حل تمرین صفحه ۲۳ ریاضی نهم

گام ۱: عددهای بین ۱ و ۲ را می‌توان به شکل کسر یا عدد اعشاری نوشت. پنج عدد انتخاب می‌کنیم:

گام ۲: فاصلهٔ بین ۱ و ۲ را روی محور به ۱۰ قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم؛ هر قسمت برابر $0.1$ است. اعداد $1.1$ و $1.9$ به ترتیب در اولین و نهمین نقطهٔ تقسیم قرار دارند.

گام ۳: عدد $1.5$ وسط پاره‌خط بین ۱ و ۲ است. عدد $1.25$ وسط بین ۱ و $1.5$ و عدد $1.75$ وسط بین $1.5$ و ۲ قرار می‌گیرد.

گام ۴: پس روی محور از چپ به راست ترتیب نقطه‌ها چنین است:

(انتخاب عددهای دیگر بین ۱ و ۲ نیز درست است.)

گام ۱: روی محور، فاصلهٔ بین نقطه‌های ۱ و ۲ را می‌بینیم. چون $1.4$ بین ۱ و ۲ است، باید آن را در همین پاره‌خط پیدا کنیم.

گام ۲: این پاره‌خط را به ۱۰ قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم. هر قسمت برابر $0.1$ است. نقطه‌ها به‌ترتیب $1.1,\ 1.2,\ 1.3,\ \dots$ هستند.

گام ۳: از نقطهٔ ۱، چهار قسمت به سمت راست می‌رویم. به نقطهٔ $1.4$ می‌رسیم و آن را با $\sqrt{2}$ نام‌گذاری می‌کنیم.

گام ۴: چون $1.4^2=1.96<2$، مقدار واقعی $\sqrt{2}$ کمی بیشتر از $1.4$ است (حدود $1.414$). پس نقطهٔ $\sqrt{2}$ بسیار نزدیک و کمی سمت راست نقطهٔ $1.4$ قرار می‌گیرد. (رسم دقیق‌تر هم ممکن است.)

گام ۱: مقدار دقیق‌تر عدد $\sqrt{2}=1.41421356237309\ldots$ است. ماشین‌حساب 8 رقمی فقط 8 رقم نشان می‌دهد: $1.4142135\,\underline{6}\ldots$

گام ۲: رقم بعد از رقم هشتم، یعنی 6، از 5 بزرگ‌تر است. پس ماشین‌حساب 8 رقمی رقم هشتم (5) را به 6 گرد می‌کند و عدد $1.4142136$ را نشان می‌دهد. ماشین‌حساب 12 رقمی رقم هشتم را همان 5 نگه می‌دارد، چون رقم‌های بیشتری نشان می‌دهد. به همین دلیل رقم آخر در این دو ماشین‌حساب فرق دارد.

گام ۳: ماشین‌حساب 10 رقمی تا $1.414213562$ را نشان می‌دهد. رقم بعدی 3 است و از 5 کوچک‌تر است. پس گرد کردن رقم دهم (2) را تغییر نمی‌دهد و عدد 10 رقمی با ابتدای عدد 12 رقمی یکسان است.

گام ۴: در عدد $1.41421356237$ رقم‌ها دسته‌ای تکرارشونده و منظم ندارند. در 15 رقم $1.414213562373095$ هم تناوبی دیده نمی‌شود. این با گنگ بودن $\sqrt{2}$ سازگار است، چون اعشار آن نامتناهی و بدون دورهٔ تناوب است.