حل تمرین صفحه ۲۶ ریاضی نهم

گام ۱: $Q\cap Q'$: عددی که هم گویا و هم گنگ باشد وجود ندارد، پس اشتراک این دو مجموعه تهی است: $Q\cap Q'=\varnothing$.

گام ۲: $Q\cap\mathbb{Z}$: هر عدد صحیح گویا است ($\mathbb{Z}\subset Q$)، پس اشتراک آنها همان مجموعهٔ کوچکتر یعنی $\mathbb{Z}$ است: $Q\cap\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$.

گام ۳: $\mathbb{Z}\cap\mathbb{N}$: عددهای طبیعی همگی صحیح‌اند ($\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$)، پس اشتراک برابر $\mathbb{N}$ است.

گام ۴: $Q'\cap\mathbb{R}$: هر عدد گنگ حقیقی است ($Q'\subset\mathbb{R}$)، پس اشتراک برابر $Q'$ است.

گام ۵: $Q\cup Q'$: طبق تعریف کتاب، اجتماع گویا و گنگ مجموعهٔ عددهای حقیقی است: $Q\cup Q'=\mathbb{R}$.

گام ۱: چرا نقطهٔ ۲ توپر و نقطهٔ ۳ توخالی است؟ در مجموعهٔ $A=\{x\in\mathbb{R}\mid 2\le x<3\}$ نماد $\le$ یعنی ۲ عضو مجموعه است، پس با دایرهٔ توپر نشان داده می‌شود. نماد $<$ یعنی ۳ عضو مجموعه نیست، پس با دایرهٔ توخالی نشان داده می‌شود.

گام ۲: مجموعهٔ $B=\{x\in\mathbb{R}\mid x<-2\}$: همهٔ عددهای حقیقی کوچک‌تر از $-2$. روی محور، در نقطهٔ $-2$ دایرهٔ توخالی می‌گذاریم (چون $-2$ عضو نیست) و از آن نقطه تا بی‌نهایت به سمت چپ (سمت عددهای کوچک‌تر) را پررنگ می‌کنیم.

گام ۳: مجموعهٔ $C=\{x\in\mathbb{R}\mid -1\le x\le 5\}$: در نقطهٔ $-1$ دایرهٔ توپر و در نقطهٔ $5$ هم دایرهٔ توپر می‌گذاریم (هر دو عضو مجموعه‌اند) و پاره‌خط بین $-1$ و $5$ را پررنگ می‌کنیم.

گام ۴: مجموعهٔ $D=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 6\}$: در نقطهٔ $6$ دایرهٔ توپر می‌گذاریم (چون ۶ عضو مجموعه است) و از آن نقطه تا بی‌نهایت به سمت راست را پررنگ می‌کنیم.

گام ۱: مجموعه‌ها در سؤال ۱ این‌طورند: $A=\{x\in\mathbb{R}\mid x>-1\}$، $C=\{x\in\mathbb{R}\mid x\le 2\}$. مجموعهٔ B از روی محور، همهٔ عددهای حقیقی بین $-2$ (توخالی) و $3$ است، یعنی $B=\{x\in\mathbb{R}\mid -2<x\le 3\}$.

گام ۲: $0.75\in A$: چون $0.75>-1$ است، عبارت درست است ✓.

گام ۳: $0.252552555\ldots\in B$: این عدد گنگ و حقیقی است و مقدارش تقریباً $0.25$ است. چون $-2<0.25<3$ است، عبارت درست است ✓.

گام ۴: $\sqrt{13}\in A$: چون $\sqrt{13}\approx 3.6$ و $3.6>-1$ است، عبارت درست است ✓.

گام ۵: $\sqrt{7}\in C$: چون $4<7<9$ است، $2<\sqrt{7}<3$ می‌شود. پس $\sqrt{7}>2$ است و در $C$ نیست. عبارت نادرست است.

گام ۶: $\sqrt{1}\in A$: چون $\sqrt{1}=1$ و $1>-1$ است، عبارت درست است ✓. همچنین $-1000\in C$: چون $-1000\le 2$ است، عبارت درست است ✓.

گام ۱: در شکل، پارهٔ پررنگ از $-2$ تا $3$ است و هر دو سر آن توخالی‌اند؛ یعنی خود $-2$ و $3$ در مجموعه نیستند و همهٔ عددهای حقیقی بین آن‌ها در مجموعه هستند.

گام ۲: پس مجموعهٔ نقاط شکل برابر است با:

گام ۳: گزینه‌ها را بررسی می‌کنیم:

• الف) $\{-1,0,1,2,3\}$ فقط پنج عدد است و عددهایی مثل $\frac12$ یا $\sqrt2$ را ندارد، همچنین $3$ توخالی است و نباید در مجموعه باشد؛ پس نادرست است.
• ب) $x>-2$ تا بی‌نهایت ادامه دارد و به $3$ محدود نمی‌شود؛ پس نادرست است.
• ج) $-2<x<3$ دقیقاً با شکل می‌خواند؛ پس درست است.