۱۰۰ هزار تومان هدیهٔ ثبت‌نام، تا ۱ میلیونبا ثبت‌نام گردونهٔ هدیه را بچرخان: دست‌کم ۱۰۰٬۰۰۰ تومان و تا ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تومان اعتبار هدیه، بدون کارت بانکیگردونهٔ هدیه۱ میلیون برای تو، ۱ میلیون برای دوستتدوستانت را دعوت کن: برای هر دوستی که فعال شود ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تومان اعتبار هدیه می‌گیری و خودش هم ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تومانجوایز
1xAi
ریاضی نهم · فصل ۲: عددهای حقیقی

حل تمرین صفحه ۲۵ ریاضی نهم

جواب گام‌به‌گام ۴ تمرین صفحهٔ ۲۵ کتاب ریاضی نهم (فصل ۲: عددهای حقیقی)، پایهٔ نهم.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۱ آبان ۱۴۰۵

کار در کلاس، سؤال ۱

بین 5\sqrt{5} و 10\sqrt{10}، چهار عدد گنگ بنویسید.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: چون 5<105<10، هر عدد nn که 5<n<105<n<10 باشد، در نامعادلهٔ 5<n<10\sqrt{5}<\sqrt{n}<\sqrt{10} صدق می‌کند.

گام ۲: عددهای طبیعی بین ۵ و ۱۰ برابر ۶، ۷، ۸ و ۹ هستند. ۶، ۷ و ۸ مربع کامل نیستند، پس 6\sqrt{6}، 7\sqrt{7} و 8\sqrt{8} گنگ‌اند. ۹ مربع کامل است و 9=3\sqrt{9}=3 گویاست، پس آن را کنار می‌گذاریم.

گام ۳: برای عدد چهارم، عدد دیگری بین ۵ و ۱۰ می‌گیریم که مربع کامل نباشد، مثلاً 9.59.5. پس 9.5\sqrt{9.5} گنگ است.

گام ۴: بررسی:

5<6<7<8<9.5<10⇒5<6<7<8<9.5<105<6<7<8<9.5<10 \Rightarrow \sqrt{5}<\sqrt{6}<\sqrt{7}<\sqrt{8}<\sqrt{9.5}<\sqrt{10}

پاسخ‌های دیگر نیز ممکن است، مثلاً 5.5\sqrt{5.5} یا π\pi.

جواب نهایی

1) 6\sqrt{6}، 7\sqrt{7}، 8\sqrt{8} و 9.5\sqrt{9.5} (پاسخ‌های دیگر هم ممکن است)

کار در کلاس، سؤال ۲

بین دو عدد 2 و 3، چهار عدد گنگ بنویسید.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: می‌نویسیم 2=42=\sqrt{4} و 3=93=\sqrt{9}. پس باید چهار عدد گنگ بین 4\sqrt{4} و 9\sqrt{9} پیدا کنیم.

گام ۲: هر عدد طبیعی بین 4 و 9 که مربع کامل نباشد، جذرش گنگ است. عددهای 5 و 6 و 7 و 8 مربع کامل نیستند.

گام ۳: از 4<5<6<7<8<94<5<6<7<8<9 نتیجه می‌گیریم:

4<5<6<7<8<9\sqrt{4}<\sqrt{5}<\sqrt{6}<\sqrt{7}<\sqrt{8}<\sqrt{9}

یعنی:

2<5<6<7<8<32<\sqrt{5}<\sqrt{6}<\sqrt{7}<\sqrt{8}<3

گام ۴: پس 5\sqrt{5} و 6\sqrt{6} و 7\sqrt{7} و 8\sqrt{8} چهار عدد گنگ بین 2 و 3 هستند. پاسخ‌های دیگر هم ممکن است؛ مثلاً 2.1010010001…2.1010010001\ldots که رقم‌های اعشارش تکرار دوره‌ای ندارد.

جواب نهایی

5\sqrt{5} و 6\sqrt{6} و 7\sqrt{7} و 8\sqrt{8} (پاسخ‌های دیگر هم درست‌اند)

کار در کلاس، سؤال ۳

الف) مجموعهٔ A به‌صورت A={x∈Q∣2≤x≤3}A=\{x\in Q \mid 2\le x\le 3\} را در نظر بگیرید. آیا نمایش A به صورت زیر درست است؟

[محور اعداد با نقاط 0، 1، 2 و 3 که پاره‌ای از 2 تا 3 روی آن پررنگ شده است]

ب) نقطهٔ نمایش 5\sqrt{5} را روی محور مشخص کنید.

جواب گام‌به‌گام

الف)

گام ۱: مجموعهٔ AA فقط شامل عددهای گویا بین ۲ و ۳ است. عددهای گنگ مانند 5\sqrt{5} که بین ۲ و ۳ هستند، عضو AA نیستند.

گام ۲: چون 4<5<94<5<9، پس 2<5<32<\sqrt{5}<3. نقطهٔ 5\sqrt{5} روی پارهٔ بین ۲ و ۳ قرار دارد، اما عضو AA نیست. در شکل، پارهٔ بین ۲ و ۳ کاملاً پررنگ شده است و این نقطه‌های گنگ را هم در بر می‌گیرد. نقطه‌های گویا پشت سر هم یک پاره‌خط پیوسته نمی‌سازند و بین آن‌ها جای خالی (نقطه‌های گنگ) وجود دارد. پس این نمایش درست نیست.

ب)

گام ۳: عدد 5\sqrt{5} را به صورت مجموع دو مربع می‌نویسیم: 5=22+125=2^2+1^2. پس 5\sqrt{5} وتر مثلث قائم‌الزاویه‌ای با ضلع‌های ۲ و ۱ است.

گام ۴: روی محور، نقطهٔ AA را متناظر با عدد ۲ می‌گیریم. در AA عمودی بر محور به طول ۱ رسم می‌کنیم و انتهای آن را CC می‌نامیم. OO را به CC وصل می‌کنیم:

OC2=22+12=5⇒OC=5OC^2=2^2+1^2=5\Rightarrow OC=\sqrt{5}

گام ۵: به مرکز OO و شعاع OCOC کمانی رسم می‌کنیم تا محور را در سمت راست قطع کند. نقطهٔ برخورد BB نمایش 5\sqrt{5} است. این نقطه حدود 2/2362/236 است و بین ۲ و ۳ قرار دارد. روش‌های دیگری هم برای رسم ممکن است.

جواب نهایی

الف) خیر، نمایش درست نیست؛ چون AA فقط عددهای گویا دارد، اما پارهٔ پررنگ شامل عددهای گنگ مانند 5\sqrt{5} هم می‌شود.
ب) مثلث قائم‌الزاویه با ضلع‌های ۲ و ۱ می‌سازیم، وتر 5\sqrt{5} است؛ با کمانی به مرکز OO و شعاع وتر، نقطهٔ 5\sqrt{5} روی محور (بین ۲ و ۳) به دست می‌آید.

کار در کلاس، سؤال ۱

داخل ○ علامت ∈\in یا ∉\notin بگذارید:

4◯Z4 \bigcirc \mathbb{Z} ــــ 0.2◯Q0.2 \bigcirc Q ــــ 18◯R\sqrt{18} \bigcirc \mathbb{R} ــــ 72◯R\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \bigcirc \mathbb{R}

−5◯R-5 \bigcirc \mathbb{R} ــــ −73◯Z-\frac{7}{3} \bigcirc \mathbb{Z} ــــ 25◯Q′\sqrt{25} \bigcirc Q' ــــ 06◯R\frac{0}{6} \bigcirc \mathbb{R}

3.5◯Q′\sqrt{3.5} \bigcirc Q' ــــ 0.9◯Q′\sqrt{0.9} \bigcirc Q' ــــ 0.09◯Q\sqrt{0.09} \bigcirc Q ــــ 9−1◯Z\frac{9}{-1} \bigcirc \mathbb{Z}

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: ابتدا عددهایی را که ساده‌تر می‌شوند، ساده می‌کنیم: 25=5\sqrt{25}=5، 06=0\frac{0}{6}=0، 0.09=0.3\sqrt{0.09}=0.3 و 9−1=−9\frac{9}{-1}=-9.

گام ۲: سطر اول:

  • 44 عدد صحیح است، پس 4∈Z4\in\mathbb{Z}.
  • 0.2=2100.2=\frac{2}{10} گویاست، پس 0.2∈Q0.2\in Q.
  • 18\sqrt{18} عددی گنگ و در نتیجه حقیقی است، چون ۱۸ مربع کامل نیست. پس 18∈R\sqrt{18}\in\mathbb{R}.
  • 72\frac{\sqrt7}{\sqrt2} عددی حقیقی است، پس 72∈R\frac{\sqrt7}{\sqrt2}\in\mathbb{R}.

گام ۳: سطر دوم:

  • −5-5 عددی گویا و در نتیجه حقیقی است، پس −5∈R-5\in\mathbb{R}.
  • −73-\frac73 عدد صحیح نیست، پس −73∉Z-\frac73\notin\mathbb{Z}.
  • 25=5\sqrt{25}=5 گویاست و گنگ نیست، پس 25∉Q′\sqrt{25}\notin Q'.
  • 06=0\frac06=0 و 0∈R0\in\mathbb{R}.

گام ۴: سطر سوم:

  • 3.5\sqrt{3.5} گنگ است، چون 3.53.5 مربع کامل (مجذور عددی گویا) نیست. پس 3.5∈Q′\sqrt{3.5}\in Q'.
  • 0.9=310\sqrt{0.9}=\frac{3}{\sqrt{10}} گنگ است، چون 0.90.9 مجذور هیچ عدد گویایی نیست. پس 0.9∈Q′\sqrt{0.9}\in Q'.
  • 0.09=0.3\sqrt{0.09}=0.3 گویاست، پس 0.09∈Q\sqrt{0.09}\in Q.
  • 9−1=−9\frac{9}{-1}=-9 عدد صحیح است، پس 9−1∈Z\frac{9}{-1}\in\mathbb{Z}.

جواب نهایی

1) 4∈Z4\in\mathbb{Z} ، 0.2∈Q0.2\in Q ، 18∈R\sqrt{18}\in\mathbb{R} ، 72∈R\frac{\sqrt7}{\sqrt2}\in\mathbb{R} ؛ −5∈R-5\in\mathbb{R} ، −73∉Z-\frac73\notin\mathbb{Z} ، 25∉Q′\sqrt{25}\notin Q' ، 06∈R\frac06\in\mathbb{R} ؛ 3.5∈Q′\sqrt{3.5}\in Q' ، 0.9∈Q′\sqrt{0.9}\in Q' ، 0.09∈Q\sqrt{0.09}\in Q ، 9−1∈Z\frac{9}{-1}\in\mathbb{Z}

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

حل با عکس، رایگانحل با عکس

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

صفحهٔ ۲۵ ریاضی نهم

حل با عکس، رایگان
حل با عکس