $\sqrt{3.2}$ جذر کامل هیچ عدد گویایی نیست و $\pi$ گنگ است. نمایش اعشاری $0.292292229\ldots$ نه پایان می‌پذیرد و نه تکرار دوره‌ای دارد، چون تعداد رقم‌های ۲ بین ۹ها هر بار بیشتر می‌شود.

گام ۳: هر عدد گویا یا گنگ، حقیقی است، پس همهٔ خانه‌های سطر $\mathbb{R}$ ✓ می‌شوند. جدول کامل:

مجموعهٔ اعداد	$\sqrt{3.2}$	$\frac{1}{2}$	0	$\pi$	$-\frac{3}{4}$	0.292292229....	$-10$	$\frac{6}{2}$
$\mathbb{N}$ طبیعی	×	×	×	×	×	×	×	✓
$W$ حسابی	×	×	✓	×	×	×	×	✓
$\mathbb{Z}$ صحیح	×	×	✓	×	×	×	✓	✓
$Q$ گویا	×	✓	✓	×	✓	×	✓	✓
$Q'$ گنگ	✓	×	×	✓	×	✓	×	×
$\mathbb{R}$ حقیقی	✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓	✓

جواب نهایی

1) جدول بالا: حسابی (0 و $\frac62$ )، صحیح (0 و $-10$ و $\frac62$ )، گویا ( $\frac12$ ، 0، $-\frac34$ ، $-10$ ، $\frac62$ )، گنگ ( $\sqrt{3.2}$ ، $\pi$ ، 0.292292229...)، حقیقی (همهٔ عددها)

تمرین ۲

در هر یک از حالت‌های الف و ب تفاوت دو مجموعه را با ذکر دلیل بنویسید:

الف) $A=\{x\in\mathbb{R}\mid 1.5<x<5\}$ ، $B=\{x\in Q\mid 1.5<x<5\}$

ب) $C=\{4,5,6,7,8\}$ ، $D=\{x\in\mathbb{R}\mid 3<x<9\}$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: بررسی بخش (الف). مجموعهٔ $A$ شامل همهٔ عددهای حقیقی بین $1.5$ و $5$ است (هم گویا هم گنگ)، ولی مجموعهٔ $B$ فقط شامل عددهای گویا بین $1.5$ و $5$ است.

گام ۲: دلیل تفاوت در (الف). عددهای گنگ مانند $\sqrt{3}\approx 1.73$ و $\sqrt{5}\approx 2.23$ بین $1.5$ و $5$ قرار دارند، پس عضو $A$ هستند، ولی چون گنگ‌اند عضو $B$ نیستند. بنابراین $B\subset A$ و $A\neq B$ .

گام ۳: بررسی بخش (ب). مجموعهٔ $C=\{4,5,6,7,8\}$ فقط پنج عضو دارد (عددهای صحیح بین $3$ و $9$ نیستند، بلکه فقط این پنج عدد)، ولی $D$ شامل همهٔ عددهای حقیقی بین $3$ و $9$ است.

گام ۴: دلیل تفاوت در (ب). عددهایی مانند $3.5$ یا $\sqrt{10}$ یا $5.5$ عضو $D$ هستند، ولی عضو $C$ نیستند. همچنین $C$ متناهی است و $D$ بی‌شمار عضو دارد. پس $C\subset D$ و $C\neq D$ .

جواب نهایی

الف) $A$ همهٔ عددهای حقیقی (گویا و گنگ) بین $1.5$ و $5$ را دارد، ولی $B$ فقط گویاها را؛ مثلاً $\sqrt{3}\in A$ اما $\sqrt{3}\notin B$ .
ب) $C$ فقط پنج عدد صحیح دارد، ولی $D$ همهٔ عددهای حقیقی بین $3$ و $9$ را دارد؛ مثلاً $5.5\in D$ اما $5.5\notin C$ .

تمرین ۳

طرف دوم تساوی‌های زیر را کامل کنید:

۱) $\mathbb{N}\cup\mathbb{Z}=$ ــــ ۲) $\mathbb{R}-Q'=$ ــــ ۳) $\mathbb{Z}\cap\mathbb{N}=$ ــــ ۴) $\mathbb{R}\cap Q'=$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: در تساوی ۱: مجموعهٔ اعداد صحیح شامل همهٔ اعداد طبیعی است ( $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$ )، پس اجتماع آن‌ها همان مجموعهٔ بزرگ‌تر یعنی $\mathbb{Z}$ می‌شود.

گام ۲: در تساوی ۲: مجموعهٔ $\mathbb{R}$ از اجتماع اعداد گویا و گنگ ساخته شده است. اگر اعداد گنگ را از اعداد حقیقی کم کنیم، فقط اعداد گویا می‌مانند: $\mathbb{R}-Q'=Q$ .

گام ۳: در تساوی ۳: چون هر عدد طبیعی صحیح است، اشتراک $\mathbb{Z}$ و $\mathbb{N}$ همان $\mathbb{N}$ است.

گام ۴: در تساوی ۴: اعداد گنگ همگی حقیقی‌اند ( $Q'\subset\mathbb{R}$ )، پس اشتراک $\mathbb{R}$ و $Q'$ همان $Q'$ است.

جواب نهایی

1) $\mathbb{N}\cup\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$
2) $\mathbb{R}-Q'=Q$
3) $\mathbb{Z}\cap\mathbb{N}=\mathbb{N}$
4) $\mathbb{R}\cap Q'=Q'$

تمرین ۴

عدد $\sqrt{5}+1$ بین کدام دو عدد صحیح متوالی قرار دارد؟

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: عدد $\sqrt{5}$ را بین دو مربع کامل متوالی قرار می‌دهیم: چون $4<5<9$ پس $\sqrt{4}<\sqrt{5}<\sqrt{9}$ یعنی

2<\sqrt{5}<3

گام ۲: برای ساخت $\sqrt{5}+1$ به هر سه طرف نابرابری عدد ۱ را اضافه می‌کنیم:

2+1<\sqrt{5}+1<3+1

گام ۳: پس

3<\sqrt{5}+1<4

(بررسی: $\sqrt{5}\approx 2.236$ و $\sqrt{5}+1\approx 3.236$ که بین ۳ و ۴ است.)

جواب نهایی

عدد $\sqrt{5}+1$ بین دو عدد صحیح متوالی ۳ و ۴ قرار دارد.

تمرین ۵

بین هر دو عدد، چهار عدد گنگ بنویسید:

الف) $-2$ و 5 ــــ ب) 6 و 7 ــــ ج) $\sqrt{3}$ ، 6 ــــ د) $\sqrt{2}$ ، $\sqrt{4.1}$

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: عددهای گنگ، ریشهٔ دوم عددهای طبیعی یا اعشاری هستند که مربع کامل نیستند. برای هر بازه، ریشه‌هایی را انتخاب می‌کنیم که مقدارشان در آن بازه باشد. چون $\sqrt{a}<\sqrt{b}$ وقتی $a<b$ ، کافی است زیر رادیکال را بین دو مقدار مرزی بگیریم.

گام ۲: الف) بین $-2$ و $5$ : داریم $\sqrt2\approx1.41$ و $\sqrt3\approx1.73$ و $\sqrt5\approx2.24$ . همچنین $-\sqrt2\approx-1.41$ . همهٔ این‌ها بین $-2$ و $5$ هستند و گنگ‌اند.

گام ۳: ب) بین $6$ و $7$ : چون $6=\sqrt{36}$ و $7=\sqrt{49}$ ، هر ریشه‌ای از $\sqrt{37}$ تا $\sqrt{48}$ که مربع کامل نباشد، قابل قبول است. مثلاً $\sqrt{37}\approx6.08$ و $\sqrt{38}\approx6.16$ و $\sqrt{39}\approx6.24$ و $\sqrt{40}\approx6.32$ .

گام ۴: ج) بین $\sqrt3$ و $6$ : چون $6=\sqrt{36}$ ، هر $\sqrt{a}$ با $3<a<36$ که مربع کامل نباشد، قابل قبول است. $\sqrt4$ گویاست و نباید انتخاب شود. مثلاً $\sqrt5$ و $\sqrt6$ و $\sqrt7$ و $\sqrt{10}$ .

گام ۵: د) بین $\sqrt2\approx1.414$ و $\sqrt{4.1}\approx2.025$ : زیر رادیکال باید بین $2$ و $4.1$ باشد. مثلاً $\sqrt{2.5}\approx1.58$ و $\sqrt3\approx1.73$ و $\sqrt{3.5}\approx1.87$ و $\sqrt{3.9}\approx1.97$ ، و همه گنگ‌اند.

پاسخ‌ها یکتا نیستند و عددهای گنگ دیگری هم می‌توان نوشت.

جواب نهایی

الف) مثلاً $-\sqrt2,\ \sqrt2,\ \sqrt3,\ \sqrt5$
ب) مثلاً $\sqrt{37},\ \sqrt{38},\ \sqrt{39},\ \sqrt{40}$
ج) مثلاً $\sqrt5,\ \sqrt6,\ \sqrt7,\ \sqrt{10}$
د) مثلاً $\sqrt{2.5},\ \sqrt3,\ \sqrt{3.5},\ \sqrt{3.9}$

تمرین ۶

عبارات درست را با ✓ و عبارات نادرست را با × مشخص کنید. برای عبارات درست مثال بزنید.

□ ۱) عددی وجود دارد که صحیح و گویا باشد.
□ ۲) عددی وجود دارد که گویا و گنگ باشد.
□ ۳) عددی وجود دارد که حقیقی و گنگ باشد.
□ ۴) عددی وجود دارد که حقیقی و طبیعی باشد.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: عبارت ۱) «عددی وجود دارد که صحیح و گویا باشد.» درست است، چون هر عدد صحیح گویا هم هست ( $\mathbb{Z}\subset Q$ ). مثال: $-10$ یا $0$ یا $3$ (چون $3=\frac{3}{1}$ ).

گام ۲: عبارت ۲) «عددی وجود دارد که گویا و گنگ باشد.» نادرست است، چون هر عدد حقیقی یا گویاست یا گنگ و این دو مجموعه عضو مشترک ندارند: $Q\cap Q'=\varnothing$ .

گام ۳: عبارت ۳) «عددی وجود دارد که حقیقی و گنگ باشد.» درست است، چون هر عدد گنگ حقیقی است ( $Q'\subset\mathbb{R}$ ). مثال: $\pi$ یا $\sqrt{3}$ .

گام ۴: عبارت ۴) «عددی وجود دارد که حقیقی و طبیعی باشد.» درست است، چون هر عدد طبیعی حقیقی است ( $\mathbb{N}\subset\mathbb{R}$ ). مثال: $5$ یا $1$ .

جواب نهایی

1) ✓ (مثال: $-10$ یا $3$ )
2) × (چون $Q\cap Q'=\varnothing$ )
3) ✓ (مثال: $\pi$ یا $\sqrt{3}$ )
4) ✓ (مثال: $5$ یا $1$ )

تمرین ۷

در نمایش اعشاری عدد $\sqrt{10}$ و عدد $\frac{3}{11}$ چه تفاوتی هست؟

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: $\sqrt{10}$ عددی گنگ است (چون ۱۰ مربع کامل نیست)، پس نمایش اعشاری آن نه متناهی است و نه تکرارشونده (دورهٔ تکرار ندارد): $\sqrt{10}=3.16227766\ldots$

گام ۲: $\frac{3}{11}$ عددی گویا است. با تقسیم ۳ بر ۱۱ داریم: $\frac{3}{11}=0.272727\ldots=0.\overline{27}$ که اعشاری نامتناهی و دارای دورهٔ تکرار (۲۷) است.

گام ۳: پس تفاوت این است که نمایش اعشاری $\frac{3}{11}$ از جایی به بعد الگوی تکراری دارد، ولی نمایش اعشاری $\sqrt{10}$ بی‌پایان است و هیچ الگوی تکراری ندارد.

جواب نهایی

نمایش اعشاری $\sqrt{10}$ بی‌پایان و بدون دورهٔ تکرار است (گنگ)، ولی نمایش اعشاری $\frac{3}{11}=0.\overline{27}$ بی‌پایان با دورهٔ تکرار است (گویا).

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

حل با عکس، رایگان حل با عکس

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

صفحهٔ ۲۷ ریاضی نهم

حل با عکس، رایگان

حل با عکس